(2)∵当 时 在区间 上都为“凸函数”
则等价于当 时 恒成立
变更主元法
再等价于 在 恒成立（视为关于m的一次函数最值问题）
请同学们参看2012第三次周考：
例2：设函数
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若对任意的 不等式 恒成立，求a的取值范围.
（二次函数区间最值的例子）
解：（Ⅰ）
令 得 的单调递增区间为（a,3a）
（I）
1、
当且仅当 时取“=”号， 单调递增。
2、
单调增区间：
单调增区间：
（II）当 则 是上述增区间的子集：
1、 时， 单调递增符合题意
2、 ，
综上，a的取值范围是[0，1]。
三、题型二：根的个数问题
题1函数f(x)与g(x)（或与x轴）的交点======即方程根的个数问题
解题步骤
第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；
做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集
例4：已知 ，函数 ．
（Ⅰ）如果函数 是偶函数，求 的极大值和极小值；
（Ⅱ）如果函数 是 上的单调函数，求 的取值范围．
解： .
（Ⅰ）∵ 是偶函数，∴ .此时 ， ，
令 ，解得： .
第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）；
（请同学们参看2012省统测2）
例1：设函数 在区间D上的导数为 ， 在区间D上的导数为 ，若在区间D上， 恒成立，则称函数 在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，
（1）若 在区间 上为“凸函数”，求m的取值范围；
即 恒成立，又 ，∴ ，故 ∴ 的取值范围为
（2）设 ，
令 得 或 由（1）知 ，
①当 时， ， 在R上递增，显然不合题意…
②当 时， ， 随 的变化情况如下表：
—
↗
极大值
↘
极小值
↗
由于 ，欲使 与 的图象有三个不同的交点，即方程 有三个不同的实根，故需 ，即 ∴ ，解得
综上，所求 的取值范围为
根的个数知道，部分根可求或已知。
导数各种题型方法总结
请同学们高度重视：
首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：
1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法
5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）
与定义域的关系（2）端点处和顶点是最值所在
其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应∴
点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系
第三种：构造函数求最值
题型特征： 恒成立 恒成立；从而转化为第一、二种题型
例3；已知函数 图象上一点 处的切线斜率为 ，
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）当 时，求 的值域；
（Ⅲ）当 时，不等式 恒成立，求实数t的取值范围。
解：（Ⅰ） ∴ ，解得
最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础
一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；
1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：
第一步：令 得到两个根；
第二步：画两图或列表；
第三步：由图表可知；
其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，
2、常见处理方法有三种：
第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）
令 得 的单调递减区间为（－ ，a）和（3a，+ ）
∴当x=a时， 极小值= 当x=3a时， 极大值=b.
（Ⅱ）由| |≤a，得：对任意的 恒成立①
则等价于 这个二次函数 的对称轴 （放缩法）
即定义域在对称轴的右边， 这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。
上是增函数.（9分）
∴
于是，对任意 ，不等式①恒成立，等价于
等价于 有含 的三个根，即：
整理得：
即： 恒有含 的三个不等实根
（计算难点来了：） 有含 的根，
则 必可分解为 ，故用添项配凑法因式分解，
十字相乘法分解：
恒有含 的三个不等实根
等价于 有两个不等于-1的不等实根。
题2：切线的条数问题====以切点 为未知数的方程的根的个数
例7、已知函数 在点 处取得极小值－4，使其导数 的 的取值范围为 ，求：（1） 的解析式；（2）若过点 可作曲线 的三条切线，求实数 的取值范围．
（2）若对满足 的任何一个实数 ，函数 在区间 上都为“凸函数”，求 的最大值.
解:由函数 得
（1） 在区间 上为“凸函数”，
则 在区间[0,3]上恒成立
解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于
解法二：分离变量法：
∵当 时, 恒成立,
当 时, 恒成立
等价于 的最大值（ ）恒成立，
而 （ ）是增函数，则
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递减
又
∴ 的值域是
（Ⅲ）令
思路1：要使 恒成立，只需 ，即 分离变量
思路2：二次函数区间最值
二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围
解法1：转化为 在给定区间上恒成立，回归基础题型
解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；
列表如下：
(－∞,－2 )
－2
(－2 ,2 )
2
(2 ,+∞)
+
0
－
0
+
递增
极大值
递减
极小值
递增
可知： 的极大值为 ， 的极小值为 .
（Ⅱ）∵函数 是 上的单调函数，
∴ ，在给定区间R上恒成立判别式法
则 解得： .
综上， 的取值范围是 .
例5、已知函数
（I）求 的单调区间；
（II）若 在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。子集思想
例7、已知函数
（1）若 是 的极值点且 的图像过原点，求 的极值；
（2）若 ，在（1）的条件下，是否存在实数 ，使得函数 的图像与函数 的图像恒有含 的三个不同交点？若存在，求出实数 的取值范围；否则说明理由。
解：（1）∵ 的图像过原点，则 ，
又∵ 是 的极值点，则
（2）设函数 的图像与函数 的图像恒存在含 的三个不同交点，
第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；
第三步：解不等式（组）即可；
例6、已知函数 ， ，且 在区间 上为增函数．
（1）求实数 的取值范围；
（2）若函数 与 的图象有三个不同的交点，求实数 的取值范围．
解：（1）由题意 ∵ 在区间 上为增函数，
∴ 在区间 上恒成立（分离变量法）