第9题图第16题图九年级入学数学测试题(总分：120分)一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）. 1．下列各数中，最小的数是( )A.0B.3C.-3D.-2 2．下列计算中正确的是( ) A.a ·22a a = B. 428236a a a =÷ C.4222)2(a a = D. a 2·22a a = 3. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )DC B A4．如图，将一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在两条平行的直线a ，b 上，如果∠2=50°，那么∠1的度数为( ) A ．10° B ．20° C ．30° D ．40° 5．不等式组的解集在数轴上表示为( )6. 如图所示的几何体是由6个大小完全一样的正方体组合而成的，它的俯视图是( )7. 在下列事件中，必然事件是( )A ．在足球赛中，弱队战胜强队B ．任意画一个三角形，其内角和是360° C. 抛掷一枚硬币，落地后反面朝上 D ．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰 8. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝4．以点C 为圆心，CB 长为半径作弧，交AB 于点D ；再分别以点B 和点D 为圆心，大于BD 21的长为半径作弧，两弧相交于点E ；作射线CE 交AB 于点F ．则AF 的长为( )A.5B.6C.7D.89. 如图，AD 是⊙O 的直径，BC 是弦，四边形OBCD 是平行四边形，AC 与OB 相交于点P ，下列结论错误的是( )A. AP ＝2OPB. CD ＝2OPC. OB ⊥ACD. AC 平分OBA.8B.20C.36D.1810. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若(a ＋b )2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为( )A.3B.4C. 5D.6 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11.2020年春新冠病毒席卷全球，全国人民万众一心，众志成城，艰难度日一个多月后终于有下降趋势，截止3月25日16点01分全国累计确诊病例达81872人，将“81872”这个数字用科学计数法表示为 ．12.分解因式822-x = .13. 同时抛掷三枚质地均匀的硬币，出现两枚正面向上，一枚正面向下的概率是 ． 14. 分式方程xx 332=-的解是 ．15．关于x 的一元二次方程x 2－2kx ＋k 2－k ＋2＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是16．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝23，AC ＝2，点D 是BC 的中点，点E 是边AB 上一动点，沿DE 所在直线把△BDE 翻 折到△B′DE 的位置，B′D 交AB 于点F .若△AB′F 为直角三角形， 则AE 的长为 ． 三、解答题：（本大题共9个小题，共72分） 17.（本题满分6分）先化简，再求值：21)11(yxy y x y x +÷++-，其中x ＝25+，y ＝25-．18.（本题满分6分）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3 000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩(成绩x 取整数，总分100分)作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：成绩x /分 频数 频率 50≤x ＜60 10 0.05 60≤x ＜70 20 0.10 70≤x ＜80 30 b 80≤x ＜90 a 0.30 90≤x ＜10080 0.40请根据所给信息，解答下列问题：（1）=a ，=b .（2）请补全频数分布直方图； （3）这次比赛成绩的中位数会落在分数段；第8题图FED BCA第6题图D C B A 第10题图（4）估计全校80分以上（包括80分）的学生约有 人. 19.(本小题满分6分) 如图,1号楼在2号楼的右侧,楼间距为AB.冬至日正午,太阳光线与水平面所成的角为︒3.32,1号楼在2号墙面上的影高为CA;春分日正午,太阳光线与水平面所成的角为︒7.55,1号楼在 2号楼墙面上的影高为DA.已知CD=35m.请求出两楼之间的距 离AB 的长度(结果保留到十分位)(参考数据:53.03.32sin ≈︒,85.03.32cos ≈︒,63.03.32tan ≈︒,,83.07.55sin ≈︒47.17.55tan ,56.07.55cos ≈︒≈︒.)20.（本题满分6分）某公司今年1月份的生产成本是 400万元，由于改进生产技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同． (1)求每个月生产成本的下降率；(2)请你预测4月份该公司的生产成本．21．(本小题满分7分)如图，一次函数1211+=x y 的图象与x 轴，y 轴分别相交于A ，B 两点，与反比例函数xky =2的图象相交于C ，D 两点，且C ，D 的横坐标分别为－4，2． （1）求点A 的坐标及k 的值；（2）请直接写出当y 2＜y 1＜0时，x 的取值范围．22.（本题满分8分）如图，在△ABC 中，∠C=90°， ∠BAC 的平分线交BC 于点D ， 点O 在AB 上，以点O 为圆心，OA 为半径的圆恰好经过点D ， 分别交AC ，AB 于点E ，F.(1)试判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)若BD 32=，BF=2，求阴影部分的面积(结果保留π)．23.（10分）某商店销售10台A 型和20台B 型电脑的利润为4000元，销售20台A 型和10台B 型电脑的利润为3500元．（1)求每台A 型电脑和B 型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B 型电脑的进货量不超过A 型电脑的2倍。

设购进A 掀电脑x 台，这100台电脑的销售总利润为y 元。

①求y 与x 的关系式；②该商店购进A 型、B 型各多少台，才能使销售利润最大？（3）实际进货时，厂家对A 型电脑出厂价下调m （0＜m ＜100）元，且限定商店最多购进A 型电脑70台。

若商店保持两种电脑的售价不变，请你以上信息及（2）中的条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案。

24.(本小题满分11分)在四边形ABCD 中，点E 为AB 边上的一点，点F 为对角线BD 上的一点，且EF ⊥AB ．(1)若四边形ABCD 为正方形．①如图1，直接写出AE 与DF 的数量关系；②将△EBF 绕点B 逆时针旋转到图2所示的位置，连接AE ，DF ，猜想AE 与DF 的数量关系，并说明理由；(2)如图3，若四边形ABCD 为矩形，AB BC ＝22，其它条件都不变，将△EBF 绕点B 顺时针旋转α(0°＜α＜90°)得到△E'BF' (E ，F 的对应点分别为E'，F'点)，连接AE'，DF'. 请在图3中画出草图，并判定AE' DF'的值是否随α的变化而变化. 若变化，请说明变化情况；若不变，请求出AE'DF'的值．25．(本小题满分12分)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2经过点A （－1，0），B （4，0），交y 轴于点C ，点P 为y 轴右侧抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC 上方，是否存在点P 使S △PBC ＝35S △ABC ？若存在请求出点P 的坐标；若不存在请说明理由；（3）将线段BC 绕点B 顺时针旋转45°得到线段BD ，当点P 运动到x 轴下方，且PD －PB 的值最大时，求直线PB 的解析式55.732.321号楼号楼B A PC D FA B C DE F E D CB A A BCDEF 图1 图2 图3 第24题 第21题图xyDCB A OxyPD OCB A 第25题图．九年级数学答案一． 选择题CDCACADBAC 二． 填空题11.8.1872X 12. 2（x+2）（x-2） 13. 14.x=9 15. K 16. 3或2.817.原式=原式=18.（1）60 0.15 （2）a=60 (3)X (4)120019. .解：过点C 作F PB DF E PB CE 于，于⊥⊥ ∵PB DF PB CA PB CE ⊥⊥⊥,, ∴︒∠∠∠90＝＝＝CAB EBA CEB ∴四边形CABE 是矩形 ∴BE CA AB CE ＝＝,同理CD EF AB DF ＝＝,∵在CEP Rt ∆中,CEPEC =tan ∴AB C AB C CE PE 63.0tan tan =⋅=⋅＝ 同理AB PF 47.1＝. ∵PE PF EF CD －＝＝ ∴3563.047.1＝－AB AB ∴7.41≈AB答：两楼之间的距离AB 的长度约为41.7米 20.解：(1)设每个月生产成本的下降率为x. 根据题意得400(1－x)2＝361，解得x 1＝0.05＝5%，x 2＝1.95(不符合题意，舍去)． 答：每个月生产成本的下降率为5%.(2)361×(1－5%)＝342.95(万元)． 21.(1)A(-2,0) k=4 (2)x22. 解：(1)BC 与⊙O 相切． 证明：连接OD ．∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠BAD=∠CAD ． 又∵OD=OA ， ∴∠OAD=∠ODA ． ∴∠CAD=∠ODA ． ∴OD ∥AC ．∴∠ODB=∠C=90°，即OD ⊥BC ． 又∵BC 过半径OD 的外端点D ， ∴BC 与⊙O 相切．(2)设OF=OD=x ，则OB=OF+BF=x+2，根据勾股定理得：OB 2=OD 2+BD 2，即(x+2)2=x 2+12， 解得：x=2，即OD=OF=2， ∴OB=2+2=4，∵Rt △ODB 中，OD=OB ， ∴∠B=30°， ∴∠DOB=60°，∴S 扇形DOF ==，则阴影部分的面积为S △ODB ﹣S 扇形DOF =×2×2﹣=2﹣．23.解：（1）设每1）设百每台A 型电脑销售利润为x 元，每台B 型电脑的销售利润为y 元， 根据题意得 10x+20y ＝400020x+10y＝3500解得x＝100y＝150．答：每台A型电脑知销售利润道为100元，每台B型电脑的销售利润为150元；（2）①据题意得，y=100x+150（100-x），即y=-50x+15000，②据题意得，100-x≤2x，解得x≥33，∵y=-50x+15000，∴y随x的增大而减小，∵x为正整数，∴当x=34时，y取最大值，则100-x=66，即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．（3）根据题意得y=(100+m)x＋150(100－x)，即y＝(m－50)x＋15000. (33≤x≤70).①当0＜m＜50时，m－50＜0，y随x的增大而减小．∴当x =34时，y取得最大值．即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑时，才能获得最大利润润②当m=50时，m－50=0，y＝15000．即商店购进A型电脑数最满足33≤x≤70的整数时，利润都一样；③当50＜m＜100时，m－50＞0，y随x的增大而增大．∴x=70时，y取得最大值．即商店购进70台A型电脑和30台B型电脑时，才能获得最大利润． 24.解：（1）①∵四边形ABCD为正方形，∴△ABD为等腰直角三角形，∴BF=AB，∵EF⊥AB，∴△BEF为等腰直角三角形，BF=BE，∴BD﹣BF=AB﹣BE，即DF=AE；故答案为DF=AE；②DF=AE．理由如下：∵△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，∴∠ABE=∠DBF，∵=，=，∴=，∴△ABE ∽△DBF ，∴==，即DF=AE ；（2）DF ＇=根号3AE ＇25．(本小题满分12分)解：（1）∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2经过点A （－1，0），B （4，0），∴⎩⎨⎧=++=+-.02416,02b a b a ，解得123.2a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，…………………………………………………∴抛物线解析式为y ＝12-x 2＋32x ＋2．…………………………………………… （2）由题意可知C （0，2），A （－1，0），B （4，0），∴AB ＝5，OC ＝2，OB ＝4， ∴S △ABC ＝12AB •OC ＝12×5×2＝5，S △BOC ＝12OB •OC ＝12×4×2＝4．……… 作PE ⊥x 轴于E ，作PF ⊥y 轴于F ，连接OP ，设点P 的横坐标为m （0＜m ＜4）． 则点P 的纵坐标为12-m 2＋32m ＋2，PE ＝12-m 2＋32m ＋2，PF ＝m ． ∴S △PBC ＝ S △POB ＋S △POC －S △BOC＝12OB •PE ＋12OC •PF －4＝12×4×（12-m 2＋32m ＋2）＋12×2×m －4 ＝－m 2＋4m ．……………………………当S △PBC ＝35S △ABC 时，－m 2＋4m ＝35×5， 解这个方程得，11m =，23m =．………………当m ＝1时，12-m 2＋32m ＋2＝3，此时P 点坐标为（1，3）． 当m ＝3时，12-m 2＋32m ＋2＝2，此时P 点坐标为（3，2）综上可知存在满足条件的点P ，其坐标为（1，3）或（3，2）．……………………（3）当P ，B ，D 三点不在同一直线上时，由“三角形两边的差小于第三边”可知PD －PB ＜BD ；当P ，B ，D 三点在同一直线上时，PD －PB ＝BD ，所以当P ，B ，D 三点在同一直线上时，PD －PB 的值最大． ……………………………… ∵AO ＝1，OC ＝2，OB ＝4，AB ＝5，∴AC 2＝AO 2＋OC 2＝5, BC 2＝BO 2＋OC 2＝20, AB 2＝25，∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴△ABC 为直角三角形，即BC ⊥AC ，…………………… 如图，设直线AC 与直线BD 交于点M ，过M 作MN ⊥x 轴于点N ， 由题意可知∠MBC ＝45°，∴∠CMB ＝45°，∴CM ＝BC 2025=……… ∵AC 5AM ＝AC ＋CM ＝35． ∵∠AOC ＝∠ANM ＝90°，∴sin 355CAO ∠==cos 355CAO ∠== ∴MN ＝6，AN ＝3，∴M （2，6）． ………………………………………………由M ，B 两点的坐标可求得直线MB 的解析式是y ＝－3x ＋12. ∴当点P 运动到x 轴下方，且PD －PB 的值最大时，直线PB的解析式为y ＝－3x ＋12．…………xyF E PDO CB A x y CND PO BA。