B A ND P M F
∴PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 同理,PE=PF. ∴PD＝PE=PF. 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等
E
C
3.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平 分线相交于点F， 求证：点F在∠DAE的平分线上． 证明： 过点F作FG⊥AE于G， FH⊥AD于H，FM⊥BC于M ∵点F在∠BCE的平分线上， FG⊥AE， FM⊥BC ∴FG＝FM 又∵点F在∠CBD的平分线上， FH⊥AD， FM⊥BC ∴FM＝FH ∴FG＝FH
求证： A
E B G D C F
高
拓展题
8.已知AB=AE,AC=AD,AC⊥AD,AB⊥AE; (1)观察图中有没有全等三角形? (2)怎样变换△ABC和△AED中的一个位置,可使它们重合? (3)观察△ABC和△AED中对应边有怎样的位置关系? (4)试证ED⊥BC
E A
2 1
C
B
D
拓展题
9.如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.
方法指引
证明两个三角形全等的基本思路：
找第三边 (SSS) （1）：已知两边---- 找夹角 （SAS) 找是否有直角 (HL) 找这边的另一个邻角(ASA) 已知一边和它的邻角 (2):已知一边一角--已知一边和它的对角 找这个角的另一个边(SAS) 找这边的对角 (AAS) 找一角(AAS) 已知角是直角，找一边(HL) 找两角的夹边(ASA) 找夹边外的任意边(AAS) 练习
（3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、 高线分别相等。
知识回顾：
包括直角三角形
一般三角形 全等的条件：解题中常 用的 4种 方法1.定义（重合）法； 2.SSS； 3.SAS； 不包括其它形 状的三角形 4.ASA； 5.AAS. 直角三角形 全等特有的条件： HL.
三角形全等的判定方法：
B 4 （第18题） C F
12.如图，在R△ABC中，∠ACB=450， ∠BAC=900，AB=AC，点D是AB的中点， AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交AF的 延长线于E，求证：BC垂直且平分DE.
13.已知：如图：在△ABC中，BE、CF 分别是AC、AB两边上的高，在BE上 截取BD=AC，在CF的延长线上截取 CG=AB，连结AD、AG。 • 求证：△ ADG 为等腰直角三角形。
求证:BC∥EF
F E D
A B C
拓展题
10.如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA， CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由。
C E D 要证明两条线段的和与一条线段 相等时常用的两种方法： 1、可在长线段上截取与两条线段 中一条相等的一段，然后证明剩 余的线段与另一条线段相等。 （割）
边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成
“SSS”)
边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等
（可简写成“SAS”)
角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 （可简写成“ASA”) 角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全 等（可简写成“AAS”)
斜边.直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三 角形全等（可简写成“HL”)
A
B
2、把一个三角形移到另一位置， 使两线段补成一条线段，再证明 它与长线段相等。（补）
11.如图：在四边形ABCD中，点E在边CD上， 连接AE、BE并延长AE交BC的延长线于点F， 给出下列5个关系式：：①AD∥BC，②， DE=EC③∠1=∠2，④∠3=∠4，⑤ AD+BC=AB。将其中三个关系式作为已知， 另外两个作为结论，构成正确的命题。请 用序号写出两个正确的命题：（书写形式： A 如果……那么……） D 1 2 （ 1） ； E （ 2） ； 3
D
变式：以上条件不变，将
在△ACD和△BCE中
AC=BC ∠BCE=∠DCA
△ABC绕点C旋转一定角度 （大于零度而小于六十度）， 以上的结论海成立吗？
DC=EC
∴ △ACD≌△BCE (SAS) ∴ BE=AD
5：如图，已知E在AB上，∠1=∠2， ∠3=∠4，那么AC等于AD吗？为什么？
C 3 A E 4 D 1 2 B
全等三角形（复习）
一、全等三角形
1.什么是全等三角形？一个三角形经过 哪些变化可以得到它的全等形？ 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到 它的全等形。 2：全等三角形有哪些性质？
（1）全等三角形的对应边相等、对应角相等。
（2）全等三角形的周长相等、面积相等。
等三角形？请任选一对给予证明。 E F C B
答：
D
△ABC≌△DEF ∴ ∠A=∠D ∵ AF=DC ∴ AF+FC=DC+FC ∴ AC=DF 在△ABC和△DEF中 AC=DF ∠A=∠D AB=DE ∴ △ABC≌△DEF （SAS）
证明： ∵ AB∥DE
A
练习
7：如图，已知，EG∥AF，请你从下面三个条件中，再选出两 个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。 （只写出一种情况）①AB=AC ②DE=DF ③BE=CF 已知： EG∥AF
(3):已知两角---
1.证明两个三角形全等，要结合题目的条件和结论，选 择恰当的判定方法 2.全等三角形，是证明两条线段或两个角相等的重要方 法之一，证明时 ①要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三 角形中。 ②分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺 什么条件。 ③有公共边的，公共边一定是对应边， 有公共角 的，公共角一定是对应角，有对顶角，对顶角也是对 应角 总之，证明过程中能用简单方法的就不要绕弯路。
解：AC=AD
理由：在△EBC和△EBD中
∠1=∠2 ∠3=∠4
EB=EB
∴ △EBC≌△EBD (AAS) ∴ BC=BD 在△ABC和△ABD中 AB=AB ∠1=∠2 BC=BD ∴ △ABC≌△ABD (SAS) ∴ AC=AD
练习
6：如图，已知，AB∥DE，AB=DE，AF=DC。请问图中有那几对全
A G F D H C E
B
14.已知：如图21，AD∠BAC， DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， DB=DC， 求证：EB=FC
总结提高
学习全等三角形应注意以下几个问题： （1):要正确区分“对应边”与“对边”，“对应 角”与 “对角”的不同含义； （2）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的 字母要写在对应的位置上； （3）：要记住“有三个角对应相等”或“有两边及 其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等； （4）：时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、 “公共边”、“对顶角”
二、角的平分线 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 用法：∵ QD⊥OA,QE⊥OB, 点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE
1.角平分线的性质：
2.角平分线的判定：
角的内部到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上。 用法： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上．
G M
H
∴点F在∠DAE的平分线上
4.已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且 点B，C，D在一条直线上求证：BE=AD
E
证明： ∵ △ABC和△ECD都是等边三角形 ∴ AC=BC DC=EC ∠BCA=∠DCE=60° ∴ ∠BCA+∠ACE=∠DCE+ ∠ACE 即∠BCE=∠DCA
B
A
C
三.练习：
1.如图：在△ABC中，∠C =900，AD平 分∠ BAC，DE⊥AB交AB于E， BC=30，BD：CD=3：2，则 DE= 12 。 c
D
A
E
B
2.如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等 证明：过点P作PD⊥AB于D， PE⊥BC于E，PF⊥AC于F ∵BM是△ABC的角平分线,点P 在BM上,