解三角形常见题型归纳正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。

题型之一：求解斜三角形中的基本元素指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题．1. 在ABC ∆中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB AC ⋅= ( ) A ．23-B ．32-C ．32D ．23 【答案】D2．（1）在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形；（2）在∆ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。

3．（1）在∆ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A ；（2）在∆ABC 中，已知134.6=a cm ，87.8=b cm ，161.7=c cm ，解三角形 4(2005年全国高考江苏卷) ABC ∆中，3π=A ，BC ＝3，则ABC ∆的周长为（ ）A ．33sin 34+⎪⎭⎫⎝⎛+πB B ．36sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB C ．33sin 6+⎪⎭⎫⎝⎛+πB D ．36sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB 分析：由正弦定理，求出b 及c ，或整体求出b ＋c ，则周长为3＋b ＋c 而得到结果．选(D)． 5 （2005年全国高考湖北卷) 在ΔABC 中，已知66cos ,364==B AB ，AC 边上的中线BD =5，求sin A 的值．分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC 及BC ，再由正弦定理，即得sin A ． 解：设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE //AB ，且36221==AB DE ，设BE ＝x 在ΔBDE 中利用余弦定理可得：BED ED BE ED BE BD cos 2222⋅-+=，x x 6636223852⨯⨯++=，解得1=x ，37-=x （舍去） 故BC =2，从而328cos 2222=⋅-+=B BC AB BC AB AC ，即3212=AC 又630sin =B ，故2sin A =1470sin =A 在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，C ＝15°，求A 。

答案：0018030B A A A ><<=∴，且，∴题型之二：判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状． 1. (2005年北京春季高考题)在ABC ∆中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ∆一定是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形 解法1：由C B A sin cos sin 2=＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin A cos B －cos A sin B ＝0，得sin(A －B )＝0，得A ＝B ．故选(B)．解法2：由题意，得cos B ＝sin 2sin 2C cA a=，再由余弦定理，得cos B ＝2222a c b ac +-． ∴ 2222a c b ac +-＝2ca，即a 2＝b 2，得a ＝b ，故选(B)．评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：⑴统一化为角，再判断(如解法1)，⑵统一化为边，再判断(如解法2)．2．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形 答案：C解析：2sin A cos B ＝sin （A ＋B ）＋sin （A －B ）又∵2sin A cos B ＝sin C ， ∴sin （A －B ）＝0，∴A ＝B3.在△ABC 中，若a bAB 22=tan tan ，试判断△ABC 的形状。

答案：故△ABC 为等腰三角形或直角三角形。

4. 在△ABC 中，αβcos cos A b =，判断△ABC 的形状。

答案：△ABC 为等腰三角形或直角三角形。

题型之三：解决与面积有关问题主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题．1. (2005年全国高考上海卷) 在ABC ∆中，若120A ∠=，5AB =，7BC =，则ABC ∆的面积S ＝_________2．在∆ABC 中，sin cos A A +=22，AC =2，AB =3，求A tan 的值和∆ABC 的面积。

答案：S AC AB A ABC ∆=⨯=⨯⨯⨯+=+1212232643426sin () 3. （07浙江理18）已知ABC △1，且sin sin A B C +=．（I ）求边AB 的长；（II ）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数． 解：（I）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=，BC AC +=，两式相减，得1AB =．（II ）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C =，得13BC AC =，由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC+-=22()2122AC BC AC BC AB AC BC +--==， 所以60C =．题型之四：三角形中求值问题1. (2005年全国高考天津卷) 在ABC ∆中，C B A ∠∠∠、、所对的边长分别为c b a 、、，设c b a 、、满足条件222a bc c b =-+和321+=b c ，求A ∠和B tan 的值．分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理．解：由余弦定理212cos 222=-+=bc a c b A ，因此，︒=∠60A 在△A BC 中，∠C =1－∠A －∠B =1－∠B.由已知条件，应用正弦定理B B B C b c sin )120sin(sin sin 321-︒===+ ,21cot 23sin sin 120cos cos 120sin +=︒-︒=B B B B 解得,2cot =B 从而.21tan =B2．ABC ∆的三个内角为A B C 、、，求当A 为何值时，cos 2cos 2B C A ++取得最大值，并求出这个最大值。

解析：由A+B+C=π，得B+C 2=π2 －A 2，所以有cos B+C 2 =sin A2。

cosA+2cos B+C 2 =cosA+2sin A 2 =1－2sin 2A 2 + 2sin A 2=－2(sin A 2 － 12)2+ 32；当sin A 2 = 12，即A=π3 时, cosA+2cos B+C 2取得最大值为32。

3．在锐角ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知sin 3A =，（1）求22tan sin 22B C A++的值；（2）若2a =，ABC S △b 的值。

解析：（1）因为锐角△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，sin 3A =，所以cosA ＝13， 则22222B Csin B C A A 2tan sin sin B C 222cos 21cos B C 11cos A 171cos A 1cos B C 21cosA 33＋＋＋＝＋＋－（＋）＋＝＋（－）＝＋＝＋（＋）－（2）ABC ABC11S2Sbcsin A bc 223•因为＝，又＝＝，则bc ＝3。

将a ＝2，cosA ＝13，c ＝3b代入余弦定理：222a b c 2bccos A ＝＋－中， 得42b 6b 90－＋＝解得b点评：知道三角形边外的元素如中线长、面积、周长等时，灵活逆用公式求得结果即可。

4．在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3C π=． （Ⅰ）若ABC △，求a b ，；（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．满分12分．解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，224ab ab +-=， 又因为ABC △1sin 2ab C =4ab =． ························ 4分 联立方程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩，，解得2a =，2b =． ·············································· 6分（Ⅱ）由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=，即sin cos 2sin cos B A A A =， ········································································· 8分 当cos 0A =时，2A π=，6B π=，3a =，3b =，当cos 0A ≠时，得sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，联立方程组2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，，解得3a =3b =．所以ABC △的面积1sin 2S ab C == ················· 12分 题型之五：正余弦定理解三角形的实际应用利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下： （一.）测量问题1. 如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A 、B 两点，望对岸标记物C ，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm ，求河的宽度。