第九章多元函数积分学（三重积分、第一类曲线积分与第一类曲面积分、点函数的性质及其应用）1、三重积分的引入：三重积分的概念是从求三维立体的质量而引入的，问题的关键点是同一个立体的不同质点处的密度并不均匀，密度函数是一个三元函数。

（了解三重积分的来源有助于真正的掌握它的应用哦）问题的解决方法是经典的四部曲，分割，取近似，求和，取极限。

2、三重积分的计算：（1）作图，由于三重积分是体积的质量，自然我们要先将积质量的基准区域找岀来，作图的功力要大家慢慢练习好好体会了，苏老师的复习小帮手上写得很清楚了。

（2）计算三重积分主要有四种计算方法（平面坐标系下的投影法及平面截割法、柱面坐标系转换、球球面坐标变换x -「sin COST , y -「sin :sin 片 z -『cos 10 _ r _ 2二.0 _-二，0 _ ：： _ ::.由直角坐标和球面坐标可知。

v 就是点M x, y, z 在Oxy 平面上投影点 M x, y 的极坐标r,v 中的，此2时！!! f x, y, z dv 二 H ： sin COSJ ,「sin 「sinv,「cos"sind ?.VV1、找出立体 V 在Oxy 平面上投影区域 匚xy 的极角v 的范围:-< "：：-。

即立体V 在两半平面ZOA 与ZOBt 间，即立体V 中的任意一点 M 二：：T 满足、:「：：：〔 <『「2、在：•，1之间过极点作射线v - v , 该射线与Oz 轴组成的半平面与立体起截得一截面区域。

若对 ［2，B ］之任一 Q 值。

对应的射线与 OZ 轴组成的3T半平面与立体 V 截面的圆形相同。

我们一般选取特殊的 Q 值如Q=_，此时得到的截面，我们观察更清楚。

2找出该区域：的范围•: I ,笃V I 即］•门.门2二（一般情况下「厂- 0 ,且笃二）为 常数）。

过极点O 在该截面上作射线与截面的边界交于两点。

极径小的交点落在下曲面P=气（日，® ），极径大的交点落在上曲面p= P 2（0,®）,即截面上任意一点（申，P ）满足耳（日，申芦P 兰p 2（e ,®）,七 m ：：：〕2匸］,如图6-28.从而在球面坐标立体区域 V 可表示为v - r : j :-二• 一 ：「_ ：\ 亠—二「「宀■< - z 于是若立体V 是由以原点为心的球面围成的立体或是由以原点为球心的球面与以原点为顶点的维面围成的主2 2 2体，（或被积函数中含有 x +y +z ）。

此时用球面坐标系下的计算。

球面坐标系下，总是先积P ,再积申，最后积B ，而且在大多数情况下，P 他申）=0,®』° ）= 0,铁（日）1惴A/ 13mI1/方 法 概 要■； ：2 sin 黑d 】Z_i —「d /V ,卜：sin ；•： sin 二，卜：cos !■占八、、2为常数。

不要忘记p 申因子哦。

第一类曲线积分是一直曲线的线密度函数，来求解曲线的质量，当线密度函数恒为常数1时，积分的结果就是我们在微积分一当中遇到过的解曲线弧长的问题。

关建是把曲线:表示成参数方程，并且找岀参数的区间'：■ J 1即可化成t的一元函数定积分。

‘X = x(t ) R ,______________(1) 若r'怙兰t 兰为则J「f(x,y,ds= J f(Xt)y(t))J x'2(t)+y'2(t)dt. y = y(t) I ab ■----------- z ------(2) 若「y 二x ,a 空x 乞b,则f x, y ds f x, x J :x dx.(3) 若「x -- y ,c ^ y 乞d,则.f x, y ds 二：f * y , y J 2y dy.(4) 若丨：r = r v ,「*：：v "::-,即x = r v COST, y 二r v sin v，:• "：：v ":: -. _则j『f (x,y恥=f f(申z,「(日丽日vVWTV用.(5)另外」也可以表示为r的函数，但是这种方法不常用以上各种转化的目标是将积分最终转化为一元函数的定积分，小心公示运用过程中的平方和开放4、第一类曲面积分的引入：第一类曲面积分是已知曲面的面密度函数，来求曲面的的质量11 f x, y, z dS 二Q f x, y, z x, y .J ■ z^z,d二.S:-xy若曲面S : y = y X, z , x,z ］三-xy，则i if x, y, z dS 'i f x, y x, z , z若曲面S : x = x y,z , y, z •二yz,则总结看来共有五种类型：设平面第一类曲线积分为 f x,y ds这里的各种转化实质上是将将积分转化为二重积分, 标平面上的积分更好积一些两个第一类积分都是的被积函数往往都是可以化简的5. 点函数积分的基本性质设f P ,g P 在有界闭区域 门上都可积，有 性质 i f P _ g P d — f P _ g PQQ Q性质2 kf Pd ;；】-k f P d 1（k 为常数）。

QQ上面两条性质称为线性运算法则。

性质3 . f P d 」 f P d 「. f P d 1，其中i I 1 _• i -二11，且i I 1与' 2无公共内QQQ点。

性质4若f P _0,P 门，则f p 肿_0.若 f p _0, f P = 0，且 f P 连续，P ■.1，则 f p 0.Q性质 5 若 f P 乞 g P ，P ■ J ，则 f P d"乞 g P d 1.Q Q若 f P mg P, f P = g P ，且 f P,g P 连续，P ■.1，则 f P :: g P d 1. Q Q性质 6 f P d* f P d 1.性质7若f p 在积分区域门上的最大值为M 最小值为m 则_ f P d" - M 1.Q性质8 （中值定理） 若f P 在有界闭区域I 】上连续，则至少有一点P 1，使得f P d' 1f P d" = f P ” 11 f P称为函数f P 在11上的平均值。

（对于中值定理的理解Q°就是求平均值的过程，在连续函数范围内必有一个函数的函数值可取到平均值）6. 对称区域上点函数的积分（1）设口R 3， i 1或曲线或曲面或立体。

f x,y,zdS 二 f x y,z ,y,z所以在选择变量的时候要注意好究竟在哪一个坐d .(i )若门-门1 T —，且I 关于Oxy 平面对称，则当f x, y,「z 二-f x, y,z ,即f 关于z 是奇函数, 当f x,y,-z 二fx,y,z ,即f 关于z 是偶函数.(ii )若门-门3 " S ，且'■ 关于Oyz 平面对称，则Q 当f (- x, y,z )= -f (x, y, z)即f 关于x 是奇函数,jf{pd ° =』2 j f (Pd O ,当f (-x,y,z)= f(x,y,z)即f 关于x 是偶函数.(iii )若门-门5「匕，且门5,门6关于Ozx 平面对称，则0,当f x,-y,z = - f x,y,z ,即f 关于y 是奇函数，fPd" = 2 f Pdj 当f x,-y,z =f x,y,z ,即f 关于y 是偶函数.QI Q3简单地说，若：：二R 关于坐标平面对称，当 f P 关于垂直该平面坐标轴的坐标是奇函数时为 0；是偶函数时，为平面一侧区域积分的 2倍。

2 .若口R 关于坐标轴对称，当fP 关于垂直该轴的坐标是奇函数则为 0；是偶函数时，则为该轴一侧区域积分的2倍。

同理可得，若：：二R 关于z 轴对称，当f ：i.「x,「y, z = - f x, y, z 时，积分为o ；当 f ]-x, -y, z = f x, y, z时，积分为z 轴一侧区域上 积分的2倍。

若1】关于原点对称，当 f ]-x,-y,-z = - f x, y, z 时，积分为 o ；当 f [.-x,-y,-z= f x, y, z 时，积分为原点一侧区域上积分的2倍6.应用(求重心(质心、形心)，求转动惯量，求引力)重心公式设密度函数为 T 」p =」x, y, z 连续，求空间形体 「一 R 3的重心坐标(门是曲线、曲面 或空间立体)，设I 】的重心坐标为 x, y, z .n送卩(P i %0iX iJ4(P kd 0J4(p )xd ^x Tim 迁,“ £ H P 验 F (P 四 Mi m■亠Qf P 2 f P d' 1•i P yd ：；i.' iP zd 「」同理 y =. _____________ z =________ （X, y, z ）是0的重心。

M ' M ，xd 「 yd 「 zd 「 特别］二常数时，x 二 ——,y 二 ——,z 二 ——.其中M 是门的质量，「是1的大小。

QQQ当 p =常数时，0关于Oxy 平面对称知，z 关于z 是奇函数，有］z g =0，则2 = 0.同理，当P =Q常数时， Q 关于Ozx 平面对称，则y = 0.当p =常数时，0关于Ozy 平面对称，则x = 0.同理，当二二R 2 （门是曲线或平面区域），设密度函数 J 」P =」x, y 连续，设重心坐标JP xd ［仝 P yd' 1为（x,y ,有 x= ------------ y= ----------------- 当戸=常数时,MM：?=常数，11关于x 轴对称，有y = 0,〔 |关于y 轴对称，有x = 0.转动惯量（转动惯量的定义是质量乘以到转轴距离的平方，具有可加性）若:：二R 3 （■■是空间曲线或曲面或立体） 当 L 是 z 轴时，J z 二 x 2・y 2」Pdi ， x 2 y^1 x,y,z d 1.Q Q 当 L 是 x 轴时，J x 二 y 2・z 2±.Pd ， y 2z ^?：x, y, z d \Q Q当 L 是 y 轴时，J y 二.z 2 • x 2」P d" = . z 2 • x 2 J x, y,z d 1.若"R 2（ i I 是平面曲线或平面区域），当 L 是 x 轴时，J x = J y 24（P m = J y 24（x,y d o .Q Q当 L 是 y 轴时，J y = J x 24（P 血=J x 2卩（x,y d 。

. 0Q引力公式（引力与转动惯量的不同之处在于引力是矢量，要三个坐标轴上分别计算）Fx =km fU （P l ：_xod 纹, QX o 3r xd 」yd 」F y 二km y—y0d“ Q.km " P Z「Z o d- Q F z。