2—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。

己求得应力解为： σx =ax+by ，σy =cx+dy-γy ， τxy =-dx-ay ；
试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a 、b 、c 、d 。

解：首先列出OA 、OB 两边的应力边界条件： OA 边：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x = γ1y ； T y =0 则σx =-γ1y ； τxy =0
代入：σx =ax+by ；τxy =-dx-ay 并注意此时：x =0
得：b=-γ1；a =0；
OB 边：l 1=cos β；l 2=-sin β，T x =T y =0
则：cos sin 0cos sin 0x xy yx
y σβτβτβσβ+=⎧⎨
+=⎩………………………………（a ） 将己知条件：σx= -γ1y ；τxy =-dx ； σy =cx+dy-γy 代入（a ）式得：
化简（b ）式得：d =γ1ctg 2β；
化简（c ）式得：c =γctg β-2γ1 ctg 3β
2—17.己知一点处的应力张量为3
1260610010000Pa ⎡⎤⎢⎥⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦
试求该点的最大主应力及其主方向。

解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx =12×103 σy =10×103 τxy =6×103，且该点的主应力可由下式求得：
则显然：3
312317.08310 4.917100Pa
Pa σσσ=⨯=⨯=
σ1 与x 轴正向的夹角为：（按材力公式计算）
显然2θ为第Ⅰ象限角：2θ=arctg （+6）=+80.5376° 则：θ=+40.268840°16＇ 或（-139°44＇）
5-2：给出axy ϕ=；（1）：捡查ϕ是否可作为应力函数。

（2）：如以ϕ为应力函数，求出应力分量的表达式。

（3）：指出在图示矩形板边界上对应着什么样的边界力。

（坐标如图所示） 解：将axy ϕ=代入4
0ϕ∇=式
得：22
0ϕ∇∇= 满足。

故知axy ϕ=可作为应力函数。

求出相应的应力分量为：
220x y ϕσ∂==∂；220y x ϕσ∂==∂；2xy a x y
ϕ
τ∂=-=-∂∂；
上述应力分量0x y σσ==；xy a τ=-在图示矩形板的边界上对应着如图所示边界面力，该板处于纯剪切应力状态。

5-10:设图中的三角形悬臂梁只受重力作用。

而梁的比重为p ，试用纯三次式：
3223ax bx y cxy dy ϕ=+++的应力函数求解应力分量?
y
o
x
τx y
=-
a τy z
=-a
解:显然ϕ式满足2
0ϕ∇=式,可做为应力函数,相应的应力分量为:
2
2
266222x y xy cx by
py ax by py x bx cy x y σϕσϕ
τ⎫⎪=+⎪∂⎪=-=+-⎬∂⎪
⎪∂=-=--⎪
∂∂⎭
……………………（a ）
边界条件：
ox 边：y =0 , l =0 ,m =-1, F x =F y =0 则：2bx =0 得：b =0
-6ax =0 得：a =0 oa 边：(),
cos 90sin ;cos ;0x y y xtg l m F F α
ααα==+=-===
则：()()
()
26sin 2cos 02sin cos 0
cx dxtg cxtg a cxtg pxtg b αααααααα-+-⋅=⎧⎪⎨
⋅-⋅=⎪⎩ 由（c ） 式得：2p
c ctg α=
； 代入(b )式得：2
3
p d ctg α=-；
所以（a ）式变为：
;上式中K 为纯剪屈服应力。

7.3 设123S S S 、、为应力偏量，试证明用应力偏量表示Mises 屈服条件时，其
形式为：
证明：Mises 屈服条件为 故有
s σ= 7.6 物体中某点的应力状态为2100
0002000/00300MN m -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
，该物体在单向拉伸 时2190/s MN m σ=，试用Mises 和Tresca 屈服条件分别判断该点是处于弹性状态还是塑性状态 解：（1）Mises 屈服条件判断 故该点处于弹性状态 （2）Tresca 屈服条件判断
故该点处于塑性状态。