习题1.3 某信息源由A ，B ，C ，D 四个符号组成，这些符号分别用二进制码组00，01，10，11表示。

若每个二进制码元用宽度为5ms 的脉冲传输，试分别求出在下列条件下的平均信息速率。

（1） 这四个符号等概率出现； （2）这四个符号出现概率如习题1.2所示。

解：（1）一个字母对应两个二进制脉冲，属于四进制符号，故一个字母的持续时间为2×5ms 。

传送字母的符号速率为等概时的平均信息速率为（2）平均信息量为则平均信息速率为 b 7.197977.1100B b =⨯==H R R习题1.6 设一个信息源输出四进制等概率信号，其码元宽度为125 us 。

试求码元速率和信息速率。

解：B 6B 118000 Bd 125*10R T -=== 等概时，s kb M R R B b /164log *8000log 22===1.7 设一个接收机输入电路的等效电阻等于600欧姆，输入电路的带宽等于6MHz ，环境温度为23℃，试求该电路产生的热噪声电压有效值。

解：66231067.7106600)27323(1038.144--⨯≈⨯⨯⨯+⨯⨯⨯==kTRB V V习题1.8 设一条无线链路采用视距传输方式通信，其收发天线的架设高度都等于80 m ，试求其最远的通信距离。

解：由28D rh =，得63849 km D =m习题2.3 设有一信号可表示为：试问它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。

解：它是能量信号。

X (t )的傅立叶变换为：则能量谱密度 G(f)=2()X f =222416114j f ωπ=++ 注意：以后的作业都要求将ω展开为f π2。

习题2.5 试判断下列函数中哪些满足功率谱密度的条件：(1)()f f πδ2cos 2+； (2)()a f a -+δ； (3)()2ex p f a -解：根据功率谱密度P (f )的性质：①P (f )0≥，非负性；②P (-f )=P (f ) ，偶函数。

可以判断(1)和(3)满足功率谱密度的条件，(2)不满足。

习题2.6 试求X (t )=A cos t ω的自相关函数，并根据其自相关函数求出其功率。

解：⎰-∞→+⋅=222)(cos cos 1)(lim T T T dt t t A TR τωωτ 下面的答案有疑问，最好是用课本中的式2.2-40（该公式是针对确知信号的），而用课本中的式2.6-3（该公式是针对随机信号的）是有疑问的。

解：R (t ，t+τ)=E [X (t )X (t+τ)] =E [[]cos *cos()E A t A t ωωτ+)](τω+t功率P =R(0)=22A 习题2.4 X (t )=12cos 2sin 2x t x t ππ-，它是一个随机过程，其中1x 和2x 是相互统计独立的高斯随机变量，数学期望均为0，方差均为2σ。

试求：(1)E [X (t )]，E [2()X t ]；(2)X (t ) 的概率分布密度；(3)12(,)X R t t解：(1)]2sin 2cos [)]([21t x t x E t X E ππ-==0(2)因为21x x 和服从高斯分布，()21x x t X 和是的线性组合，所以()t X 也服从高斯分布，其概率分布函数()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=222exp 21σσπx x p 。

(3)()()()[]()[]2221121121212sin 2cos )2sin 2cos (,t x t x t x t x E t X t X E t t R X ππππ--==习题2.10 已知噪声()t n 的自相关函数()ττk -e 2k R n =，k 为常数。

(1)试求其功率谱密度函数()f P n 和功率P ；(2)画出()τn R 和()f P n 的曲线。

解：(1)222()()2(2)k j j n n k k P f R e d e e d k f τωτωττττπ-+∞-+∞--∞-∞===+⎰⎰ (2)()n R τ和()f P n 的曲线如图2-2所示。

2-2习题2.13 设输入信号/,0()0,0t e t x t t τ-⎧≥=⎨<⎩ ，将它加到由电阻R 和电容C 组成的高通滤波器（见图2-3）上，RC ＝。

试求其输出信号y(t)的能量谱密度。

解：高通滤波器的传输函数为fC j R Rf H π21)(+= 输入信号的傅里叶变换为输出信号y(t)的能量谱密度为 习题2.16 设有一个LR 低通滤波器如图2-4所示。

若输入信号是一个均值为0、双边功率谱密度为02n 的高斯白噪声时，试求 (1) 输出噪声的自相关函数。

(2)输出噪声的方差。

解：(1)LR 低通滤波器的传输函数为输出噪声的功率谱密度为对功率谱密度做傅立叶反变换，可得自相关函数为（2）输出亦是高斯过程，因此习题3.1 设一个载波的表达式为()5cos1000c t t π=，基带调制信号的表达式为：m(t)=1+cos 200t π。

试求出振幅调制时已调信号的频谱，并画出此频谱图。

解： ()()()()()t t t c t m t s ππ1000cos 5200cos 1+==由傅里叶变换得已调信号的频谱如图3-1所示。

图3-1 习题3.1图习题3.4 试证明：若用一基带余弦波去调幅，则调幅信号的两个边带的功率之和最大等于载波功率的一半。

证明：设基带调制信号为'()m t ，载波为c (t )=A cos t ω，则经调幅后，有 已调信号的功率 22'220()1()cos AM AM P s t m t A t ω⎡⎤==+⎣⎦ =22'222'22000cos ()cos 2()cos A t m t A t m t A t ωωω++C R图2-3RC 高通滤波器 图2-4 LR 低通滤波器S(f)因为调制信号为余弦波且其振幅小于等于1，设调制信号振幅为A m 且1≤m A ，故0)('=t m , 212)('22≤=m A t m 则：载波功率为 2220cos 2c A P A t ω== 边带功率为 44cos )('2220222A A A t A t m P m s ≤==ω 因此12s c P P ≤。

即调幅信号的两个边带的功率之和最大等于载波功率的一半。

习题3.8设角度调制信号的表达式为63()10cos(2*1010cos 2*10)s t t t ππ=+。

试求：（1）已调信号的最大频移；（2）已调信号的最大相移；（3）已调信号的带宽。

解：（1）已调信号的瞬时相位为瞬时角频率为故最大频移 200010*10 kHZ 2f ππ∆== kHz （2）已调信号的瞬时相位为故已调信号的最大相移10=∆ϕ rad （3）因为调制指数11010101033>>=⨯=∆=m f f f m 所以已调信号带宽22)101010(2)(233=+⨯⨯=+∆≈m f f B kHz习题4.2 若语音信号的带宽在300～3400Hz 之间，试按照奈奎斯特准则计算理论上信号不失真的最小抽样频率。

解：由题意，H f =3400Hz ,L f =300Hz ,故语音信号的带宽为B =3400-300=3100HzH f =3400Hz =13100⨯+331⨯3100=kB nB + 即n =1,k =3。

根据带通信号的抽样定理，理论上信号不失真的最小抽样频率为s f =)1(2n k B +=2⨯3100⨯（1+331）=6800Hz 习题4.3 若信号()sin(314)314s t t t =。

试问：（1）最小抽样频率为多少才能保证其无失真地恢复？ （2） 在用最小抽样频率对其抽样时，为保存3min 的抽样，需要保存多少个抽样值？(a) (b)图4-1 习题4.3图解：()sin(314)s t t t =，其对应的傅里叶变换为信号()s t 和对应的频谱()S ω如图4-1所示。

所以Hz 5023142H H ===ππωf根据低通信号的抽样定理，最小频率为Hz 1005022H s =⨯==f f ，即每秒采100个抽样点，所以3min 共有：100⨯3⨯60=18000个抽样值。

习题4.5 设有一个均匀量化器，它具有256个量化电平，试问其输出信号量噪比等于多少分贝？解：由题意M=256，根据均匀量化的信号量噪比公式得习题4.7 在A 律PCM 语音通信系统中，试写出当归一化输入信号抽样值等于0.3时，输出的二进制码组。

解：信号抽样值等于0.3，所以极性码1c =1。

查表可得0.3∈（1，11.98），所以0.3的段号为7，段落码为110，故234c c c =110。

第7段内的动态范围为：(11.9813.93)16-≈164，该段内量化码为n ,则164n ⨯+13.93=0.3，可求得n ≈2.92，所以量化值取3。

故5678c c c c =0011。

所以输出的二进制码组为。

习题5.1 3HDB 码的相应序列。

解： A MI 码为3HDB 码为 10100010010111000001001011+--+-++-+-+习题5.5 设一个二进制单极性基带信号序列中的“1”和“0”分别用脉冲)(t g [见图5-2]的有无表示，并且它们出现的概率相等，码元持续时间等于T 。

试求：（1）该序列的功率谱密度的表达式，并画出其曲线； （2） 该序列中有没有概率T f 1=的离散分量？若有，试计算其功率。

解：（1）由图5-2)(t g 由题意，()()2110/P P P ===，且有)(1t g =0,)(2t g =)(t g ，所以0)(1=f G ,)()(2f G f G =。

将其代入二进制数字基带信号的双边功率谱密度函数的表达式中，可得曲线如图5-3所示。

图5.3 习题5.5 图2（2）二进制数字基带信号的离散谱分量为当m =±1时，f=±1/T ，代入上式得因为该二进制数字基带信号中存在f=1/T 的离散谱分量，所以能从该数字基带信号中提取码元同步需要的f=1/T 的频率分量。

该频率分量的功率为习题5.7 设一个基带传输系统接收滤波器的输出码元波形)(t h 如图5-6所示。

（1）试求该基带传输系统的传输函数)(f H ； （2） 若其信道传输函数1)(=f C ，且发送滤波器和接收滤波器的传输函数相同，即)()(R T f G f G =，试求此时)(T f G 和)(R f G 的表达式。

图5-6 习题5.7图解：（1）令 02 T 2-1)(⎪⎩⎪⎨⎧≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=其他T t t t g ，由图5-6可得)(t h =⎪⎭⎫ ⎝⎛-2T t g ，因为)(t g 的频谱函数⎪⎭⎫ ⎝⎛=422)(2f T Sa T f G π，所以，系统的传输函数为)(f H =22222422)(fT j fTj e f T Sa T e f G πππ--⎪⎭⎫ ⎝⎛=（2）系统的传输函数)(f H 由发送滤波器)(T f G 、信道)(f C 和接收滤波器)(f G R 三部分组成，即)(f H =)(f C )(T f G )(R f G 。