正方形性质2对角线: 相等并且互相垂直平分，每一
条对角线平分一组对角． A
正方形ABCD
D
O
｛
AC=BD,AC⊥BD AC平分∠BAD和∠BCD BD平分∠ABC和∠ADC B
C
例
求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角 三角形. 已知:如图,四边形ABCD是正方形,对 角 线AC、BD相交于点O.
轴 对 称 图 形 中 心 对 称 图 形
∟
思考：
１．一个矩形的２条对角线互相垂直， 它是正方形吗？ ２．一个菱形的２条对角线相等，它 是正方形吗？
平 行 四 边 形
矩 形
菱 形
正 方 形
这是从对角线角度理解四者的关系
正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？
平行四边形
矩 形
正 方 形
平行四边形 对边平行且相等 矩形 菱形 正方形
√
√ √
四边都相等
四个角都是直角
√ √ √
对角线互相平分
对角线互相垂直 对角线相等
√
√ √
√ √ √ √ √ √
√
(1)正方形的性质有那些?
正方形性质1
A
D
边: 四条边相等 角: 四个角都是直角．
正方形ABCD
｛
AB=BC=CD=AD
B
C
∠A= ∠B= ∠C= ∠D=90º
2002年世界数学大会会标
j
1、给你一张正方形的彩色纸，你能一刀剪出如
图的正方形孔吗？
2、给你一张矩形纸能把它折成一个正方形吗？
正方形 矩形
邻边相等的矩形
正方形 矩形
实验与观察一：折叠矩形纸片
想一想
菱形经这样变化能成为正方形呢？
正方形 菱形
一个角是直角的菱形
正方形 菱形
实验与观察二：转动菱形模型
③、对角线互相垂直且相等的四边
形是正方形
（ （ （ ） ） ）
④ 四条边都相等的四边形是正方形
⑤、四个角都相等的四边形是正方形 ⑥、四边相等，有一个角是直角的四
边形是正方形.
（
）
下列说法对吗?
（1）四个角都相等的四边形是正方形 （2）四条边都相等的四边形是正方形 （3）四边相等，有一角是直角的四边形是正方形 (4) 正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰 直角三角形 (5) 正方形是轴对称图形,一共有2条对称轴
一起探究
1.矩形满足什么条件时，就是正方形？ 2.菱形满足什么条件时，就是正方形？ 3.平行四边形满足什么条件时，就是 正方形？
4.四边形满足什么条件时，就是正方 形？
探 究（二） 菱形怎样变化后就成了正方形呢?
正方形
矩形
矩形
矩形
菱形
矩形
平行四边形
菱形
矩形
平行四边形
菱形
矩形
平行四边形
菱 形
议一议
1、
你觉得什么样的四边形是正方形呢?( 判断一个 四边形是正方形有哪些方法？）
平行四边形
一组邻边相等 一内角是直角 正方形
2、
一内角是直角
菱形
正方形
3、
矩形
一组邻边相等
正方形
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
5种识 别方法
一个角是直角且一组邻边相等
小结与复习
根据图形所具有的性质,在下表相应的空格中 打 ”√”
试一试
3、如图：正方形ABCD的周长为15cm， 则矩形EFCG的周长为 7.5 cm。
A E D G
B
F
C
A
D
1.已知：正方形ABCD对角线AC、BD相 交于点O，且AB＝2cm，则AC= 2 2 ,2
B O
4 正方形的面积S=______.
2.已知：在正方形ABCD中，对角线AC、
A
2
C
D
BD相交于点O，且AC＝6
OA=OB=OC=OD, ∴AB∥CD ∴∠A=∠B=∠C AD∥BC, ∠1= ∠2= ∠3= ∠4= =∠D=90° AB=BC=CD=AD ∠5= ∠6= ∠7= ∠8
∟
图 形 语 言
A
∟
A
∟D
A
1 2
5
6
O
C
B
7
8
3
4
C
对角线互相垂直 平分且相等，每 条对角线平分一 组对角
∵四边形ABCD是正方形
第十九章 四边形
既是中心对称图形轴对称
边: 对边平行 四边相等 角 ：四个角都是直角 对角线： 相等 互相垂直平分 每条对角线平分一组对角。
边
正方形性质 角 对角线
D
对称性
D
B
C
B
文 字 语 言
对边平行， 四条边都
相等
四 个 角 都是直角
符 号 语 言
∵四边形ABCD 是正方形
∵四边形ABCD ∴AC⊥BD,AC=BD, 是正方形
2
cm，
O
36 6 面积S=________.则边长AB＝______,
B
C
例1：1、要使一个菱形成为正方形需 增加的条件是 （填上一个条件即可）
2、要使一个矩形成为正方形 需添加的条件是 （填上一个条件即可）
3、下列命题正确的是（ D ） A、四个角都相等的四边形是正方形
B、四条边都相等的四边形是正方形
3．四个内角都相等，四条边也都相等的四边 形一定是：（ ）
A．正方形 四边形 B．菱形
A
C．矩形
D．平行
长见识
数一数图中正方形的个数，你发现了什么？
（
）个（
）个
（
）个
（
Hale Waihona Puke ）个多多多
第n个图中正方形有
3n-1 个
1、如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分 的面积为 平方厘米． D A
B
平行 两组对边 四边 分别平行 对边平行 且相等 形 的四边形 有一个角 矩 是直角的 对边平行 形 平行四边 且相等 形 有一组邻 菱 边相等的 对边平行 ，四边都 形 平行四边 相等 形
四个角 都是直角
对角线互相 轴对称 对角相等， 垂直平分， 图形、中 邻角互补 每条对角线 心对称图 平分一组对 形 角
C、对角线相等的平行四边形是正方形
D、对角线互相垂直的矩形是正方形
例２：下列正确的是
Ａ. 四边相等的四边形是正方形
Ｂ．四角相等的四边形是正方形
Ｃ．对角线垂直的平行四边形是正方形 Ｄ．对角线互相垂直平分且相等的四边 形是正方形
已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、 BD相交于点O。
⑴若AB=BC，则四边形ABCD是（ 菱形 ）
条件够吗？
还需要的条件是 AM＝BN
你能完成证明吗???
例2．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交
于O，MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N， 求证：BM＝CN。
证明：
∵四边形ABCD是正方形 ∴OA＝OB , ∠1＝∠2＝∠3＝45° 又∵MN∥AB ∴∠OMN＝∠1＝∠3＝∠ONM＝45° ∴OM＝ON ∴OA－OM＝OB－ON 即AM＝BN
有一组邻边相等且有 一个角是直角
这是从边角方面理解正方形、矩形、 菱形及平行四边形四者之间的关系。
菱形
平行四边形
正方 形
矩形
一组邻边相等 平行四边形 一内角是直角
正方形
定义：一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边 形叫做正方形
:正方形有那些性质?
观察思考：正方形是中心对称图形吗?
八年级 数学
例2．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，
MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N，
求证：BM＝CN。
分析：要证明BM＝CN，大家观察
图形可以考虑证哪两个三角形全等 ? △ABM≌△BCN 你所要证明的两个三角形已经满足 了哪些条件?
由正方形可以得到的条件有： AB＝BC，∠1＝∠2＝45 °
⑵若AC=BD，则四边形ABCD是（ 矩形 ）
⑶若∠BCD=900，则四边形ABCD是（ 矩形 ）
⑷若OA=OB，则四边形ABCD是（ 矩形 ）
⑸若AB=BC，且AC=BD，则四边形ABCD是
（ 正方形 ）
1．四个内角都相等的四边形一定是（C ）
A、正方形 B、菱形 C、矩形 D平行四边形 2．在四边形ABCD中，O是对角线的交点， 能判定这个四边形是正 方形的是：（ A ） A．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD B．AD∥BC ∠A＝∠C C．AO＝CO BO＝DO AB＝BC D．AC＝BD
A D
这是一道文字证明题,该怎么做?你会做吗? O
求证:△ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO 第一步:根据题意画出图形 是全等的等腰直角三角形. B
第二步:写出已知、求证 第三步：进行证明
C
分析:利用正方形的性质,对角线互相垂直平分且相等,每条对
角线平分一组对角.平分可以产生线段等量关系,垂直可以产生 直角,于是可以得到四个全等的等腰直角三角形. 证明: ∵ 四边形ABCD是正方形, ∴ AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO. ∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO都是等腰直 角三角形,并且 △ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO
）
）
(3)如果一个菱形的对角线相等，那么它一定 是正方形 （
√
） ）
(4)如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它 一定是正方形 （ √ (5)四条边相等，且有一个角是直角的四边形
是正方形（ √
）
×
(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（