证明题专题1.如图，在矩形ABCD 中，E 是AB 边的中点，沿EC 对折矩形ABCD ，使B 点落在点P 处，折痕为EC ，联结AP 并延长AP 交CD 于F 点， （1）求证：四边形AECF 为平行四边形；（2）如果PA PC =，联结BP ，求证：APC EPC ∆≅∆第23题图【答案】（1）由折叠得到EC 垂直平分BP ， ………………1分 设EC 与BP 交于Q ，∴BQ EQ = ………………1分 ∵E 为AB 的中点， ∴AE EB =， ………………1分 ∴EQ 为△ABP 的中位线，∴AF ∥EC ， ………………2分 ∵AE ∥FC ， ∴四边形AECF 为平行四边形； ………………1分 （2）∵AF ∥EC ，∴90APB EQB ∠=∠=︒ ………………1分 由翻折性质90EPC EBC ∠=∠=︒，PEC BEC ∠=∠ ………………1分 ∵E 为直角△ABP 斜边AB 的中点，且=AP EP ，∴△AEP 为等边三角形 , 60BAP AEP ∠=∠=︒， ………………1+1分︒=︒-︒=∠=∠60260180CEB CEP ………………1分在△ABP 和△EPC 中， BAP CEP ∠=∠， APB EPC ∠=∠，AP EP = ∴APC EPC ∆≅∆(AAS ）， ………………1分 2.如图7，在直角梯形ABCD 中，90ABC ∠=︒，AD BC ∥，对角线AC 、BD 相交于点O ．过点D 作DE BC ⊥，交AC 于点F ．（1）联结OE ，若BE AO EC OF=，求证：OE CD ∥； （2）若AD CD =且BD CD ⊥，求证：AF DFAC OB=．【答案】(1)∵90ABD ∠=︒,BC DE ⊥∴//AB DE ………………………………………………………………（1分）∴AO BOOF OD = ………………………………………………………………（2分） ∵BE AOEC OF =∴AO BEOF EC = ……… ………………………………………………………（2分） ∴//OE CD …………………………………………………………………（1分） (2)∵BC AD //，//AB DE ， ∴四边形ABED 为平行四边形 又∵90ABD ∠=︒∴四边形ABED 为矩形 ……………………………………………………（1分） ∴AD BE =，90ADE ∠=︒ 又∵CD BD ⊥∴90BDC BDE CDE ∠=∠+∠=︒ ︒=∠+∠=∠90BDE ADB ADE∴CDE ADB ∠=∠ …………………………………………………………（1分）AD CD =∴DCA DAC ∠=∠∴()A S A CDF ADO ..∆≅∆…………………………………………………（1分） ∴OD DF =DE AB //∴AF BE AD AC BC BC ==…………………………………………………………（1分）∵BC AD //∴BO DFBO OD BC AD ==…………………………………………………………（1分） ∴AF DFAC OB =…………………………………………………………………（1分） 3.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，若DBC CAD ∠=∠.（1）求证：ABCD 是正方形.（2）E 是OB 上一点，CE DH ⊥，垂足为H ，DH 与OC 相交于点F ，求证：OF OE =.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴BC AD //，DAC BAD ∠=∠2,DBC ABC ∠=∠2………………………………..（2分）∴180=∠+∠ABC DAB …………………………………….（1分） ∵DBC CAD ∠=∠;∴ABC BAD ∠=∠……………………………（1分）∴1802=∠BAD ; ∴90=∠BAD ……………………………………1分） ∴四边形ABCD 是正方形………………………………………（1分） （2）证明：∵四边形ABCD 是正方形；∴BD AC ⊥，BD AC =，AC CO 21=,BO DO 21=…………………………………（1分）∴90=∠=∠DOC COB ，DO CO =………………………………………（1分）∵CE DH ⊥，垂足为H ；∴90=∠DHE ，90=∠+∠DEH EDH ……………………………………………（1分）又∵90=∠+∠DEH ECO ；∴EDH ECO ∠=∠……………………………………………（1分） ∴ECO ∆≌FDO ∆………………………………………………（1分） ∴OF OE =……………………………………………（1分）4.已知：如图6，在直角梯形ABCD 中，AD BC ,DC BC ⊥,AB AD =,AM BD ⊥,垂足为点M ，联结CM 并延长，交线段AB 于点N 求证：（1）ABD BCM ∠=∠ （2）..BC BN CN DM = 【答案】（1）∵AB AD =，AM BD ⊥∴M 是BD 中点，ABD ADB ∠=∠ ∵DC BC ⊥ ∴BM CM DM == ∴MBC MCB ∠=∠ ∵AD BC ∴ADB DBC ∠=∠ ∴ABD BCM ∠=∠（2）∵ABD BCM ∠=∠，BNM BNM ∠=∠ ∴BNM CNB ∆∆∴BC CNBM BN =∵DM BM = ∴BC CNDM BN=∴..BC BN CN DM =5.已知：如图8，正方形ABCD ，点E 在边AD 上，AF BE ⊥，垂足为点F ，点G 在线段BF 上，BG AF =．（1）求证：CG BE ⊥；（2）如果点E 是AD 的中点，联结CF ，求证：CF CB =．【答案】（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC =．90ABC． ········· （1分） ∵AF ⊥BE ，∴90FAB FBA ∠+∠=︒．∵90FBA CBG ∠+∠=︒，∴FAB CBG ∠=∠． ······························ （1分） 又∵AF BG =，∴△AFB ≅△BGC ． ············································ （2分） ∴AFB BGC ∠=∠． ····································································· （1分） ∵90AFB ∠=︒，∴90BGC ∠=︒，即CG ⊥BE ． ····························· （1分） （2）∵ABF EBA ∠=∠，90AFB BAE ∠=∠=︒，∴△AEB ∽△FAB ．∴AE AFAB BF=． ··············································· （3分） ∵点E 是AD 的中点，AD AB =，∴12AE AB =．∴12AF BF =． ················ （1分） ∵AF BG =，∴12BG BF =，即FG BG =．·········································· （1分） ∵CG ⊥BE ，∴CF CB =． ····························································· （1分）6. 如图5，平行四边形ABCD 的对角线BD AC 、交于点O ，点E 在边CB 的延长线上，且︒=∠90EAC ，EC EB AE ⋅=2． （1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）延长AE DB 、交于点F ，若AC AF =，求证：BF AE =．【答案】证明：（1）∵EC EB AE ⋅=2 ∴AEEB EC AE =又 ∵CEA AEB ∠=∠ ∴AEB ∆∽CEA ∆ （2分） ∴EAC EBA ∠=∠A BCDFG E 图8图5AB CDE FO∵︒=∠90EAC ∴︒=∠90EBA （1分） 又 ∵︒=∠+∠180CBA EBA ∴︒=∠90CBA （1分） ∵四边形ABCD 是平行四边形∴四边形ABCD 是矩形 （1分）（2）∵ AEB ∆∽CEA ∆ ∴ AC AB AE BE = 即 ACAE AB BE = ， ECA EAB ∠=∠ （2分）∵四边形ABCD 是矩形 ∴BD AC = 又 ∵BD OB 21=， AC OC 21= ∴OC OB = ∴ECA OBC ∠=∠ 又 ∵OBC EBF ∠=∠ ECA EBA ∠=∠ ∴EAB EBF ∠=∠又 ∵F F ∠=∠ ∴EBF ∆∽BAF ∆ （3分） ∴AB BE AF BF = ∴ACAE AF BF =（1分） ∵AC AF = ∴AE BF = （1分）7.如图，已知梯形ABCD 中，AD BC , AB AC =，E 是边BC 上的点，且AED CAD ∠=∠， DE 交AC 于点F ．(1) 求证：ABEDAF ∆∆；(2) 当..AC FC AE EC =时，求证：AD BE =．【答案】(1)∵AD ∥BC ，∴∠CAD =∠ACB .∵AB =AC ，∴∠B =∠ACB ，∴∠CAD =∠B ∵∠AED =∠CAD ，∴∠B =∠AED∵∠AEC =∠B +∠BAE ，即∠AED +∠DEC =∠B +∠BAE ， ∴∠BAE =∠DEC .BE（第23题图）在△AEB 与△EFC 中，B ACEBAE DEC∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，∴AEB EFC ∆∆.∵AD ∥BC ，∴DAF EFC ∆∆∴ABEDAF ∆∆.(2) ∵AEB EFC ∆∆，∴AB BEEC CF=即AB CF EC BE ⋅=⋅ ∵=AC CF AE EC AB AC ⋅=⋅且,∴AE=BE . ∴∠B =∠BAE∵∠BAE =∠FEC ，∴∠B =∠FEC . ∴AB ∥DE∵AD ∥BC ，∴四边形ABED 是平行四边形 ∴AD =BE .8.如图，已知□ABCD 中，AB=AC ，CO ⊥AD ，垂足为点O ，延长CO 、BA 交于点E ，联结DE ．（1）求证：四边形ACDE 是菱形；（2）联结OB ，交AC 于点F ，如果OF=OC ， 求证：22AB BF BO =⋅．【答案】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形∴AB ∥DC ，AB=DC ………………………………………………………………（1分） ∵AB=AC ，∴AC=DC ……………………………………………………………（1分） ∵CO ⊥AD ，∴AO=DO …………………………………………………………（1分） ∵EO AOCO DO=，∴EO=CO ………………………………………………………（1分） ∴四边形ACDE 是平行四边形……………………………………………………（1分） ∵AC=DC ，∴四边形ACDE 是菱形……………………………………………（1分） （2）∵ OF=OC ，∴∠OFC=∠OCF ……………………………………………（1分） ∵AE=AC ，∴∠OCF=∠BEO∵∠OFC=∠BF A ，∴∠BF A=∠BEO …………………………………………（1分）∵∠ABF=∠OBE …………………………………………………………………（1分） ∴△BF A ∽△BEO ，∴AB BFBO BE=………………………………………………（1分） ∴AB ·BE=BF ·BO ，∵AE=AC=AB ，∴BE=2AB ………………………………（1分） ∴22AB BF BO =⋅………………………………………………………………（1分）9.已知：如图10，在四边形ABCD 中，AD BC <，点E 在AD 的延长线上， ACE BCD ∠=∠，EC ED EA =⋅2． （1）求证：四边形ABCD 为梯形； （2）如果EC ABEA AC=，求证：AB ED BC =⋅2．【答案】（1）∵ ACE BCD ∠=∠，∴DCE BCA ∠=∠． ····························· （1分）∵EC ED EA =⋅2，∴ED ECEC EA=． ···················································· （1分） 又∵E ∠是公共角，∴△EDC ∽△ECA ． ············································ （1分） ∴DCE CAE ∠=∠． ······································································· （1分） ∴BCA CAE ∠=∠．∴AD ∥BC ． ················································································ （1分） ∵AD BC <，∴AB 与CD 不平行．∴四边形ABCD 是梯形． ··································································· （1分） （2）∵△EDC ∽△ECA ．∴EC CDEA AC =． ∵EC AB EA AC=，∴AB DC =． ························································· （1分） ∴四边形ABCD 是等腰梯形． ·························································· （1分） ∴B DCB ∠=∠． ········································································· （1分） ∵AD ∥BC ．∴EDC DCB ∠=∠． ∴EDC B ∠=∠．∵ECD ACB ∠=∠，∴△EDC ∽△ABC ． ······································ （1分）图10ABCDE∴ED DCAB BC=． ············································································· （1分） ∴AB ED BC =⋅2． ···································································· （1分）10.如图6，在矩形ABCD 中，点E 是边AB 的中点，△EBC 沿直线EC 翻折，使B 点落在矩形ABCD 内部的点P 处，联结AP 并延长AP 交CD 于点F ，联结BP 交CE 于点Q ．（1）求证：四边形AECF 是平行四边形； （2）如果PE PA =，求证：△APB ≌△EPC ．【答案】（1）证明：由翻折得:EC 垂直平分BP ………………1分∴EQ BQ = ………………1分 ∵点E 为AB 的中点，∴EB AE = ………………1分 ∴EQ 是△ABP 的中位线，∴EC ∥AF ，……………1分 ∵四边形ABCD 是矩形∴AE ∥FC ………………1分 ∴四边形AECF 是平行四边形. ………………1分（2）∵AE ∥FC ，∴EQB APB ∠=∠ ………………1分由翻折得: ︒=∠90EQB ,︒=∠90EPC∴︒=∠=∠90EPC APB ………………1分 由翻折得:EB PE =,BEC PEC ∠=∠∵PE PA =,EB AE = ∴AE PE PA ==∴△AEP 是等边三角形，∴︒=∠=∠60AEP PAB …………1分ABD CFP E Q图6 ABD CFP E Q图6∵︒=∠+∠+∠180BEC PEC AEP∴︒=∠60PEC ………………1分 ∴PEC PAB ∠=∠ ………………1分 ∵PE PA =,∴△APB ≌△EPC ………………1分11.如图，在□ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，过点B 作BE ∥AC ，联结OE 交BC 于点F ，点F 为BC 的中点．（1）求证：四边形AOEB 是平行四边形；（2）如果∠OBC =∠E ，求证：=BO OC AB FC ⋅⋅．【答案】（1）证明：∵BE ∥AC ∴OC CFBE BF=∵点F 为BC 的中点 ∴CF=BF ∴OC=BE∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AO=CO ∴AO=BE∵BE ∥AC ∴四边形AOEB 是平行四边形（2）证明：∵四边形AOEB 是平行四边形 ∴∠BAO =∠E ∵∠OBC =∠E ∴∠BAO =∠OBC∵∠ACB =∠BCO ∴△COB ∽△CBA ∴BO BCAB AC =∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AC =2OC ∵点F 为BC 的中点 ∴BC =2FC ∴BO FCAB OC= 即=BO OC AB FC⋅⋅12.已知：如图6，△ABC 内接于⊙O ，AB ﹦AC ，点E 为弦AB 的中点，AO 的延长线交BC 于点D ，联结ED ．过点B 作BF ⊥DE 交AC 于点F ．（1）求证：∠BAD ﹦∠CBF ； （2）如果OD ﹦DB ．求证：AF =BF ．【答案】证明：（1）∵AB ﹦AC ， ∴AB AC =． ........................（1分） ∵直线AD 经过圆心O ， ..................................................（1分） ∴AD ⊥BC ，BD=CD ． ....................................................（1分） ∵点E 为弦AB 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线．∴DE ∥AC ． ......................................................................（1分） ∵BF ⊥DE ，∴∠1=90°，∴∠2=90°．......................................................................（1分） ∴∠CBF ＋∠ACB ﹦90°．∵AB ﹦AC ，∴∠ABC ﹦∠ACB ， .....................................（1分） ∴∠CBF ＋∠ABC ﹦90°．.................................................（1分） 又∵AD ⊥BC ，∴∠BAD ＋∠ABC ﹦90°，∴∠BAD ﹦∠CBF ．.............................................................（1分） （2）联结OB ．∵AD ⊥BC ，OD ﹦DB ，∴△ODB 是等腰直角三角形．..................................................................（1分） ∴∠BOD ﹦45°． ∵OB=OA ， ∴∠OBA ﹦∠OAB ． ∵∠BOD ﹦∠OBA +∠OAB ，∴∠BAO=12∠BOD=22.5°． ............................................................（1分）∵AB=AC ，且AD ⊥BC ， ∴∠BAC=2∠BAO=45°． ∵∠2=90°，即BF ⊥AC ，∴在△ABF 中，∠ABF =180904545--=，..........................................................（1分） ∴∠ABF =∠BAC ，∴AF =BF ．......................................................................................................（1分）图6BCDEF OA· 图6BCDEFOA· 1213.如图6，已知四边形ABCD ，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，DO =BO ，过点C作CE ⊥AC ，交BD 的延长线于点E ，交AD 的延长线于点F ，且满足DCE ACB ∠=∠.（1）求证：四边形ABCD 是矩形； （2）求证：DE ADEF CD=.【答案】证明：（1）∵AD ∥BC ，∴AD DOBC BO=， ∵DO =BO ，∴AD BC =，---（2分） ∴四边形ABCD 是平行四边形. ---------------------------------------------------------------（1分） ∵CE ⊥AC ，∴90ACD DCE ∠+∠=︒，∵DCE ACB ∠=∠，∴90ACB ACD ∠+∠=︒，即90BCD ∠=︒，-------------------（2分） ∴四边形ABCD 是矩形. -----------------------------------------------------------------------（1分）（2）∵四边形ABCD 是矩形，∴AC BD =，90ADC ∠=︒-----------------------（2分） ∵AD ∥BC ，∴DE EFBD FC=.------------------------------------------------------------（1分） ∴DE EFAC FC =，------------------------------------------------------------------------------（1分） ∴DE AC EF FC=，∵90ADC ACF ∠=∠=︒， ∴cot AC ADDAC FC CD∠==，-----------------------------------------------------------（1分） ∴DE AD EF CD=.----------------------------------------------------------------------------（1分）14.已知：如图，在△ABC 中，AB =BC ，∠ABC =90°，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，点F 、G 是边AC 的三等分点，DF 、EG 的延长线相交于点H ，联结HA 、HC . 求证：（1）四边形FBGH 是菱形； （2）四边形ABCH 是正方形．ADHFG【答案】证明（1）：∵点F 、G 是边AC 的三等分点，∴F 、G 分别是AG 、CF 的中点，∵点D 是AB 的中点，∴DF //BG ，即FH //BG ． ........................ （2分）同理： GH // BF ． ........................................................................... （1分） ∴四边形FBGH 是平行四边形． .................................................. （1分） ∵AB =BC ，∴∠BAC =∠ACB .∵点F 、G 是边AC 的三等分点，∴AF =CG .∴△ABF ≌△CBG . ∴BF =BG. ...................................................... （1分） ∴平行四边形FBGH 是菱形. ....................................................... （1分）证明（2）联结BH ，交FG 于点O ，∵四边形FBGH 是平行四边形，∴OB =OH ，OF =OG ． ............ （2分） ∵AF =CG ，∴OA =OC ． ................................................................. （1分） ∴四边形ABCH 是平行四边形． .................................................. （1分） ∵∠ABC =90°，∴平行四边形ABCH 是矩形. ............................ （1分） ∵AB =BC ，∴矩形ABCH 是正方形. ........................................... （1分）15.如图，已知四边形ABCD 是菱形，对角线AC 、BD 相交于点O ，BD = 2AC ．过点A 作AE ⊥CD ，垂足为点E ，AE 与BD 相交于点F ．过点C 作CG ⊥AC ，与AE 的延长线相交于点G ．求证：（1）△ACG ≌△DOA ；（2）2DF BD DE AG ⋅=⋅．【答案】证明：（1）在菱形ABCD 中，AD = CD ，AC ⊥BD ，OB = OD ．∴ ∠DAC =∠DCA ，∠AOD = 90°．……………………………（1分） ∵ AE ⊥CD ，CG ⊥AC ，（第23题图）ABCDOE GF （第23题）∴ ∠DCA +∠GCE = 90°，∠G +∠GCE = 90°．∴ ∠G =∠DCA ．…………………………………………………（1分） ∴ ∠G =∠DAC ．…………………………………………………（1分） ∵ BD = 2AC ，BD = 2OD ，∴ AC = OD ． ……………………（1分） 在△ACG 和△DOA 中，∵ ∠ACG =∠AOD ，∠G =∠DAC ，AC = OD ，∴ △ACG ≌△DOA ． ……………………………………………（2分） （2）∵ AE ⊥CD ，BD ⊥AC ，∴ ∠DOC =∠DEF = 90°．…………（1分） 又∵ ∠CDO =∠FDE ，∴ △CDO ∽△FDE ．…………………（1分）∴CD ODDF DE=．即得 OD DF DE CD ⋅=⋅． ……………………（2分） ∵ △ACG ≌△DOA ，∴ AG = AD = CD ． ……………………（1分） 又∵ 12OD BD =，∴ 2DF BD DE AG ⋅=⋅．…………………（1分） 16.已知：如图9，在菱形ABCD 中，AB =AC ，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，且AE =BF ，CE 与AF 相交于点G ． （1）求证：∠FGC =∠B ；（2）延长CE 与DA 的延长线交于点H ，求证：．【答案】证明：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC ． ······································································ （1分）∵AB =AC ，∴AB =BC =AC ，∴∠B =∠BAC =60°． ······················ （1分） 在△EAC 与△FBA 中，∵EA =FB ，∠EAC =∠FBA ，AC =BA ，∴△EAC ≌△FBA ， ····························································· （1分） ∴∠ACE =∠BAF ，····························································· （1分） ∵∠BAF+∠F AC =60°，∴∠ACE +∠F AC =60°，∴∠FGC =60°， ·· （1分） ∴∠FGC =∠B ． ································································ （1分） （2）∵四边形ABCD 是菱形，∴∠B =∠D ，AB =DC ，AB //DC ， ··········································· （1分） ∴∠BEC =∠HCD ， ···························································· （1分）BE CH AF AC ⋅=⋅GF EDA BC图9∴△BEC ∽△DCH ， ·························································· （1分） ∴=BE ECDC CH， ································································ （1分） ∴⋅=⋅BE CH EC DC ．∵AB =AC ，∴CD =AC ， ······················································ （1分） ∵△EAC ≌△FBA ， ∴EC =F A ，∴⋅=⋅BE CH AF AC ． ···················································· （1分）。