高2021届第一次调研考试数 学 试 题本试卷分第I 卷和第II 卷两部分。

满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合2{|1}M x x ==．N 为自然数集，则下列表示不正确的是（ ） A ．M N ⊆ B ．{1,1}M =- C ．M ∅⊆D ．1M ∈2．复数113i -的虚部是（ ） A ．310- B ．310 C ．110 D ． 110- 3．已知命题p ：∀x ∈R ，cos x ＞1，则p ⌝是（ ） A ．∃x ∈R ，cos x ＜1 B ．∀x ∈R ，cos x ＜1 C ．∀x ∈R ，cos x ≤1 D ．∃x ∈R ，cos x ≤14．函数()f x =3log 3x x +-的零点所在的区间是（ ）A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，+∞)5．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )（t 的单位：天）的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则（*t －53）的值约为（ln19≈3）（ ） A ．10 B ．13 C ．63 D ．66 6. 某人在A 处向正东方向走xkm 后到达B 处，他沿南偏西60°方向走3km 到达C 处，结果他离出发点恰好3km ，那么x 的值为（ ） A ．3或32 B ．3或23 C ．2或32D ．227．如图，长方形ABCD 的边AB =2，BC =1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，∠BOP =x ．将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）A. B. C. D.8．已知函数2()2020ln(1)20201x x f x x x -=+++-+，则关于x 的不等式(21)(2)2f x f x -+<的解集为（ ） A ．1(,)4-∞B ．1(,)2-∞C ．1(,)4+∞D ．1(,)2+∞二、选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分） 9. 下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（ ） A ．()f x x =与2()g x x =B ．()|1|f t t =-与()|1|g x x =-C ．()f x x =与2()log 2xg x =D ．21()1x f x x -=+与()1g x x =-10．已知向量()()()2,1,1,1,2,,a b c m n ==-=--其中,m n 均为正数，且()//a b c -，下列说法正确的是（ ） A ．a ·b =1B ．a 与b 的夹角为钝角C ．向量a 在b 方向上的投影为55D ．24m n +=11. 已知符号函数1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩下列说法正确的是（ ）A ．函数sgn()y x =是偶函数B ．对任意的1,sgn(ln )1x x >=C ．0x <时，函数sgn()x y e x ⋅-＝的值域为(0,1)D ．对任意的,sgn()x R x x x ∈⋅＝12．已知函数()2sin()6f x x πω=-的图象的一条对称轴为x π=，其中ω为常数，且(0,1)ω∈，则以下结论正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为3πB ．3()34f π= C ．将函数()f x 的图象向左平移6π所得图象关于原点对称D ．函数()f x 在区间(0,100)π上有67个零点第II 卷（非选择题，共90分）三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置） 13. 已知向量12(6,),(3,2)e e λ==-，若12e e ⊥，则λ的值为_____________. 14．复数z 满足2z z i +=+，则z =______________.15．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为2sin18m =︒. 若24m n +=，则212cos 27m n-︒＝__________．（用数字作答）16．对于三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，定义：设()''f x 是函数()y f x =的导数()'y f x =的导数，若方程()''0f x =有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心；且拐点就是对称中心．”请你将这一发现为条件，解答问题：若已知函数()3231324f x x x x =-+-，则()f x 的对称中心为____________；计算12320202021202120212021f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=______________．四、解答题：（本大题共6个小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知全集为R . 函数()log (1)f x x π=-的定义域为集合A ，集合{}220B x x x =--≥.（1）求AB ；（2）若{}1C x m x m =-<≤，()R C B ⊆，求实数m 的取值范围.18.（本小题满分12分）从①4B π=，②32sin a B =这两个条件中选一个，补充到下面问题中，并完成解答. 已知ABC∆中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，且222sin sin sin sin sin A B C B C =++. （1）求角A ；（2）已知6b =，且_________，求sin C 的值及ABC ∆的面积.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）19.（本小题满分12分）已知函数()()2cos 3sin cos 1f x xx x =+-．（Ⅰ）求()f x 在区间[]0,π上的单调递增区间； （Ⅱ）若()0,απ∈，223f α⎛⎫=⎪⎝⎭，求sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值． 20.（本小题满分12分）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()253,02()50,251x x W x x x x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x 元．已知这种水果的市场售价大约为15元／千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）． （Ⅰ）求()f x 的函数关系式；（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，(1,cos )A x ，(1sin ,cos )B x x +，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，A ，B ，C 三点满足2133OC OA OB =+.（1）求证：A ，B ，C 三点共线； （2）若函数21()2||3f x OA OC m AB m ⎛⎫=⋅++⋅+ ⎪⎝⎭的最小值为143，求实数m 的值. 22.（本小题满分12分）已知函数()x x f x e e -=+，其中e 是自然对数的底数．（1）若关于x 的不等式)(x mf ≤1x e m -+-在),0(+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；（2）已知正数a 满足：存在),1[0+∞∈x ，使得)3()(0300x x a x f +-<成立．试比较1a e -与1e a -的大小，并证明你的结论．高2021届第一次调研考试数学试题参考答案1—5. ABDCB 6—8. BDA 9. BC 10. AD 11. BCD 12. ABD13. 9 14. 34i +15. 12-16. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭202017. 解：（1）由10x ->得，函数()f x 的定义域{}1A x x =>，又220x x --≥， 得{2B x x =≥或}1x ≤- ，∴ {}2A B x x ⋂=≥.………………………………………………………………………………5分 （2）∵{}12C x x ⊆-<<，①当C =∅时，满足要求， 此时1m m -≥， 得12m ≤；………………………………………7分 ②当C ≠∅时，要{}12C x x ⊆-<<，则1112m mm m -<⎧⎪-≥-⎨⎪<⎩，解得122m <<；由①② 得，2m <，∴ 实数m 的取值范围(),2-∞.……………………………………………10分18. 解：（1）因为222sin sin sin sin sin A B C B C =++，由正弦定理得222a b c bc =++，即222122b c a bc +-=-，得1cos 2A =-，又0A π<<， 所以23A π=；…………………………………………………………………………………………6分 （2）选择①时：4B π=，23A π=，故62sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B -=+=+=； 根据正弦定理sin sin a b A B=，故3a =， 故1933sin 2S ab C -==.…………………………………………………………………………12分 选择②时：32sin a B =，根据正弦定理sin sin a bA B=， 故6332sin B =， 解得2sin B =， 62sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B -=+=+=， 根据正弦定理sin sin a b A B=，故3a =， 故1933sin 24S ab C -==.…………………………………………………………………………12分 19. 解：（Ⅰ）()()22cos 3sin cos 123sin cos 2cos 1f x xx x x x x =+-=+-3sin 2cos 22sin 26π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭x x x ．令222262k x k πππππ-+≤+≤+，k ∈Z ，得36k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z ．令0k =，得36x ππ-≤≤；令1k =，得2736x ππ≤≤. 因此，函数()y f x =在区间[]0,π上的单调递增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦；……………………6分（Ⅱ）由223f α⎛⎫=⎪⎝⎭，得1sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭． ()0,απ∈，7,666πππα⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，又π11sin 632α⎛⎫+=< ⎪⎝⎭，,62ππαπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，222cos 1sin 663ππαα⎛⎫⎛⎫∴+=--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 因此，sin sin sin cos cos sin 3666666πππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1322132232326⎛=⨯+-⨯= ⎝⎭．……………………………………………………………12分 20. 解：（Ⅰ）由已知()()()1520101530f x W x x x W x x =--=-()2155330,02,501530,251x x x x x x x ⎧⨯+-≤≤⎪=⎨⨯-<≤⎪+⎩27530225,02,75030,2 5.1x x x x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨-<≤⎪+⎩……………………………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得()()22175222,02,7530225,02,5=75030,2 5.25780301,2 5.11x x x x x f x x x x x x x x ⎧⎛⎫-+≤≤⎧-+≤≤⎪⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎨-<≤⎡⎤⎪⎪-++<≤+⎩⎢⎥⎪+⎣⎦⎩当02x ≤≤时，()()max 2465f x f ==； 当25x <≤时，()()257803011f x x x ⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦ ()2578030214801x x≤-⨯⋅+=+ 当且仅当2511x x=++时，即4x =时等号成立． 因为465480<，所以当4x =时，()max 480f x =．答：当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元．……………………………12分 21. 解：证明：（1）∵在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，(1,cos )A x ，(1sin ,cos )B x x +，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，A ，B ，C 三点满足2133OC OA OB =+. ∴2111()3333AC OC OA OA OB OA OB OA AB =-=+-=-=，∴AC AB ∥.又AC ，AB 有公共点A ，∴A ，B ，C 三点共线.……………………………………………………5分 （2）∵(1,cos )OA x =，(1sin ,cos )OB x x =+，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴2121(1,cos )(1sin ,cos )3333OC OA OB x x x =+=++ 11sin ,cos 3x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∴211sin cos 3OA OC x x ⋅=++，2||sin sin AB x x ==， ∴函数21()2||3f x OA OC m AB m ⎛⎫=⋅++⋅+ ⎪⎝⎭22111sin cos 2sin 33x x m x m ⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭，即222()12sin cos 3f x m x x m ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭222sin 23sin 2=x m x m ⎛⎫-++++ ⎪⎝⎭221219sin 2339x m m m ⎡⎤⎛⎫=--++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴sin [0,1]x ∈. ①当1213m+≤，即16m ≤时，当sin 1x =时，22min 2514()1222333f x m m m m =-++++=++=， 解得3m =-或1m =，又16m ≤时，∴3m =-.②当1132m +>，即16m >时，当sin 0x =时，2min 14()23f x m =+=，解得26m =又16m >，∴26m =， ∴综上所述，m 的值为3m =-或26m =………………………………………………………12分 22. 解：（1）由题意，(e e )e 1xxxm m --++-≤，即(e e 1)e 1xxxm --+--≤∵(0)x ∈+∞，，∴e e 10x x -+->，即e 1e e 1x x x m ---+-≤对(0)x ∈+∞，恒成立 令e (1)xt t =>，则211t m t t --+≤对任意(1)t ∈+∞，恒成立 ∵2211111(1)(1)113111t t t t t t t t --=-=---+-+-+-++-≥，当且仅当2t =时等号成立∴13m -≤………………………………………………………………………………………………5分（2）'()e e x xf x -=-，当1x >时'()0f x >，∴()f x 在(1)+∞，上单调增 令3()(3)h x a x x =-+，'()3(1)h x ax x =--∵01a x >>，，∴'()0h x <，即()h x 在(1)x ∈+∞，上单调减 ∵存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+，∴1(1)e 2ef a=+<，即()11e 2ea >+∵e-1e 111ln ln ln e (e 1)ln 1ea a a a a a ---=-=--+设()(e 1)ln 1m a a a =--+，则()e 1e 111'()1e 2ea m a a a a ---=-=>+， 当()11e e 12ea +<<-时，'()0m a >，()m a 单调增；当e 1a >-时，'()0m a <，()m a 单调减 而(1)(e)0m m ==且1112e e ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭∴当e a >时，()0m a <，e 11e a a --<； 当()11e e2ea +<<时，()0m a >，e 11e a a -->；当e a =时，()0m a =，e 11e a a --=．…………………………………………………………………12分。