第二节
欧拉在 1774 年首先解决的。
细长压杆的临界力
现在我们来求压杆的临界力 Plj ，即杆弯曲后在平衡状态时的纵向力 P，这个问题是 设有一根等截面的直杆 AB，长为 L，两端铰支(图 25-2)，在纵向力 P 作用下，发生 微小弯曲变形，选取坐标轴如图所示，杆在弯曲状态下，距下端为 x 的任一截面的挠度 为 y，该截面的弯矩为 M（x）= -Py （ a） 压杆开始丧失稳定时，挠度很小，可以根据挠曲线的近似微分方 程来进行分析，将式（a）代入挠曲线近似微分方程得 d2 y EI = M ( x) = − Py d x2 P (b) 令 k2 = EI 那么上面的微分方程就可写成 d2 y + k2 y = 0 d x2 它的通解是 y=c1sinkx+c2coskx 不知道，所以式中的K也是一个待定值。 要确定上述这几个待定值，可以利用杆端的两个边界条件。在 A 端，即 x=0 处，挠 度 y=0，把它代入式（c） ，即可求得 c2=0 因此挠度曲线方程为 y=C1sinkx (d) 又在 B 端，即 x= l 处，挠度 y=0，代入上式得
P lj
=
π
2
EI
2
(0 .7 l )
2 2
（25-4）
综合上述四个公式可得临界力的一般表达式为
P lj =
π EI = π EI 2 2 (μl ) L0
（25-5）
式中 μ 为长度系数，其值取决于压杆两端的约束情况，可见表 25-1。L0= μ l ，为 压杆的计算长度；E为杆件材料的弹性模量：I为杆件截面的惯矩。
k= l
或 (e)
若取C1=0，则由式（d）得挠曲线方程为y=0，表示杆仍保持直线形式，这个结论与原来
（f）
式中 n 为任意整数。 将式（f）代入式（b）得 n 2 π 2 EL （ g） P= l2 上式表明， 使杆弯曲而保持平衡的载荷， 在理论上可以有很多个数值， 但从实用方面看， 重要的是使杆发生弯曲的最小纵向力，若取 n=0，代入式（g） ，得 P=0，与所讨论的情 况不符，因此，应该取 n=1，代入式（g） ，就得所求的临界力为
第二十五章
第一节
压杆的稳定计算
工程中压杆的稳定性问题
工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆。以前，我们从强度观点出发，认为压杆在 其横截面上只产生压应力，当压应力超过材料的极限应力时，压杆才因抗压强度不足而 破坏。 这种观点对于始终能够保持其原有直线形状的短粗压杆来说， 可以认为是正确的， 这时对它只进行强度计算也是合 适的，但是，对于细长的压杆，在 轴向力的作用下，往往在因强度不 足而破坏之前，就因它不再保持原 有直线状态下的平衡而骤然屈曲 破坏，因而它不再是强度问题，而 是压杆能不能保持直线状态下的 平衡问题，在工程实践中把这类问 题称为压杆的稳定性问题，为了说 明这个问题，让我们取一根细长的 直杆进行压缩试验。如图 25-1 所 示，当作用于压杆两端的轴向力 P
可见挠曲线为正弦曲线，积分常数C1为不定值，仍取n=1，将 x = ymax=C1
l 代入上式，就得 2
这说明C1代表压杆失稳而弯曲时发生在中点处的最大挠度，它是一个不定值。 上述确定欧拉公式，是在两端铰支时得到的，当两端为其它约束时，也可以用类似 方法，并根据约束的具体情况，得出相应的临界力公式。 1 对于一端固定，一端自由的细长杆，其挠曲线为 波正弦曲线，相应的临界力公式 4 为
P （a） P< Plj （b） 图 25-1 P = Plj （c） 干扰力 y P P< Plj P = Plj
小于某一极限值时，压杆保持在直线状态下的平衡。如果给压杆任一可能的横向干扰使 压杆微弯[图 25-1（a）]，然后再撤去这一干扰，压杆能够自动回复原有的直线形状[图 25-1（b）]。这时，我们称压杆在直线状态下的平衡是稳定的，或简称压杆是稳定的， 当继续增大轴向力 P 至某一极限值时，压杆在直线状态下的平衡将由稳定变为不稳定。 其特点是如果压杆不受任何横向干扰，则压杆将在直线状态下平衡。但如果给压杆任一 横向干扰使其微弯，然后再撤去这一干扰时，压杆不再能回复原有的直线状态，而是在 微弯状态下建立新的平衡。 这时在压杆的横截面上既有轴力， 又有弯矩， 其值为 M=P· y， y 为杆的侧向挠度[图 25-1（c）]。我们把压杆可能在直线状态下平衡同时又可能在微弯 状态下平衡的现象称为压杆由稳定到不稳定的临界状态；把相应的轴向力称为临界力， 并用 Plj 表示。 当实际作用的轴向力 P 超过临界力 Plj 时， 就将引起杆件的骤然屈曲破坏。 这时，我们称压杆在直线状态下的平衡是不稳定的，或简称压杆失稳。 在工程实践中， 常会遇到比较细长的压杆， 如内燃机的气门挺杆， 螺旋千斤顶丝杆， 液压油缸活塞杆，内燃机连杆和桁架及起重机机臂的压杆，等等。由于制成这些杆件的 材料不会绝对均匀；杆件的加工和安装不可能没有误差；作用在杆上的轴力不可能和杆
第三节
欧拉公式的适用范围•临界应力的经验公式
欧拉公式（25-1）以及式（25-5）都是当胡克定律适用于其材料的前提下推导出来 的，因此，当杆内应力不超过材料的比例极限时，式（25-5）才成立。今以临界应力 σ lj 表示杆内应力，以 σ P 表示材料的比例极限，则欧拉公式的适用条件是
205
σ lj = π 2 λ
202 x P = Plj
B
D y y A x
图 25-2
(c)
上式就是挠曲线的方程，其中c1及c2是两个待定的积分常数，又因为临界力Plj的数值还
L
0=C1sink l 由此解得 C1=0 sink l =0 的前提相矛盾，因此须取式（e） ，由这个三角方程可解得 k l =nπ(n=0，1，2，3，······) nπ
201
的轴线完全重合；而且在工作过程中不可能不受某种偶然因素的干扰。这就要求压杆必 须是稳定的，因为压杆一旦失稳，往往会造成严重事故。目前，高强度钢和超高强度钢 的广泛应用，使压杆稳定性问题更加突出。它已成为结构设计中极为重要的部分。 除了压杆外， 其它弹性薄壁构件， 只要壁内有压应力， 就同样有可能出现失稳现象。 本章只限于讨论压杆的稳定性问题。 设计压杆时， 除了强度以外， 还必须考虑它的稳定性， 假如能算出压杆的临界力 Plj ， 而且使压杆在工作中所受的轴向载荷小于临界力，那么就可不致发生失稳现象。 由此可见，为了解决压杆的稳定性问题，首先就需要确定临界力。
改写为
σ lj
=
π E 2 λ
2
（25-9）
式中 λ 称为压杆的柔度或细长比，是一个没有量纲的量，它综合了压杆的所有外部 特征，反映了压杆长度（L）截面尺寸和形状（i）以及杆端约束情况（ μ ）对临界力的 影响，是压杆稳定计算中的一个重要的参数，压杆愈细长，λ 值愈大，则临界力愈小， 压杆愈容易失稳。
2
E
≤σ
p
或
λ
≥
π E =λ 1 σp
2
对于A3钢，E=206GPa， σ p =200MPa，代入上式得 λ1≈100 对于其它材料，同样可以计算出各自的λ1值（表 25-2） 。我们把λ1作为压杆分类的标 志， 当λ>λ1时的压杆称为细长杆。 可见， 欧拉公式只能用来计算细长杆的临界力， 而对λ<λ1 的其它类型的压杆，欧拉公式是不适用的。 对于λ<λ1的压杆，依然存在着稳定性问题，但是不能再用欧拉公式来计算其临界力， 这时可用如下的经验公式确定压杆的临界应力:
表 25-1 压杆的长度系数
杆端的约束情况 两 端 固 定 一端固定另一端铰支 两 端 铰 支 一端固定另一端自由
P
P
P
P
0.5L
0.7L
压 杆 的 挠 L 曲 线 形 状
L
长 度 系 数 （μ）
0．5
0．7
L
1．0
2．0
应当指出， 表 25-1 的长度系数的数值是根据理想化的约束情况而来的， 在工程实践 中，压杆的实际约束情况要复杂的多，往往需要按照实际约束情况予以简化，以便近似 地当作四种约束类型中的一种或介于两种之间的情形，适当地选择长度系数 μ 的值。对 于两端都有支承的压杆，其 μ 值应在 0.5~1.0 的范围内选择，但在选择 μ =0.5 时，应当 特别注意，只有当压杆两端确实是固定端时才可以取 μ =0.5，否则应当按一端固定，另 一端铰支处理或按两端铰支处理。此时取 μ =0.7 或 μ =1。例如，机床的丝杠通常是根 据支承物（轴承或螺母）的长度 L0 和丝杠的直径 d0 的比值来确定其约束类型的，当
206
限)理解为它的临界应力。 若将三类压杆的临界应力 σ lj 与柔度λ之间的关系在 σ lj —λ 直角坐标系内绘出，可 得到压杆的临界应力总图[图 25-3]，由图可见，随着柔度 λ 的减小，压杆的破坏将由稳 定条件起控制作用逐渐转化为由强度条件起控制作用。 以上是从理想的情况分析得来的，根据我国的具 体情况和多年的实践经验，对由A3钢制成的压杆，认 为用图 25-4 所示的DEC曲线确定其临界应力将更切 合实际。在曲线的DC段仍按欧拉公式计 算 σ lj ， 但C点的纵横坐标值不是材料的 σ p 和 λ1 =100， 而 是 σ c =134MPa和 λ c =123。在曲线的CE段则按下列经 验公式计算 σ lj ：
Plj = π
2
EI
2
（25-1）
l
上式即为两端铰支压杆的欧拉公式，若两端是球形铰或与它类似的支承，两端截面在任 何方向都可以转动，则应取Imin代入上式，因为在这种支承情况下，压杆将在抗弯能力 最弱的平面内发生弯曲。这个平面称为最小刚度平面。 将式（f）代入式（d） ，得 nπ
y = c1 sin l x
P lj
=
π
2
EI
2
( 2l )
（25-2）
3l l 和x= 4 4
对于两端为固定的细长压杆，其挠曲线上有两个拐点，分别出现在 x = 处，相应的临界力公式为