AC段 (0 ≤ x ≤ a) 段 BC段 (a ≤ x ≤ L) 段 Fb 2 Fb 2 F EIω1' = EIθ1 = x + C1, EIω2 ' = EIθ2 = x − (x − a)2 + C2 , 2L 2L 2 Fb 3 EIω1 = x + C1x + D , EIω2 = Fb x3 − F (x − a)3 + C2 x + D2 , 1 6L 6L 6 3、确定常数 、 边界条件： 边界条件：
θA 。
X
解：取参考坐标系Axy。 取参考坐标系 。 1、列出梁的弯矩方程 、
d 2ω M(x) 2、 、 2 = dx EIz
(0 ≤ x ≤ L)
1 2 EIω"= − qx 2 积分一次： 积分一次：EIω' = EIθ = − 1 qx3 + C（1） ） 1 46 积分二次： 积分二次： EIω = − qx + Cx + D （2） ） 24
2、积分常数的确定——边界条件和连续条件： 、积分常数的确定 边界条件和连续条件： 边界条件和连续条件 边界条件：梁在其支承处的挠度或转角是已知的，这样的 边界条件：梁在其支承处的挠度或转角是已知的， 已知条件称为边界条件。 已知条件称为边界条件。 连续条件：梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦的曲线。 连续条件：梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦的曲线。因 此，在梁的同一截面上不可能有两个不同的挠度 值或转角值，这样的已知条件称为连续条件。 值或转角值，这样的已知条件称为连续条件。
二、分段列出梁的挠曲线近似微分方程，并对其积分两次 分段列出梁的挠曲线近似微分方程， 1、对挠曲线近似微分方程积分一次，得转角方程： 、对挠曲线近似微分方程积分一次，得转角方程：
dω 1 θ (x) = = (∫ M(x)dx + c) dx EI
2、再积分一次，得挠曲线方程： 、再积分一次，得挠曲线方程：
常数C表示起始截面的转角×刚度( ) 常数 表示起始截面的转角×刚度(EI) 表示起始截面的转角
3、确定常数C、D. 、确定常数 、
代入（ ）（ ）（2） 代入（1）（ ）得：
1 3 代入（ ） 由边界条件： 由边界条件： x = L,θ = 0 代入（1）得： C = − qL 6 1 4 代入（ ） x = L,ω = 0 代入（2）得： D = − qL 8
θA = 0 边界条件： 边界条件： ωA = 0
连续条件： 连续条件：
θB左 = θB右 ωB左 = ωB右
列出图示结构的边界条件和连续条件。 列出图示结构的边界条件和连续条件。
ωA = 0 θ 解：边界条件： A = 0 ωC = 0
ωD左 = ωD右 连续条件：θD左 = θD右 ωB左 = ωB右
Ay
dω 的位置值x。 由 =θ = 0求得ωmax 的位置值 。 dx
L2 −b2 x= 3
F By
代入ω (x) 得： 1
ω
2 2 3 2
F C a
L
Fb ( L − b ) ω max = − 9 3 EI L 若 a = b = 则： 2
A
B x
b
F Ay
F By
ω max = ω
x=
L 2
FL3 =− 48 EI
在简支梁情况下，不管F作用在何处（支承除外）， 在简支梁情况下，不管F作用在何处（支承除外），
ωmax 可用中间挠度代替，其误差不大，不超过3%。 可用中间挠度代替 其误差不大，不超过3% 中间挠度代替， 3%。
w 叠加原理：在小变形和线弹性范围内， 叠加原理：在小变形和线弹性范围内，由几个载荷共 同作用下梁的任一截面的挠度和转角， 同作用下梁的任一截面的挠度和转角，应等于每个载 荷单独作用下同一截面产生的挠度和转角的代数和。 荷单独作用下同一截面产生的挠度和转角的代数和。 例3、 已知：q、l 、 EI 、 已知： w 求：wC , θB
一、曲率与弯矩、抗弯刚度的关系 曲率与弯矩、
纯弯曲
1 1
M M（x）
＝
ρ ＝ EI
EI d2 w
力学公式
横力弯曲 （ l／h＞5） ／ ＞ ）
ρ（x）
数学公式
1 ＝＋ ρ（ x） －
d x2
dw 2 3/2 [1+( )] dx
ω
小挠度情形下 ＝（0.01－0.001）l － ） max＝（ ；
12.4 用叠加法求弯曲变形
w
w
ql 3 5ql 4 θB1 = , wC1 = − 24EI 384EI
w
(ql 2 ) ⋅ l ql3 θB3 = − =− , 3EI 3EI 3ql 4 wC3 = 48EI
w
(ql) ⋅ l 2 ql 3 θB2 = = , 16EI 16EI (ql)l3 wC2 = − 48EI
F Ay
L
Fb Fa FAy = , FBy = L L
x
F C b B x
F By
BC段 (a ≤ x ≤ L) 段
AC段 (0 ≤ x ≤ a) 段
M1(x) = FAx =
Fb x, L
M2 (x) =
Fb EIω "= x, 1 L
Fb x − F(x − a), L Fb EIω2"= x − F(x − a), L
第12章 章 弯曲变形
12.1 弯曲变形的概念 一、 梁的挠度和横截面 的转角 ω c
θ
w
p x
c′
∆x
1、挠曲线：梁变形后的轴线。 挠曲线：梁变形后的轴线。
θ
性质：连续、光滑、弹性、极其平坦的平面曲线。 性质：连续、光滑、弹性、极其平坦的平面曲线。
2、挠度：梁轴线上的点在垂直于梁轴线方向的所发生的线位 挠度： 移ω称为挠度。（工程上的一般忽略水平线位移） 称为挠度。（工程上的一般忽略水平线位移） 。（工程上的一般忽略水平线位移 3、转角：梁变形后的横截面相对于原来横截面绕中性轴所 转角： 转过的角位移θ称为转角。 转过的角位移θ称为转角。
x = 0,ωA = 0 x = L,ωB = 0
ω A x a
x
F C b
LLeabharlann B xθ 光滑连续条件： 光滑连续条件： x = a时， 1 =θ2
x = a时，ω1 = ω2 可解得： 可解得： C = − Fb (L2 − b2 )= C , 2 1 6L D = D2 = 0 1
F Ay
F By
二、符号规定： 符号规定： 1、坐标系的建立： 、坐标系的建立： 坐标原点一般设在梁的左端，并规定：以变形前的梁轴线为 坐标原点一般设在梁的左端，并规定：以变形前的梁轴线为x 向右为正； 轴代表曲线的纵坐标(挠度 向上为正。 挠度)， 轴，向右为正；以ω轴代表曲线的纵坐标 挠度 ，向上为正。 2、挠度的符号规定：向上为正，向下为负。 、挠度的符号规定：向上为正，向下为负。 3、转角的符号规定：逆 、转角的符号规定： 时针转向的转角为正； 时针转向的转角为正； 顺时针转向的转角为负。 顺时针转向的转角为负。 ω c
四、建立转角方程和挠曲线方程； 建立转角方程和挠曲线方程； 五、计算指定截面的转角和挠度值，特别注意 θ max 和 ω max 计算指定截面的转角和挠度值， 及其所在截面。 及其所在截面。 ω q 例1、悬臂梁受力如图所示。 、悬臂梁受力如图所示。 求 ωA 和 B A x L
1 M(x) = − qx2 2
(a ≤ x ≤ L)
Fb(L2 −b2 ) θA =θ1 x=0 = − 6LEI 代入得： x = L代入得： Fab(L + a) θB =θ2 x=L = 6LEI
5、求 ωmax 。 、
Fb(L2 −b2 ) Fab(a − b) θA = − < 0, θC =θ1 x=a = > 0(Qa > b) 6LEI 3LEI F ∴θ = 0在AC段。 ω 则由 C B A Fb θ1(x) = [3x2 − (L2 − b2 )] = 0 x a b 6LEI L 解得： 解得： F
3
比较知： （与C比较知： θA = C） 比较知 EI
qL θA = 6EI
比较知： （与D比较知： ωA = D 比较知 EI ）
例2、一简支梁受力如图所示。试求θ (x), ω(x) 和 θA,ωmax 。 、一简支梁受力如图所示。 解： 、求支座反力 1、 ω A x a 2、分段列出梁的弯矩方程 、
ql3 ql3 ql3 11ql3 − + =− ∴θB =θB1 +θB2 +θB3 = 24EI 3EI 16EI 48EI
5ql 4 3ql 4 (ql)l3 11ql 4 wC = wC1 + wC2 + wC3 = − + − = 384EI 48EI 48EI 384EI
怎样用叠加法确定 例4、怎样用叠加法确定θC和 wC ?
3、选用不同坐标系下的挠曲线近似微分方程
2
2
d 2ω M(x) = dx EI
d 2ω M( x) =− dx EI
12.3 用积分法求弯曲变形 利用积分法求梁变形的一般步骤： 利用积分法求梁变形的一般步骤： 一、建立坐标系（一般：坐标原点设在梁的左端），求支座 建立坐标系（一般：坐标原点设在梁的左端），求支座 ）， 反力，分段列弯矩方程； 反力，分段列弯矩方程； 分段的原则: 分段的原则 凡载荷有突变处（包括中间支座），应作为分段点； ），应作为分段点 ①凡载荷有突变处（包括中间支座），应作为分段点； 凡截面有变化处，或材料有变化处， ②凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点； 中间铰视为两个梁段间的联系， ③中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两部分 之间的相互作用力，故应作为分段点； 之间的相互作用力，故应作为分段点；