2u 2u 及 u ( x, 2 x ) x 和 x 2 y 2
u x ( x,2 x) x 2 .求 u xx ( x,2 x), u xy ( x,2 x), u yy ( x,2 x) .
5
§ 8—6
一、 填空题
多元函数微分学的几何应用
1. 连接 M 0 (0,0,1), M1 (1, 1,0) 的曲线为 x t , y t 2 , z t 1 ,求在 t 处由 M 1 指向 M 0 的 单位切向量为 . , 方
2 2
2. F ( x, y )

xy
y
f ( s)ds
1
0
e
x dx .
2
四、 z sin 2 (ax by ) ，求全部的二阶偏导数. 五、求 f ( x, y )
x 2 y 4 在原点处的偏导数.
六、 f ( x, y, z) xy 2 yz 2 zx 2 ，求 f xx (0,0,1), f xz (1,0,2), f zzx (2,0,1) . 七、求 f ( x, y ) arctan
）.
f f f cos cos ，其中 , 为 l 的方向角. （A） y l x
f f f （B） cos sin ，其中 为 l 与 x 轴正向的夹角. y l x
f f f （C） ( , ) (l1 , l 2 ) . x y l
y ，当 x 2, y 1, x 0.1, y 0.2 时，求 z 和 dz 的值． x
1 2 2 ( x y ) cos 2 六、已知二元函数 f ( x, y ) x y2 0 ,
求（1）
( x , y )(0,0)
, x2 y2 0 x2 y2 0
lim
f ( x, y ) ；
（2） f ( x, y ) 在(0,0)处连续性； （4） f ( x, y ) 在(0,0)是否可微？
（3） f x (0,0), f y (0,0) ；
3
§ 8-4 多元复合函数的求导法则
一、 单项选择题
1. u ( x y ) ，写法错误的是（ （A）
）.
1 （A） 2 e x ( ydx xdye x ( ydx xdy ), edy x
（D）
y
1 x e ( ydx xdy ), dy x2
y
1 x e ( ydx xdy ), dy x2
y
三、求下列函数的偏导数 1. z ln x y ；
）. （C）
2. 有且仅有一个间断点的函数为（ （A）
x ； （B） e x ln( x 2 y 2 ) ； y
x ； x y
（D） arctan( xy 1) .
三、求出并画出函数 u 1 x y 1 x y 的定义域. 四、求下列极限. 1.
( x , y )(0,0)
四、求曲线 x t , y t 2 , z t 3 上的点，使在该点的切线平行于平面 x 2 y z 4 .
x 2 y 2 z 2 3x 0, 五、求曲线 在点 P (1,1,1) 处的切线与法平面方程. 2 x 3 y 5z 4 0,
u ； x
）. （C）
[ ( x y )] ； x
（B）
； x
（D） ( x y ) . ）.
2. f ( x, y ) 具有一阶连续偏导数， u f ( xy , x y ) ，则下列等式中正确的是（
u f f f f f f f ( xy , x y ) f u （A） ；（B） ；（C） y ；（D） y . x x y x x y x x x x
偏
导
数
f x
( x0 , y0 )
d ( , ) f ( x , y0 ) dx x x0
.
2. 设 z
x2 y2 与平面 y 4 的交线在点(2,4,5)的切线与 x 轴正向的夹角是 4
.
3.
1 f f , 都存在，则 lim n[ f ( x , y ) f ( x, y )] n n x y
六、证明以下各题 1. 曲面 xyz a 3 上任一点的切平面与三个坐标面围成的四面体的体积为定值. 2. 曲面 F ( y mz, x nz) 0(m, n为常数） 上任一点的切平面与定直线平行.
6
§ 8—7
方向导数与梯度
f 一、已知 l (l1 , l 2 ) 0 ，以下 的计算式中错误的是（ l
五、从方程组
x y u v 1 u v , . 中，求出 2 2 2 x x x y u v 2
2
六、设函数 z ( x, y )由方程F ( x
z z z z , y ) 0确定，则x y z xy . y x x y
七 、 设 函 数 u ( x, y ) 有 二 阶 连 续 偏 导 数 ， 且 满 足 关 系 式
3. f ( x, y ) 具有一阶连续偏导数，且 f ( x, y ) f ( y, x) ，则（ （A） f1/ ( x, y) f1/ ( y, x) ； （C） f1/ ( x, y) f 2/ ( x, y) ；
）.
（B） f1/ ( x, y) f 2/ ( y, x) ； （D） f 2/ ( x, y) f 2/ ( y, x) .
二、求下列函数的一阶偏导或全导数（其中 f 具有一阶连续偏导）
1.
y z xy xf ( ) ； x
2.
u f (
x y , ) ； y z
3 . u f ( x, x 2 , e x ) .
三、设 z ( x y) x y ，求
z z , . x y
2z . xy
f （B） x ; f z
z ______. x
f （C） x ; f 1 z
f f y x y x （D） . f 1 z
2. e z xyz 0 ,
（A）
yz ; z e xy
（B）
y ; x
（C）
yz 2 ; ( z 1)e z
1， xy 0, f ( x, y ) 的连续点集为 3. f ( x, y )= 0， xy 0,
二、单项选择题 1. 下列极限存在的是（ （A） ）.
1 x x 2 ； （ D） 1 . ； （ B ） ； （ C ） x sin lim lim lim lim x y ( x , y ) ( 0 , 0 ) x y ( x , y ) ( 0 , 0 ) x y ( x , y ) ( 0 , 0 ) x y ( x , y ) ( 0 , 0 )
2. 球面 x 2 y 2 z 2 R2 上任意一点 ( x, y , z ) 处的向外的一个法向量为 向余弦为 .
二、在曲面 S : z xy 上求出一点，使此点处的法线与平面 x 3 y z 9 0 垂直，并写出法线
的方程. 三、曲线 :
x yz 0 1 1 , ,0) 处的切线及法平面. 在点 p 0 ( 2 2 2 2 2 x y z 1
f f _______, ______, f ______. x y
3．若 f (0,0) f x(0,0) f y(0,0) 0 且 f 在点（0,0）处可微，则
( x , y )(0,0)
lim
f ( x, y ) x2 y2

.
二、单项选择题 函数 f ( x, y ) 在点 P 处全微分存在的充分条件为(
lim
xy . xy 1 1
2.
1 x
1 cos( x 2 y 2 ) . sin( x 2 y 2 ) ( x , y )(0,0)
lim
3.
( x , y ) (0,1)
lim
(1 sin xy ) .
五、设 f ( x y, ) x y ，求 f ( x, y ) 的表达式.
2 2
y x
六、判断
x y 是否存在，并证明你的结论. ( x , y ) (0,0) x y lim
2 xy , x 2 y 2 0, 2 2 七、讨论二元函数 f ( x, y ) x y 的连续性. 2 2 0, x y 0，
1
§ 8-2
一、 填空题 1.
六、设 u 满足方程：
, , 下 u 满足方程
u 0.
4
§ 8-5 隐函数的求导公式
一、填空题 1. 给定方程 f ( x, y , z ) 0 ,若求 2. 给定方程组：
z ,说明 x
为因变量，
、
为自变量.
F ( x, y , z ) 0 dz , 若求 ,说明 dx G ( x , y , z ) 0
（A） f 的全部二阶偏导数均连续； （C） f 的全部一阶偏导数均存在； （B） f 连续； （D） f 连续且 ).
f f , 都存在. x y
三、计算全微分
1. u ln( x x y z z y ) . 2. z sec( xy ) x .
四、求 z ln 1 x 2 y 2 在(1,1)处全微分. 五、已知函数 z f ( x, y )
f 0 ，则（ x
二、单项选择题 1. 已知 ）. （B） f ( x, y ) 0 （D） f ( x, y) x( y 2 1)
（A） f ( x, y ) 关于变量 x 单调增加