课时作业(五) 函数的单调性与最值
A 级
1．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则( ) A ．k ＞1
2
B ．k ＜1
2
C ．k ＞－1
2
D ．k ＜－1
2
2．(2012·广东卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x
D ．y ＝x ＋1
x
3．关于函数y ＝－3
x 的单调性的叙述正确的是( )
A ．在(－∞，0)上是递增的，在(0，＋∞)上是递减的
B ．在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递增
C ．在[0，＋∞)上递增
D ．在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是递增的
4．(2012·青岛模拟)已知奇函数f (x )对任意的正实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，恒有(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0，则一定正确的是( )
A ．f (4)>f (－6)
B ．f (－4)<f (－6)
C ．f (－4)>f (－6)
D ．f (4)<f (－6)
5．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )
A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0
B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0
C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0
D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0
6．函数f (x )＝1
x －1
在[2,3]上的最小值为________最大值为________．
7．已知函数f (x )为R 上的减函数，若m <n ，则f (m )________f (n )；若f (|x |)<f (1)，则实数x 的取值范围是________．
8．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．
9．函数f (x )＝x ＋2x 在区间[0,4]上的最大值M 与最小值N 的和M ＋N ＝________. 10．已知函数f (x )＝1a －1
x (a >0，x >0)，
(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数； (2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤1
2，2，求a 的值．
11．已知函数f (x )＝ax ＋1
x ＋2在区间(－2，＋∞)上是递增的，求实数a 的取值范围．
B 级
1．“函数f (x )在[a ，b ]上为单调函数”是“函数f (x )在[a ，b ]上有最大值和最小值”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．若函数f (x )＝a |x －b |＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a 、b 的取值范围是________． 3．函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且对一切x >0，y >0都有f ⎝⎛⎭⎫x y ＝f (x )－f (y )，当x >1时，有f (x )>0.
(1)求f (1)的值；
(2)判断f (x )的单调性并加以证明； (3)若f (4)＝2，求f (x )在[1,16]上的值域．
答案
课时作业(五) A 级
1．D 使y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则2k ＋1＜0， 即k ＜－1
2
.
2．A 对于A 选项，可看成由函数y ＝ln u ，u ＝x ＋2复合而成，由于两函数都为增函数，单调性相同，所以函数y ＝ln(x ＋2)在(－2，＋∞)上为增函数．B 、C 均为减函数．对于D 选项，y ＝x ＋1
x
在(－∞，－1)，(1，＋∞)上为增函数．
3．D 由于函数y ＝1
x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上是递减的，且－3<0，因此函数y ＝－3x 在
(－∞，0)和(0，＋∞)上都是递增的，这里特别注意两区间之间只能用“和”或“，”，一定不能用“∪”．
4．C 由(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0知f (x )在(0，＋∞)上递增， ∴f (4)<f (6)⇔f (－4)>f (－6)．
5．B 函数f (x )＝log 2x ＋1
1－x 在(1，＋∞)上是增函数，而f (2)＝0，所以当x 1∈(1,2)时，
有f (x 1)<f (2)＝0；当x 2∈(2，＋∞)时，有f (x 2)>f (2)＝0.故选B.
6．解析： ∵f ′(x )＝－1
(x －1)2
<0，∴f (x )在[2,3]上为减函数， ∴f (x )min ＝f (3)＝13－1＝12，f (x )max ＝12－1
＝1. 答案： 1
2
1
7．解析： 由减函数的定义知，若m <n ，则f (m )>f (n )； 若f (|x |)<f (1)，则|x |>1，得：x >1或x <－1. 答案： > {x |x >1或x <－1}
8.解析： y ＝－(x －3)|x |＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－x 2＋3x (x >0)，
x 2－3x (x ≤0).作出该函数的图像，
观察图像知递增区间为⎣⎡⎦
⎤0，3
2. 答案： ⎣⎡⎦
⎤0，3
2 9．解析： 令t ＝x ，则t ∈[0,2]，于是y ＝t 2＋2t ＝(t ＋1)2－1，显然它在t ∈[0,2]上是增函数，故t ＝2时，M ＝8；
t ＝0时N ＝0. ∴M ＋N ＝8.
答案： 8
10．解析： (1)证明：设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0， ∵f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎫1a －1x 2
－⎝⎛⎭⎫
1a －1x 1
＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2
>0， ∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是单调递增的．
(2)∵f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，又f (x )在⎣⎡⎦⎤1
2，2上单调递增， ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (2)＝2.∴易得a ＝2
5
. 11．解析： f (x )＝ax ＋1x ＋2＝a (x ＋2)＋1－2a x ＋2＝1－2a x ＋2＋a .
任取x 1，x 2∈(－2，＋∞)，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝
1－2a x 1＋2－1－2a x 2＋2＝(1－2a )(x 2－x 1)(x 1＋2)(x 2＋2)
. ∵函数f (x )＝ax ＋1
x ＋2在区间(－2，＋∞)上为增函数，
∴f (x 1)－f (x 2)<0.
∵x 2－x 1>0，x 1＋2>0，x 2＋2>0，∴1－2a <0，a >1
2，
即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭
⎫1
2，＋∞. B 级
1．A 若函数f (x )在[a ，b ]上为单调递增(减)函数，则在[a ，b ]上一定存在最小(大)值f (a )，最大(小)值f (b )，所以充分性满足；反之，不一定成立，如二次函数f (x )＝x 2－2x ＋3在[0,2]存在最大值和最小值，但该函数在[0,2]不具有单调性，所以必要性不满足，即“函数f (x )在[a ，b ]上单调”是“函数f (x )在[a ，b ]上有最大值和最小值”的充分不必要条件．
2．解析： 要使f (x )在[0，＋∞)上为增函数，则a >0且x －b ≥0恒成立，即b ≤x ，∴b ≤0. 答案： a >0且b ≤0
3．解析： (1)∵当x >0，y >0时，f ⎝⎛⎭⎫
x y ＝f (x )－f (y )， ∴令x ＝y >0，则f (1)＝f (x )－f (x )＝0. (2)设x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2， 则f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1
，
∵x 2>x 1>0.∴x 2
x 1
>1，∴f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1>0. ∴f (x 2)>f (x 1)，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (3)由(2)知f (x )在[1,16]上是增函数．
∴f (x )min ＝f (1)＝0，f (x )max ＝f (16)， ∵f (4)＝2，由f ⎝⎛⎭⎫
x y ＝f (x )－f (y )，
知f ⎝⎛⎭⎫164＝f (16)－f (4)，∴f (16)＝2f (4)＝4， ∴f (x )在[1,16]上的值域为[0,4]．。