注意三：在反证法证题的过程中，经常画出某 些不正确的图形，甚至是不可能存在的图形，这 样做的目的，是为了能清楚地说明问题．在证明 过程中，每一步推理所得结论的正确性，应完全 由它所依据的理由来保证，而不能借助图形的直 观性，这与用直接证法借助图形的直观性找到证 题的途径是不完全一样的．
注意四：用反证法证明命题时，若原命题结论的
(3)式表 明，p 2是2的倍 数，所以p也是2的倍 数.
则p与q都是2的倍数，它们至少有公约数2，
这与p, q互素矛盾，因此 2不是有理数.
例4 设二次函数 f (x) x2 px q
1 求证： f (1) , f (2) , f (3)中至少有一个不小于 2
例5、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 a)b, (1
巩固练习
1、课本83页的练习（1、2、3、4、5、6）
2、用反证法证明“如果a b ，那么 3 a 3 b
”，假设的内容是
．
3、用反证法证明：“ a>b”. 应假设（ a≤ b）
4、用反证法证明命题“三角形的内角至多有一 个钝角”时，假设正确的是（假设至少有两个钝 角） 5、有关反证法中假设的作用，下面说法正确的 是（ ）. A．由已知出发推出与假设矛盾 B．由假设出发推出与已知矛盾 C．由已知和假设出发推出矛盾 D．以上说法都不对
（回顾小结）
反证法
间接证明
同一法 枚举法
sin(x ) sin x
这与
sin( ) sin 矛盾.
2
2
因此,原命题成立.
间接证明（习题1）
1.求证:若一个整数的平方是偶数,则这个数也是偶数.
证: 假设这个整数是奇数,可以设为2k+1, k Z.
则有 (2k 1)2 4k 2 4k 1
而 4k2 4k 1 （k Z）不是偶数 这与原命题条件矛盾.
反面不惟一，这时要把每种可能一一否定，不要 遗漏．
(反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌 握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的， 例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于； 垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小) 于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少 有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个； 唯一/至少有两个。
b)c, (1 c)a,不可能同时大于 1 4
注意事项
注意一：“否定所证结论”是反证法的第一 步，它的正确与否直接影响能否正确使用反证 法． 否定结论的步骤是：①弄清结论本身的情况；② 找出结论的全部相反情况；③正确地否定上述结 论．
注意二：反证法中引出矛盾的结论，不是推 理本身的错误，而是由于开始假定“结论的反面 是正确的”是错误的．
2.2.2间接证明
间接证明（问题情境）
在《数学（ 2 必修）》第三章中，如何证明 命题“在长方体ABCD A1B1C1D1中， AB与A1C是异面直线”
因此，AB与A1C是异面直线.
间接证明（基本概念）
间接证明是不同于直接证明的又一类
证明方法.
反证反设
否定命题不成立 归谬
原结论成立 存真
间接证明（基本概念）
反证法的过程包括以下三个步骤：
（1） 反设——假设命题的结论不成立，即假定 原命题的反面为真； （2） 归谬——从反设和已知条件出发，经过一 系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；
（3） 存真——由矛盾结果，断定反设不真，从 而肯定原结论成立.
间接证明（例题1）
求证：正弦函数没有比2小的正周期.
思路
先求出周期
用反证法证明 2 是最小正周期.
（例1）求证：正弦函数没有比2小的正周期.
解
假设T是正弦函数的周期
则对任意实数x都有:
sin(x T ) sin x
令x=0,得
sinT 0
即
T k , k Z.
假设最小正周期 0 T 2 故T
从而对任意实数x都应有
（例题2）证明：2不是有理数 .
假设 2是有理数，可设 2 q ( 1),
p
互素
其中p, q为互素的整数, q 0.
将（1）两边平方，变形得2 p2 q2 (2)
(2)式表 明，q 2是2的倍 数，从而q也 是2的倍 数.
设q 2l(l N ),代入（2）式得
p2 2l 2 ( 3)