2019年湖南省长沙一中高考数学模拟试卷（文科）（一）（5月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合A＝{x|x（x﹣4）＜0}，B＝{﹣3，0，1，3}，则A∩B＝（）A．{﹣3，﹣1}B．{1，3}C．{﹣3，﹣1，0}D．{0，1，3} 2．（5分）已知函数f（x）＝e x﹣（）x，则下列判断正确的是（）A．函数f（x）是奇函数，且在R上是增函数B．函数f（x）是偶函数，且在R上是增函数C．函数f（x）是奇函数，且在R上是减函数D．函数f（x）是偶函数，且在R上是减函数3．（5分）将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6点数的正方体玩具）先后抛掷2次，记第一次出现的点数为m，记第二次出现的点数为n，则m ＝2n的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）已知复数z1，z2在复平而上对应的点分别为A（1，2），B（﹣1，3），则的虚部为（）A．1B．﹣i C．i D．﹣5．（5分）若双曲线的实轴长为2，则其渐近线方程为（）A．y＝±x B．C．D．y＝±2x6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图的面积为（）A．B．C．D．7．（5分）等比数列{a n}各项为正，a3，a5，﹣a4成等差数列，S n为{a n}的前项和，则＝（）A．2B．C．D．8．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O是四边形ABCD的中心，关于直线A1O，下列说法正确的是（）A．A1O∥D1C B．A1O⊥BCC．A1O∥平面B1CD1D．A1O⊥平面AB1D19．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+θ）（ω＞0，﹣）的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，若将函数f（x）的图象向左平移后得到偶函数g（x）的图象，则函数f（x）的一个单调递减区间为（）A．[﹣]B．[]C．[0，]D．[] 10．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，点M在第一象限的地物线C上，直线MF的斜率为，点M在直线l上的射影为A，且△MAF的面积为4，则p的值为（）A．1B．2C．2D．411．（5分）已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推那么该数列的前50项和为（）A．1044B．1024C．1045D．102512．（5分）若不等式对成立，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．[1，+∞）二、填空題：本大题共4小題，每小题5分，共20分．13．（5分）如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于点H，若，则λ+μ＝14．（5分）已知x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x﹣y的最大值为．15．（5分）若函数f（x）称为“准奇函数”，则必存在常数a，b，使得对定义域的任意x 值，均有f（x）+f（2a﹣x）＝2b，已知与为准奇函数”，则a+b＝．16．（5分）已知等△ABC的面积为4，AD是底边BC上的高，沿AD将△ABC折成一个直二面角，则三棱锥A一BCD的外接球的表面积的最小值为．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骚．第17～21題为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答，（一）必考题：共60分，17．（12分）如图，在梯形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，M为AD上一点，AM＝2MD＝2，∠BMC＝60°（1）若∠AMB＝60°，求BC；（2）设∠DCM＝θ，若MB＝4MC，求tan60°．18．（12分）为推动更多人阅读，联合国教科文组织确定每年的4月23日为“世界读书日”设立目的是希望居住在世界各地的人，无论你是年老还是年轻，无论你是贫穷还是富裕，都能享受阅读的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的思想大师们，都能保护知识产权．为了解不同年龄段居民的主要阅读方式，某校兴趣小组在全市随机调查了200名居民，经统计这200人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为3：1，将这200人按年龄分组，其中统计通过电子阅读的居民得到的频率分布直方图如图所示，（1）求a的值及通过电子阅读的居民的平均年龄；（2）把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中通过纸质阅读的中老年有30人，请完成下面2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为阅读方式与年齡有关？参考公式：K2＝19．（12分）如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的菱形，且平面ABCD ⊥平画DCE．AF∥DE，且AF＝DE＝2，BF＝2．（1）求证：AC⊥BE；（2）若点F到平面DCE的距离为，求直线EC与平面BDE所成角的正弦值．20．（12分）已知圆x2+y2＝9，A（1，1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点，且∠P AQ＝90°，M是PQ的中点．（1）求点M的轨迹曲线C的方程；（2）设对曲线C上任意一点H，在直线ED上是否存在与点E 不重合的点下，使是常数，若存在，求出点F的坐标，若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝e x+m（1﹣x）+n（1）讨论函数f（x）的单调性（2）函数，且g（2）＝0．若g（x）在区间（0，2）内有零点，求实数m的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在22、23两題中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的普通方程为，曲线C参数方程为为参数）：以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求C1的参数方和的直角坐标方程；（2）已知P是C2上参数对应的点，Q为C1上的点，求PQ中点M到直线以的距离取得最大值时，点Q的直角坐标．[选修4一5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝m﹣|2﹣x|，m∈R，且f（x﹣2）≥0的解集为[3，5]．（1）求m的值；（2）a，b均为正实数，，且a+b＝m，求α+β的最小值．2019年湖南省长沙一中高考数学模拟试卷（文科）（一）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．【分析】可求出集合A，然后进行交集的运算即可．【解答】解：A＝{x|0＜x＜4}；∴A∩B＝{1，3}．故选：B．【点评】考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2．【分析】可看出f（x）的定义域为R，并可求出f（﹣x）＝﹣f（x），从而判断出f（x）是奇函数，而根据y＝e x和都是R上的增函数，即可得出f（x）是R上的增函数，从而选A．【解答】解：f（x）的定义域为R，且；∴f（x）是奇函数；又y＝e x和都是R上的增函数；∴是R上的增函数．故选：A．【点评】考查奇函数的定义及判断，以及指数函数的单调性，增函数的定义．3．【分析】基本事件总数n＝6×6＝36，利用列举法求出m＝2n包含的基本事件（m，n）有3个，由此能求出m＝2n的概率．【解答】解：将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6点数的正方体玩具）先后抛掷2次，记第一次出现的点数为m，记第二次出现的点数为n，基本事件总数n＝6×6＝36，m＝2n（k∈N*）包含的基本事件（m，n）有：（2，1），（4，2），（6，3）共3个，故m＝2n的概率为＝，故选：B．【点评】本题考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．【分析】由已知求得z1，z2，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由题意，z1＝1+2i，z2＝﹣1+3i，∴＝．∴的虚部为．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及基本概念，是基础题．5．【分析】直接利用双曲线的标准方程求出实轴长，即可求出a，然后求解渐近线方程．【解答】解：双曲线的实轴长为2，可得a＝1，所以双曲线x2﹣y2＝1（a＞0）的实轴长为2，则其渐近线方程为：y＝±x．故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．6．【分析】利用三视图的画法，说明侧视图的形状，然后求解面积．【解答】解：由题意可知三视图的侧视图是直角三角形，高为2，底面直角边长为：，所以侧视图的面积为：＝．故选：C．【点评】本题考查三视图求解几何体的侧视图面积，是基本知识的考查．7．【分析】设{a n}的公比为q（q≠0，q≠1），利用a3，a5，﹣a4成等差数列结合通项公式，可得2a1q4＝a1q2﹣a1q3，由此即可求得数列{a n}的公比，进而求出数列的前n项和公式，可得答案．【解答】解：设{a n}的公比为q（q＞0，q≠1）∵a3，a5，﹣a4成等差数列，∴2a1q4＝a1q2﹣a1q3，∵a1≠0，q≠0，∴2q2+q﹣1＝0，解得q＝或q＝﹣1（舍去）∴＝＝．故选：D．【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合，熟练运用等差数列的性质，等比数列的通项是解题的关键．8．【分析】推导出A1D∥B1C，OD∥B1D1，从而平面A1DO∥平面B1CD1，由此能得到A1O ∥平面B1CD1．【解答】解：∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O是四边形ABCD的中心，∴A1D∥B1C，OD∥B1D1，∵A1D∩DO＝D，B1D1∩B1C＝B1，∴平面A1DO∥平面B1CD1，∵A1O⊂平面A1DO，∴A1O∥平面B1CD1．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．9．【分析】首先利用函数的图象确定函数的关系式，进一步求出函数的单调区间，再根据所求的区间的子集关系确定结果．【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+θ）（ω＞0，﹣）的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，则：T＝π，所以：ω＝2将函数f（x）的图象向左平移后，得到g（x）＝sin（2x++θ）是偶函数，故：（k∈Z），解得：（k∈Z），由于：，所以：当k＝0时．则，令：（k∈Z），解得：（k∈Z），当k＝0时，单调递减区间为：[]，由于[]⊂[]，故选：B．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质周期性和单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．10．【分析】设准线l与x轴交于点N．由直线MF的斜率为，可得∠AFN＝60°．∠AMF ＝60°，利用抛物线的定义可得△AMF是等边三角形．|AF|＝4．求解即可．【解答】解：如图所示，设准线l与x轴交于点N．∴S△AMF＝．|MA|＝|MF|＝4．∴△AMF是边长为4的等边三角形．MA＝2P＝4，所以p＝2．故选：B．【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、等边三角形的面积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．【分析】将已知数列分组，使每组第一项均为1，第一组：20，第二组：20，21，第三组：20，21，22，…第k组：20，21，22，…，2k﹣1，根据等比数列前n项和公式，能求出该数列的前50项和．【解答】解：将已知数列分组，使每组第一项均为1，即：第一组：20，第二组：20，21，第三组：20，21，22，…第k组：20，21，22，…，2k﹣1，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2k﹣1，每项含有的项数为：1，2，3，…，k，总共的项数为N＝1+2+3+…+k＝，当k＝9时，＝45，故该数列的前50项和为S50＝21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+29﹣1+1+2+4+8+16＝﹣9+31＝1044．故选：A．【点评】本题考查类比推理，考查等比数列、分组求和等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，属于中档题．12．【分析】设t（x）＝lnx+，利用导数判断t（x）的单调性，求出函数的值域，再讨论m 的取值情况，从而去掉绝对值，求得不等式对成立时m的取值范围．【解答】解：设t（x）＝lnx+，t′（x）＝﹣＝，由x∈[，1]，得t（x）是单调减函数，且t（x）∈[1，e﹣1]；它的区间中点为＝，当m≤时，|t（x）﹣m|max＝e﹣1﹣m≤m+e，解得m≥；当m＞时，|t（x）﹣m|max＝m﹣1≤m+e恒成立，综上知，m≥﹣时，不等式对成立，所以实数m的取值范围是[﹣，+∞）．故选：A．【点评】本题考查了不等式恒成立应用问题，也考查了函数的单调性与最值问题，是中档题．二、填空題：本大题共4小題，每小题5分，共20分．13．【分析】由已知结合向量数量积的性质可知＝（）•＝＝0，从而可得，λ＝3μ，然后把，作为基底表示，结合B ，H ，C 共线及向量共线定理即可求解．【解答】解：∵AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于点H ， 又，∴＝（）•＝＝0，∴， 整理可得，λ＝3μ， ∴＝＝＝，又B ，H ，C 共线， ∴2μ+μ＝1， ∴，λ＝1，则λ+μ＝， 故答案为：．【点评】本题主要考查了向量共线定理及向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题． 14．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由x ，y 满足约束条件作出可行域如图，联立，解得A （1，﹣1）．化目标函数z ＝2x ﹣y 为y ＝2x ﹣z ．由图可得，当直线y ＝2x ﹣z 过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为2×1+1＝3．故答案为：3．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．【分析】根据题意，由“准奇函数”的函数的定义分析可得函数的图象关于点（a，b）中心对称，分析的对称中心，即可得a、b的值，计算即可得答案．【解答】解：根据题意，若函数f（x）称为“准奇函数”，则存在常数a，b，使得对定义域的任意x值，均有f（x）+f（2a﹣x）＝2b，则函数f（x）的图象关于点（a，b）中心对称，＝1+，其图象关于点（1，1）对称，已知与为准奇函数”，则a＝b＝1；故a+b＝2；故答案为：2．【点评】本题考查函数的对称性，注意由f（x）+f（2a﹣x）＝2b分析函数的对称性，属于基础题．16．【分析】由题意画出图形，设AD＝a，BC＝2b，则ab＝4，将三棱锥补形为长方体，则三棱锥A﹣BCD的外接球就是该长方体的外接球，且该长方体的长宽高分别为a、b，b，求出外接球的半径，代入球的表面积公式，结合等腰三角形△ABC的面积为4，利用基本不等式求最值．【解答】解：如图，设AD＝a，BC＝2b，则ab＝4，由已知，BD⊥平面ADC，将三棱锥补形为长方体，则三棱锥A﹣BCD的外接球就是该长方体的外接球，且该长方体的长宽高分别为a、b，b，则球的直径2R＝．∴球的表面积S＝4πR2＝（a2+2b2）π，∵，∴．故答案为：．【点评】本题考查多面体外接球的表面积最值的求法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骚．第17～21題为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答，（一）必考题：共60分，17．【分析】（1）利用直角三角形的边角关系求得MB、MC的值，再利用余弦定理求得BC 的值；（2）用∠DCM＝θ，利用直角三角形的边角关系求出MC、MB的值，由MB＝4MC列出关系式求得tanθ的值．【解答】解：（1）由∠BMC＝60°，∠AMB＝60°，得∠CMD＝60°，在Rt△ABM中，MB＝2AM＝4，在Rt△CDM中，MC＝2MD＝2；在△MBC中，由余弦定理得，BC2＝BM2+MC2﹣2BM•MC•cos∠BMC＝12，则BC＝2；（2）因为∠DCM＝θ，所以∠ABM＝60°﹣θ，0°＜θ＜60°，在Rt△MCD中，MC＝，在Rt△MAB中，MB＝，由MB＝4MC，可得2sin（60°﹣θ）＝sinθ，变形可得：cosθ﹣sinθ＝sinθ，即2sinθ＝cosθ，整理可得：tanθ＝．【点评】本题考查三角形中的几何计算，涉及正弦、余弦定理的应用问题，是中档题．18．【分析】（1）由频率分布直方图能求出a的值和通过电子阅读的居民的平均年龄．（2）由题意200人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为3：1，纸质阅读的人数为200×＝50，其中中老年有30人，纸质阅读的青少年有20人，电子阅读的总人数为150，青少年人数为：150×（0.1+0.15+0.35）＝90，中老年人有60人，得2×2列联表，求出K2＝≈6.061＞5.024，从而有97.5%的把握认为阅读方式与年龄有关．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：10×（0.01+0.015+a+0.03+0.01）＝1，解得a＝0.035，∴通过电子阅读的居民的平均年龄为：20×10×0.01+30×10×0.015+40×10×0.035+50×10×0.03+60×10×0.01＝41.5．（2）由题意200人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为3：1，∴纸质阅读的人数为200×＝50，其中中老年有30人，∴纸质阅读的青少年有20人，电子阅读的总人数为150，青少年人数为：150×（0.1+0.15+0.35）＝90，则中老年人有60人，得2×2列联表：∴K2＝＝≈6.061＞5.024，∴有97.5%的把握认为阅读方式与年龄有关．【点评】本题考查频率、平均数的求法，考查独立检验的应用，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19．【分析】（1）推导出AF⊥AB，DE⊥DC，从而DE⊥平面ABCD，进而DE⊥AC，推导出AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE，由此能证明AC⊥BE．（2）设AC∩BD＝O，连结OE，则OE是EC在平面BDE内的射影，EC与平面BDE 所成角为∠CEO，推导出AF∥平面DCE，点F到平面DCE的距离等于点A到平面DCE 的距离，在平面ABCD作AH⊥CD，交CD延长线于H，由此能求出直线EC与平面BDE 所成角的正弦值．【解答】证明：（1）∵AF＝AB＝2，BF＝2，∴AF2+AB2＝BF2，∴∠F AB＝90°，∴AF⊥AB，∵AF∥DE，AB∥CD，∴DE⊥DC，∵平面ABCD⊥平面DCE，DE⊂平面DCE，平面ABCD∩平面DCE＝DC，∴DE⊥平面ABCD，∴DE⊥AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵DE∩BD＝D，∴AC⊥平面BDE，∵BE⊂平面BDE，∴AC⊥BE．解：（2）设AC∩BD＝O，连结OE，由（1）知AC⊥平面BDE，∴OE是EC在平面BDE内的射影，∴EC与平面BDE所成角为∠CEO，∵AF∥DE，AF⊄平面DCE，DE⊂平面DCE，∴AF∥平面DCE，∴点F到平面DCE的距离等于点A到平面DCE的距离，在平面ABCD作AH⊥CD，交CD延长线于H，∵平面ABCD⊥平面DCE，∴AH⊥平面DCE，∴AH＝，∵AD＝2，∴∠ADH＝60°，∴菱形ABCD中，∠BDC＝60°，∴OC＝，在Rt△DEC中，EC＝＝2，∴sin∠OEC＝＝＝，∴直线EC与平面BDE所成角的正弦值为．【点评】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20．【分析】（1）设点M（x，y），由∠P AQ＝90°，得|AM|＝|PM|＝，代入点的坐标整理即可得到点M的轨迹曲线C的方程；（2）写出直线ED的方程为y＝，假设存在点F（t，）（t）满足条件，设H（x，y），则有，分别写出|HE|2与|HF|2，得到是常数，可得，由此求得t值，可得存在F （）满足条件．【解答】解：（1）设点M（x，y），由∠P AQ＝90°，得|AM|＝|PQ|＝|PM|＝，化简得：，即；（2），直线ED的方程为y＝，假设存在点F（t，）（t）满足条件，设H（x，y），则有，，．当是常数时，是常数，∴，解得t＝或t＝（舍）．∴存在F（）满足条件．【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算能力，是中档题．21．【分析】（1）先求出导数，然后对m讨论判断其单调性；（2）利用导数研究函数g（x）在区间（0，2）内的变化趋势，从而根据变化趋势建立不等式来求解．【解答】解：（1）f′（x）＝e x﹣m，当m≤0时，f′（x）＞0成立，f（x）在R上单调递增；当m＞0时，令f′（x）＝0，得x＝lnm，则f（x）在（﹣∞，lnm）单调递减，在（lnm，+∞）单调递增．（2）g′（x）＝e x+m（1﹣x）+n＝f（x），设x0是g（x）在区间（0，2）内的一个零点，因为g（0）＝0，g（x0）＝g（0）可知，g（x）在区间（0，x0）上不单调，故f（x）在区间（0，x0）存在零点x1，同理g（x0）＝g（2）＝0，可知f（x）在区间（x0，2）存在零点x0，即f（x）在区间（0，2）内至少有两个不同的零点x1和x2．由（1）知m＞0，lnm∈（0，2）得1＜m＜e2，此时f（x）在区间（0，lnm）单调递减，在（lnm，2）单调递增；由g（2）＝0知，所以，则f（x）min＝f（lnm）≤f（1）＜0；故只需解得，所以实数m的取值范围是．【点评】本题考查函数的单调性、零点的综合问题，属于中档题目．（二）选考题：共10分．请考生在22、23两題中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【分析】（1）直接由C1的普通方程写出曲线C1的参数方程，由直线l的极坐标方程写出直线l的直角坐标方程；（2）由题设得P（﹣2，0），由（1）可设Q（cosβ，），得到M（﹣1+，），由点到直线距离公式写出M到直线l的距离，利用三角函数求最值，并求得Q的直角坐标．【解答】解：（1）∵曲线C1的普通方程为，∴曲线C1的参数方程为（β为参数），∵直线l的极坐标方程为，∴直线l的直角坐标方程为x﹣y＝0；（2）由题设，P（﹣2，0），由（1）可设Q（cosβ，），于是M（﹣1+，），M到直线l的距离d＝＝．∴当时，d取得最大值，此时Q的直角坐标为（，）．【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查点到直线的距离公式的应用，训练了利用三角函数求最值，是中档题．[选修4一5：不等式选讲]23．【分析】（1）f（x﹣2）≥0等价于m﹣|2﹣x+2|≥0等价于|x﹣4|≤m⇔4﹣m≤x≤4+m，依题意可得4﹣m＝3，4+m＝5，解m＝1．（2）利用基本不等式可得．【解答】解：（1）f（x﹣2）≥0等价于m﹣|2﹣x+2|≥0等价于|x﹣4|≤m⇔4﹣m≤x≤4+m，依题意可得4﹣m＝3，4+m＝5，解m＝1．（2）由（1）知a+b＝1，∵α+β＝a+b++＝1++＝3++＝5，当且仅当a＝b＝时等号成立．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。