2017中考数学专题训练(四)三角形、四边形中的相关证明及计算纵观近5年中考题，三角形常与旋转、折叠、平移等知识点结合起来考查；四边形中要特别关注平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质和判定，以及运用其性质解决有关计算的问题．三角形的有关计算及证明【例1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D.CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF＝∠CBG.求证：(1)AF＝CG；(2)CF＝2DE.【解析】(1)要证明AF＝CG，可以利用“ASA”证明△ACF≌△CBG来得到；(2)要证明CF＝2DE，由(1)得CF ＝BG，则只要证明BG＝2DE，又利用△AED≌△CEG可得DG＝2DE，再证明DG＝BG即可．【学生解答】证明：(1)∵∠ACB＝90°，CG平分∠ACB，AC＝BC.∴∠BCG＝∠CAB＝45°.又∵∠ACF＝∠CBG，AC＝BC，∴△ACF≌△CBG(ASA)，∴CF＝BG，AF＝CG；(2)延长CG交AB于点H.∵AC＝BC，CG平分∠ACB，∴CH⊥AB，H为AB中点．又∵AD⊥AB，∴CH∥AD，∠D＝∠EGC.又∵H为AB中点，∴G为BD中点，∵E为AC中点，∴AE＝EC.又∵∠AED＝∠CEG，∴△AED≌△CEG(AAS)，∴DE＝EG，∴DG＝2DE，∴BG＝DG＝2DE.由(1)得CF＝BG，∴CF＝2DE.1．已知：如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝10，D为△ABC外一点，连接AD，BD，过D 作DH⊥AB，垂足为H，交AC于E.若△ABD是等边三角形，求DE的长．解：∵△ABD是等边三角形，AB＝10，∴∠ADB＝60°，AD＝AB＝10.∵DH⊥AB，∴AH＝12AB＝5.∴DH＝AD2－AH2＝102－52＝5 3.∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°.∴∠AEH＝45°.∴EH＝AH＝5.∴DE＝DH－EH＝53－5.2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在边BC上．若DE＝DF，AD＝2，BC＝6，求四边形AEDF的周长．解：∵AB＝AC，E，F分别是边AB，AC的中点，∴AE＝AF＝12AB.又∵DE＝DF，AD＝AD，∴△AED ≌△AFD .∴∠EAD ＝∠F AD .∴AD ⊥BC ，且D 是BC 的中点．在Rt △ABD 中，∵E 是斜边AB 的中点，∴DE＝AE .同理，DF ＝AF .∴四边形AEDF 的周长是2AB .在Rt △ABD 中，AD ＝2，BD ＝12BC ＝3，AB ＝4＋9＝13，∴四边形AEDF 的周长为213.3．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D ，E ，F 为BC 中点，BE 与DF ，DC 分别交于点G ，H ，∠ABE ＝∠CBE .(1)线段BH 与AC 相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；(2)求证：BG 2－GE 2＝EA 2.证明：(1)BH ＝AC .∵∠BDC ＝∠BEC ＝∠CDA ＝90°，∠ABC ＝45°，∴∠BCD ＝45°＝∠ABC ，∴DB ＝DC .又∵∠BHD ＝∠CHE ，∴∠DBH ＝∠DCA .∴△DBH ≌△DCA ，∴BH ＝AC ；(2)连接GC .则GC 2－GE 2＝EC 2.∵F 为BC 中点，DB ＝DC ，∴DF 垂直平分BC ，∴BG ＝GC .∴BG 2－GE 2＝EC 2.∵∠ABE ＝∠CBE ，∠CEB ＝∠AEB ，BE ＝BE ，∴△BCE ≌△BAE .∴EC ＝EA ，∴BG 2－GE 2＝EA 2.4．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，垂足是D ，AE 平分∠BAD ，交BC 于点E .在△ABC 外有一点F ，使F A ⊥AE ，FC ⊥BC .(1)求证：BE ＝CF ；(2)在AB 上取一点M ，使BM ＝2DE ，连接MC ，交AD 于点N ，连接ME .求证：①ME ⊥BC ；②DE ＝DN .证明：(1)∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ＝45°.∵FC ⊥BC ，∴∠BCF ＝90°.∴∠ACF ＝90°－45°＝45°，∴∠B ＝∠ACF .∵∠BAC ＝90°，F A ⊥AE ，∴∠BAE ＋∠CAE ＝90°，∠CAF ＋∠CAE ＝90°，∴∠BAE ＝∠CAF .在△ABE和△ACF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠CAF ，AB ＝AC ，∠B ＝∠ACF ，∴△ABE ≌△ACF (ASA )．∴BE ＝CF ；(2)①过点E 作EH ⊥AB 于H ，则△BEH 是等腰直角三角形．∴HE ＝BH ，∠BEH ＝45°.∵AE 平分∠BAD ，AD ⊥BC ，∴DE ＝HE ，∴DE ＝BH ＝HE .∵BM ＝2DE ，∴HE ＝HM ，∴△HEM 是等腰直角三角形，∴∠MEH ＝45°，∴∠BEM ＝45°＋45°＝90°，∴ME ⊥BC .②由题意，得∠CAE ＝45°＋12×45°＝67.5°，∴∠CEA ＝180°－45°－67.5°＝67.5°，∴∠CAE ＝∠CEA ＝67.5°，∴AC ＝CE .在Rt △ACM 和Rt △ECM 中，⎩⎪⎨⎪⎧CM ＝CM ，AC ＝CE ，∴Rt △ACM ≌Rt △ECM (HL )，∴∠ACM ＝∠ECM ＝12×45°＝22.5°.又∵∠DAE ＝12×45°＝22.5°，∴∠DAE ＝∠ECM .∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴AD ＝CD ＝12BC .在△ADE 和△CDN 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DAE ＝∠ECM ，AD ＝CD ，∠ADE ＝∠CDN ，∴△ADE ≌△CDN (ASA )，∴DE ＝DN .四边形的有关计算及证明【例2】(2014邵阳中考)准备一张矩形纸片，按如图所示操作：将△ABE 沿BE 翻折，使点A 落在对角线BD 上的M 点；将△CDF 沿DF 翻折，使点C 落在对角线BD 上的N 点．(1)求证：四边形BFDE 是平行四边形；(2)若四边形BFDE 是菱形，AB ＝2，求菱形BFDE 的面积．【解析】(1)由矩形及翻折的性质可证得△EDM ≌△FBN ，从而证出四边形BFDE 是平行四边形；(2)由菱形及矩形的性质得出∠ABE ＝∠DBE ＝∠DBC ＝30°，利用锐角三角函数可求出AE 、BE ，进而求出AD 、DE ，即可求出菱形BFDE 的面积．【学生解答】解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠C ＝90°，AB ＝CD .由翻折得：BM ＝AB ，DN ＝DC ，∠A ＝∠EMB ，∠C ＝∠DNF ，∴BM ＝DN ，∠EMB ＝∠DNF ＝90°，∴BN ＝DM ，∠EMD ＝∠FNB ＝90°.∵AD ∥BC ，∴∠EDM ＝∠FBN ，∴△EDM ≌△FBN (ASA )，∴ED ＝BF ，∴四边形BFDE 是平行四边形；(2)∵四边形BFDE 是菱形，∴∠EBD ＝∠FBD .∵∠ABE ＝∠EBD ，∠ABC ＝90°，∴∠ABE ＝13×90°＝30°.在Rt △ABE 中，∵AB ＝2，∴AE ＝233，BE ＝433，∴ED ＝433，∴S 菱形BFDE ＝ED ·AB ＝433·2＝833.5．如图，已知△ABC .按如下步骤作图：①以A 为圆心，AB 长为半径画弧；②以C 为圆心，CB 长为半径画弧，两弧相交于点D ；③连接BD ，与AC 交于点E ，连接AD ，CD .(1)求证：△ABC ≌△ADC ；(2)若∠BAC ＝30°，∠BCA ＝45°，AC ＝4，求BE 的长．解：(1)在△ABC 与△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，BC ＝CD ，AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC (SSS )；(2)设BE ＝x ，∵∠BAC ＝30°，∴∠ABE＝60°，∴AE ＝tan 60°·x ＝3x ，∵∠BCA ＝45°，∴CE ＝BE ＝x ，∴3x ＋x ＝4，∴x ＝23－2，∴BE ＝23－2.6．(2016温州中考)如图，E 是▱ABCD 的边CD 的中点，延长AE 交BC 的延长线于点F .(1)求证：△ADE ≌△FCE .(2)若∠BAF ＝90°，BC ＝5，EF ＝3，求CD 的长．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴∠DAE ＝∠F ，∠D ＝∠ECF ，∵E 是▱ABCD的边CD 的中点，∴DE ＝CE ，在△ADE 和△FCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DAE ＝∠F ，∠D ＝∠ECF ，DE ＝CE ，∴△ADE ≌△FCE (AAS )；(2)∵ADE ≌△FCE ，∴AE ＝EF ＝3，∵AB ∥CD ，∴∠AED ＝∠BAF ＝90°，在▱ABCD 中，AD ＝BC ＝5，∴DE ＝AD 2－AE 2＝52－32＝4，∴CD ＝2DE ＝8.7．(2016青岛中考)已知：如图，在▱ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，BC 上的点，且AE ＝CF ，直线EF 分别交BA 的延长线、DC 的延长线于点G ，H ，交BD 于点O .(1)求证：△ABE ≌△CDF ；(2)连接DG ，若DG ＝BG ，则四边形BEDF 是什么特殊四边形？请说明理由．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，∠BAE ＝∠DCF ，在△ABE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，∠BAE ＝∠DCF ，AE ＝CF ，，∴△ABE ≌△CDF (SAS )；(2)四边形BEDF 是菱形；理由如下：如图所示：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∵AE ＝CF ，∴DE ＝BF ，∴四边形BEDF 是平行四边形，∴OB ＝OD ，∵DG ＝BG ，∴EF ⊥BD ，∴四边形BEDF 是菱形．8．(2016滨州中考)如图，BD 是△ABC 的角平分线，它的垂直平分线分别交AB ，BD ，BC 于点E ，F ，G ，连接ED ，DG .(1)请判断四边形EBGD 的形状，并说明理由；(2)若∠ABC ＝30°，∠C ＝45°，ED ＝210，点H 是BD 上的一个动点，求HG ＋HC 的最小值．解：(1)四边形EBGD 是菱形．理由：∵EG 垂直平分BD ，∴EB ＝ED ，GB ＝GD ，∴∠EBD ＝∠EDB ，∵∠EBD＝∠DBC ，∴∠EDF ＝∠GBF ，在△EFD 和△GFB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EDF ＝∠GBF ，∠EFD ＝∠GFB ，DF ＝BF ，∴△EFD ≌△GFB ，∴ED ＝BG ，∴BE＝ED ＝DG ＝GB ，∴四边形EBGD 是菱形；(2)作EM ⊥BC 于点M ，DN ⊥BC 于点N ，连接EC 交BD 于点H ，此时HG ＋HC 最小，在Rt △EBM 中，∵∠EMB ＝90°，∠EBM ＝30°，EB ＝ED ＝210，∴EM ＝12BE ＝10，∵DE ∥BC ，EM ⊥BC ，DN ⊥BC ，∴EM ∥DN ，EM ＝DN ＝10，MN ＝DE ＝210，在Rt △DNC 中，∵∠DNC ＝90°，∠DCN ＝45°，∴∠NDC ＝∠NCD ＝45°，∴DN ＝NC ＝10，∴MC ＝310，在Rt △EMC 中，∵∠EMC ＝90°，EM ＝10.MC ＝310，∴EC ＝EM 2＋MC 2＝（10）2＋（310）2＝10.∵HG ＋HC ＝EH ＋HC ＝EC ，∴HG ＋HC 的最小值为10.。