2ε0
E V x
(1
2ε0
x )
x2 R2
R
o
r
dr
(x2 r2 )1/2
x Px
课堂练习 利用场强与电势梯度的关系求均匀带电细杆中垂线
上P点的电场强度。已知细杆的的电量为q ,长度为L。 y
P
y
O
L
x dx
X
y P
r y
x
L x dx
VP
q
4 0L
L/2 L/2
dx q ln( L / 2
dq
y
r
R
p
x
x
z
例、利用电场强度与电势的关系求通过半径为R 的均匀带电圆平板中心且垂直平面的轴线上任 意点的电场强度. 设电荷面密度为。
dq 2πrdr
V 1 R 2πrdr
4πε0 0 x2 r 2
( x2 R2 x)
2ε0
R
o
r
dr
(x2 r2 )1/2
x Px
V ( x2 R2 x)
场强与电势梯度的关系
一、 等势面 在电场中，一般来说，电势应该是空间位置坐标
的函数，是逐点变化的，但是总会有一些点的电势是 相等的。
等势面 ： 电场中电势相等的点所构成的面。
下面我们来看几种典型的等势面。
等势面的性质 ⑴等势面与电场线处处正交， 电场线指向电势降落的 方向，即沿着场强的方向电势降落。因此，在等势面 上移动电荷时，电场力不作功，电荷的电势能不变。
Ex
V x
Ey
V y
V Ez z
E
(
V
i
V
j
V
k)
x y z
电势梯度
gradV
dV dln
en
gradV
V
i
V
j
V
k
x
y
z
例 已知 u 6x 6x2 y 7z2
求 （2，3，0）点的电场强度。
解
Ex
u x
(6
12xy)
66
Ey
u y
6x2
24
Ez
u z
14z
0
E Exi Ey j 66i 24 j
相同，把点电荷q
从P移到Q，电场力作功为：
dW qE dl qE cosdl
V+dV
n E
qEdln
dln Q
dW q[V (V dV )] qdV
E cosdl Edln dV
V
q dl
P
E dV dln
任意一场点P处电场强度的大小等于沿过该点等势面法线方
向上电势的变化率，负号表示电场强度的方向指向电势减
E
dV dln
en
gradV
另一种理解
E cos θdl Edln dV
Eldl dV
El
dV dl
电场强度在 l 方向的投影等于电 势沿该方向变化率的负值
en
V+dVБайду номын сангаас
dln Q
V
q dl P E
dl dln
dV dV dl dln
电势沿等势面法线方向的变化率最大
在直角坐标系中
小的方向。
E dV dln
E
dV dln
en
en
V+dV
dln Q
V
q dl P E
定义：电场中任一点的电势
梯度矢量的大小等于电势函数 沿着等势面法线方向的导数， 方向总是沿着等势面的法线且 指向电势升高的方向。
gradV
dV dln
en
V+dV
gradV
dln Q
V
q dl
P
某点的电场强度等于该点电势梯度的负值，这就 是电势与电场强度的微分关系。
q O q
X
E Ex2 Ey2
l x
p 4πε0
(4x2 (x2
y2 )1/ 2 y2 )2
E
p 4πε0
(4x2 (x2
y2 )1/ 2 y2 )2
y0 x0
E
2p 4πε0
1 x3
E p 4πε0
1 y3
Y
P(x, y)
•
r2
r r1
q O q
X
l x
例1．利用场强与电势梯度的关系， 计算均匀带电 细圆环轴线上一点的场强。
（2）规定：电场中任意两相邻等势面间的电势差必 须相等，由于场强大的地方产生相同的电势差所需的 距离小，而场强小的地方产生相同的电势差所需的距 离大，这样就会形成场强大的地方等势面密集，而场 强小的地方等势面稀疏。
二. 电势与电场强度的关系
取两个相邻的等势面，等势面法线方向为
en，设
E的方向与
e en
y2 x2 2 0 L
y2 L2 / 4 )
y
求电场强度的三种方法
从点电荷场强公式出发，根据场强叠加原理 利用高斯定理 利用电势梯度与电场强度的关系
电势计算的两种方法：
由点电荷电势公式，利用电势叠加原理计算
V q
4 0 r
根据已知的场强分布，按定义计算
"0"
VP E • dl
P
例 、利用电场强度与电势的关系求电偶极子电场中 任一点P的电场强度
Y
uP
u1
u2
q
4 0 r1
q
4 0 r2
q(r2 r1)
4 0 r1r2
r2
•P( x, y)
r l r2 r1 l cos r1r2 r 2
r r1
q l cos uP 40 r 2
q O q
l x
X
由于
p
ql
uP
1
40
p•r r3
θ0
θπ
θπ 2
1p V 4πε0 r 2
V
1 4πε0
p r2
V 0
Y
P(x, y)
•
r2
r r1
q O q
X
l x
Y
Ex
V x
p 4πε0
y2 2x2 (x2 y2 )5/2
P(x, y)
•
r2
Ey
V y
p 4πε0
3xy (x2 y2 )5/2
r r1