{M e}Nm

{P}kw 103 60 2π{n} r
9.55 103
{P}kw {n} r
m in
m in
材料力学
第四章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
主动轮上的外加扭力矩转向与传动轴的转动方向相同， 而从动轮上的外加扭力矩转向与传动轴的转动方向相反。
材料力学
第四章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
ta

假定斜截面 x ef 的面积为
b
f
dA
t'

a d A t d Acos a sin a t d Asin a cos a 0
F 0
ta d A t d Acos a cos a t d Asin a sin a 0
材料力学
第四章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
e a

ta ta x
b
f
t'
讨论：

利用t t '，经整理得:
a t sin 2a, ta t cos 2a
t'
1、 a 0 a 90
t max t
max t
材料力学
武汉生物工程学院机电工程系 机械教研室
材料力学
第四章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
§4-1 外加扭力矩·扭矩及扭矩图 §4-2 剪应力互等定理 剪切胡克定律 §4-3 圆轴扭转时横截面上的剪应力分析
与强度设计 §4-4 圆杆扭转时的变形及刚度条件 §4-5 结论与讨论
材料力学
第四章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
4.78
6.37
15.9
4.78
材料力学
第四章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
§4.2 剪应力互等定理 剪切胡克定律
1. 单元体·剪应力互等定理 以横截面、径向截面及与表面平行的面从受扭的等直圆
杆内任一点处截取一微小正六面体——单元体（微元体）。 由单元体的平衡条件∑Fx=0 和
∑Mz=0 知单元体的上、下两个平面 (即杆的径向截面上)必有大小相等、
概述
受力特点： 圆截面直杆两端在大小相等、方向相反、作用平 面垂直于杆件轴线的两个外力偶Me作用下，杆任意两横截面将 绕轴线相对转动，这种受力与变形形式称为扭转(torsion)。
Me
Me
薄壁杆件也可以
由其它外力引起
扭转。
变形特点： Ⅰ. 相邻横截面绕杆的轴线相对转动； Ⅱ. 杆表面的纵向线变成螺旋线。
材料力学
第四章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
圆轴扭转变形
材料力学
第四章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
从动轮 n
Me 主轴
主动轮
叶片
本章研究杆件发生除扭转变形外，其它变形可忽略的 情况，并且以圆截面(实心圆截面或空心圆截面)杆为主要 研究对象。此外，所研究的问题限于杆在线弹性范围内工 作的情况。
材料力学
第四章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
§4.1 外加扭力矩、扭矩与扭矩图
Ⅰ. 传动轴的外加扭力矩（与机器的转速、功率有关）
当传动轴稳定转动时，作用于某一轮上的外加扭力
矩（外力偶）在t秒钟内所作功等于外加扭力矩Me乘以轮
在t秒钟内的转角a 。
材料力学
第四章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
因此，外加扭力矩Me每秒钟所作功， 即该轮所传递的功率为
材料力学
第四章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
解：1. 计算作用在各轮上的外力偶矩
M1

(9.55103

500)N 300

m

15.9 103
N

m

15.9
kN
m
M2

M3

(9.55103
150) 300
N
m

4.78103
Nm

4.78
kN m
M4

(9.55103

{P}kw

{M
e }Nm
{a }ra d
{t}s
103
{M e}Nm rad 103 s

{M
e }Nm

2π

{n} r m in 60
103
因此，在已知传动轴的转速n(亦即传动轴上每个轮的
转速)和主动轮或从动轮所传递的功率P之后，即可由下式
计算作用于每一轮上的外加扭力矩：
指向相反的一对力t'dxdz并组成其矩
为(t'dxdz)dy 力偶。
由 Mz 0
t d y d zd x t d x d zd y
可得： t ＝t
材料力学
第四章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
即单元体的两个相互垂直的面上，与该两个面的交线
垂直的切应力t 和t 数值相等，且均指向(或背离)该两个
Ⅱ. 扭矩及扭矩图
外加扭力矩Me确定后，可以应用截面法确定横截面上 的内力——扭矩T （教材用Mx表示) 。
Me
1
Me
1 Me
T
T
T = Me
Me
材料力学
第四章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
扭矩的正负可按右手螺旋法则确定：扭矩矢量离开截 面为正，指向截面为负。
T (+) T (-)
材料力学
扭矩的符号规定：
材料力学
3. 作扭矩图
第四章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Tmax在CA段内，其 值为9.56 kN·m。
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第四章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
思考：如果将从动轮D与C的位置对调，试作该传动轴的扭 矩图。这样的布置是否合理？
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第四章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
M0
MT
正
M0
MT
负
按右手螺旋 法则确定扭 矩的矢量方 向，扭矩矢 量的指向与 截面的外法 线方向一致 者为正，反 之为负。
材料力学
第四章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
例题4-1 一传动轴如图，转速 n 300 r min；主动轮 输入的功率P1= 500 kW，三个从动轮输出的功率分别为：
P2= 150 kW，P3= 150 kW，P4= 200 kW。试作轴的扭矩图。
面的交线——剪应力互等定理。
材料力学
第四章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
t'
a
d
t
t t t
b t'
c
单元体在其两对互相垂直的平面上只有切 应力而无正应力的状态称为纯剪切应力状态。
材料力学
第四章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
2、斜截面上的应力
t'
a e
t a
f
b t'
F 0
dn
tx
ce a ta源自200) 300Nm

6.37 103
Nm

6.37
kN m
材料力学
2. 计算各段的扭矩
第四章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
BC段内： T1 M2 4.78 kN m
注意这个扭矩是假定为负的 CA段内：T2 M 2 M3 9.56 kN m (负)
AD段内：T3 M 4 6.37 kN m