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中区间是 0 s 3 ． 把该区间分为区间 0,1 , 1, 2 和 2, 3 得
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Pr[ B 1000 | I 1] 0.2 Pr[ B ( x, x dx) | I 1] cdx, 0 x 1000
x (0,1000 ) c 0.0008
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来刻画。因此常用Riemann-Stieltjes积分。
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2.2
混合分布和风险
本节我们讨论保险风险的一些实例.由于 纯离散随机变量和纯连续随机变量都不能描 述这种风险，所以我们必须先拓展分布函数
类．
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2.3 卷 积
在个体风险模型中，我们感兴趣的是多个保单
总理赔S 的分布：
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首先来计算X +Y 的分布函数：
连续形式的 全概率公式
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为了计算 Z 的矩、矩母函数
E etZ
E Z d 和停止损失保费 等等，
首先计算 Z 函数的期望．为此，我们用条件期望的平滑公式：
取公式中的W g Z ，并用 I 代替 V ，其中g 是某
S 1100 的概率是 2 %． 给定 100 < S < 1 100 , S 服从 U （100 , 1100）
分布．
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同样的，X 可以表示成X = IB ，其中I 表示理赔支付次数 (0或l ) , B 代表理赔支付．因此，
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在概率论中所学到的所有的随机变量要么 为离散型要么为连续型，几乎无一例外．

然而保险领域却不总是这样．许多被用来 模拟保险理赔支付的分布函数有连续增长 的部分，同时也有离散的、正的跳跃部 分．
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2.4 变换
对一个非负随机变量X ，其矩母函数定义为 其中h 为某个常数．因为我们特别要用到矩母函数 在0 点附近的小区间里的取值，所以要求h > 0 ．
随机变量的矩母函数与分布函数一一对应。
如果X 和Y 相互独立，则
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对于某些具有重尾的分布，如柯西分布，其 矩母函数不存在．但是特征函数总是存在的．特
征函数定义为
利用展开式可以得到
随机变量的特征函数与分布函数一一对应。
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所以X 的k 阶矩等于
概率母函数（pgf）仅用于取值为自然数的随机变
为求X的分布函数F ，我们有
由此得
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利用如下众所周知的方差分解准则，形如IB 的 风险方差可以通过给定I , B 的条件分布来计算：
h i E g Z | I i 个函数．再引入
，我们得到
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g ( z )[ F ( z ) F ( z 0)]
z


g ( z ) F ' ( z )dz
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例2.3.2 （离散分布的卷积）
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例2.3.3 ( iid 均匀分布的卷积）
例2.3.4(泊松分布的卷积)
设 X ~ Poission( ) 和 Y ~ Poission( ) 相互独立．
对任意x , X 的分布函数可以表达为
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对任意y , Y 的分布函数可以表达为
FY ( y) yI[ 0, 2) ( y) I [ 2, ) ( y )
1 又 FY y I0,2 y , y ，进而有 2
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q Pr I 1 , E B 和 2 Var B ， 记
则有 E X | I 1 和 EX | I 0 0 ． 得 E X | I i i ， i 0,1, Var X | I i 2i ． 类似有
到的量是 X 的半不变量，记为 k 。
随机变量X 的偏度定义为
E X , 2 Var X 其中
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假设理赔支付X = 400和X = 200 的概率分别为0.05 和0.15 ，
则有
因此 Pr I 1 0.2, Pr I 0 0.8
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例2.2.4（有索赔，且索赔额服从指数分布） 假设
如果 X 和 Y 是离散型的，则有
其中求和是取遍所有使得 f X x 0 的x。
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如果X 和Y 是连续型的，则
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为求X + Y + Z的分布函数，我们在做卷积运算时所 采用的卷积次序无关紧要

Riemann-Stieltjes积分

混合随机变量的分布
对于混合随机变量 Z IX (1 I )Y 其分布为：FZ ( z ) qFX ( z ) (1 q) FY ( z )
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例 2.2.3（自行车被盗险）考虑自行车保单：在保险事故“自行车被 盗”发生时，赔付 b 给被保险人，同时保险人的保险责任终止． 正如大多数寿险保单一样， 这种保单的赔付次数为 0 或 1 ， 且 事先知道赔付额 b．假设保险事故发生的概率为 q． 可以用 X Ib 理赔支付， 其中 I 为 Bernoulli(q)示性随机变量， I = 1 表示自行车被盗，I = 0 表示未被盗．可以把 X 重新表示为
和x
f x 1
，
其中求和是对那些满足 f x 0 的所有x 求和．
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连续型的随机变量
分布函数为：
F ( x)

f (t )dt
x
f x 称为概率密度函数．同样 f x 0 ，且 f x dx 1 ．
n 个独立同分布的随机变量之和的分布函数是共同 边际分布F 的n 重卷积，记为
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例 2.3.l （两个均匀分布的卷积） 设X ~ U (0,1) 和
Y ~ U (0,2) 相互独立，求
X + Y 的分布函数
．
一个集合A 的示性函数定义为
根据概率论的知识，任何一个分布函数都满足
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离散型的随机变量
如果x 是 F (x ) 连接点，则
f ( x ) F ( x ) F ( x 0) 0 ，
如果x 是 F (x ) 不连接点，则
对于所有的 x ，我们都有
f x 0
设Z 代表某个保单的理赔支付，则有三
种情况：
• 保单合同无理赔，因此Z=0 .
• 保单合同的索赔数额大于最大的保险金额
M ，则Z =M . • 保单合同产生正常的索赔数额，则0<Z<M.
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我们能够构造这样一个随机变量，该变量的分布为离散和连续分布的 混合分布． （1） 设 I 为示性随机变量，取值为 0 和 1 ，其中 I=1 表示某个事件发 生．假设事件发生的概率为 q Pr I 1 , 0 q 1 ． （2） 若 I=1 ， 则索赔 Z 与 X 分布相同； I=0 ， Z 与 Y 分布相同， 若 则 即 Z=IX+（1-I）Y
X Ib 1 I 0
.
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现在， 假设自行车未锁而被盗， 保险人赔付一半． 在荷兰， 许多自行车被盗保单不区分这种理赔数额的差别． 保险人在理 赔调查时，只要求被保险人在索赔时呈交所有的原始关键材 料．于是 X IB ，其中 B 代表随机赔付额．
风险X有如下分布：
（1）X 的均值是多少？ （2）对于风险厌恶系数为a=0.01且具有指数效用
函数的人，愿意为风险X 支付的最大保费为多少？
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（1）
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（2）如果被保险人使用的是参数为a = 0.01 的指数效用函数， 则由（1.21）得到最大保费 P
第2章 个体风险模型
本章讨论保险人风险组合的总索赔额的分布函 数。

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2.1 引言

总索赔（随机变量的和）的分布要用卷积，因此 非常麻烦。常用到均值，方差，矩母函数，特征 函数，母函数等。 有别于中心极限定理的近似方法。
风险随机变量往往不能用纯离散和连续随机变量