密封 线内不 许 答 题考号班 级 姓 名2019~2020学年度上学期期末质量监测初 四 数 学 试 题（全卷满分120分，考试时间120分钟）题号 一 二 19 20 21 22 23 24 25 26总分 得分一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．1．在Rt △ABC 中，∠C =90°，cos A =53，AC =6cm ，那么BC 的长度是（ ）A ．8cmB ．524cmC ．518cmD ．56cm2．已知，点A （1，y 1），B （2，y 2）在抛物线y ＝－（x +1）2+2上，则下列结论正确的是（ ）A. 2> y 1> y 2B. 2 > y 2 > y 1C. y 1> y 2>2D. y 2 > y 1>2 3．对二次函数236y x x =-的图像，下列说法不正确的是（ ）A ．开口向上B ．对称轴为直线x =1C ．顶点坐标为(1，－3)D ．最小值为3 4．如图，A 、B 、P 是半径为2的⊙O 上的三点，∠APB =45°，则弦AB 的长为（ ）A ．2B ．2C ．2D ．45．平面内一点P 到⊙O 的最大距离和最小距离分别为2cm 和6cm ，则⊙O 的直径长为（ ）A ．4cmB ．8cmC ．4cm 或8cmD ．6cm 6．将抛物线216212y x x =-+向左平移2个单位后，得到新抛物线解析式为（ ）A ．5)8(212+-=x y B ．5)4(212+-=x y C ．3)8(212+-=x y D ．3)4(212+-=x y7．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆 心在格点上，则∠BED 的正切值等于（ ） A ．255 B ．55 C ．2 D ．128．如图，AB 是半圆的直径，点D 是AC 的中点，∠ABC =50°，则∠DAB 的度数是（ ）A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°9．如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图像如图所示,分析下列五个结论：①abc ＜0；②b 2-4ac ＞0；③3a +c ＞0；④(a +c )2＜b 2；⑤b <2a ． 其中结论正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个密封 线内不许 答题二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11.二次函数y =（x -1）2+3图象的顶点坐标是__________12.在⊙O 中，圆心角∠AOB 的度数为100°，则弦AB 所对的圆周角度数为_______． 13．若tan (α－15°)=3，则锐角α的度数是_________．14．在平面直角坐标系中，⊙C 的圆心为C （a ，0），半径长为2，若y 轴与⊙C 相离，则a 的取值范围为_________．15．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC ＝120°，AB =AC ，BD 为 ⊙O 的直径，CD =6，OA 交BC 于点E ，则AE 的长度是_________．16．一个水平放置的圆锥的主视图为底边长2cm 、腰长3cm 的等腰三角形，则该圆锥的表面积是_________．17．已知一个半圆形工件，未搬动前如图中阴影部分所示，其直径平行于地面l ，现将其按图示方法翻滚一周，使其直径依然平行于地面l ，已知半圆的直径为2m ，则圆心O 所经过的路线长是_________．18．如图，在以A 为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC 中，将B 角折起，使点B 落在AC 边上的点D （不与点A ，C 重合）处，折痕是EF ．如图1，当CD ＝AC 时，tan α1＝； 如图2，当CD ＝AC 时，tan α2＝；如图3，当CD ＝AC 时，tan α3＝；……依此类推，当CD ＝AC （n 为正整数）时，tan αn ＝ ．三、解答题(本大题共8小题，共66分．） 19．(本题6分)2tan 60sin 60cos 302sin 45︒︒︒︒⋅-⋅20. （本题4分）计算：001)3(30tan 2)21(3π-+--+-21.(本题6分)二次函数24y ax x c =-+的图象经过坐标原点，与x 轴交于点 A (－4，0)(1)求此二次函数的解析式，并求出抛物线的顶点坐标；(2)在抛物线上存在点P ，使△AOP 的面积为10，求出点P 的坐标．密封 线内不 许 答 题考号班 级 姓 名22．(本题8分)如图，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点E ，∠DAB =∠CDB =90°，∠ABD =45°，∠DCA =30°，AB =6，求CD 的长度．23．(本题10分)某商场试销一种成本为60元/件的夏季服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于成本的50%，经市场试销调研发现，日销售量y (件)与售价x (元/件)符合一次函数y =kx +b ，且当售价80元/件时，日销量为70件，当售价为70元/件时，日销量为80件．(1)求一次函数y =kx +b 的表达式；(2)若该商场每天获得利润为w 元，试写出利润w 与售价x 之间的关系式，并求出售价定为多少元时，商场每天可获得最大利润，最大利润是多少元？(利润=销售收入-进货成本，不含其他支出)24．(本题9分)如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，延长CA 交⊙O 于点F ．（1）求证：DE 是⊙O 切线；（2）若AB =10cm ，DE +EA =6cm ，求AF 的长度．密封 线内不许答 题25．(本题9分)如图，河边有幢高楼，某数学实践小组准备测量楼高和河宽．上午某一时刻该楼的一部分影子落在河对岸堤坝的斜坡CD 上，此时在点M 处测得楼顶A 的仰角为30°，在斜坡底端C 处测得楼顶A 的仰角为60°，大楼落在斜坡上的影子长CM 为10米．已知斜坡CD 的坡角正切值为34，求河宽CB 和楼高AB ．26．(本题14分)如图，△OAP 是等腰直角三角形，∠OAP =90°，点A 在第四象限，点P 坐标为(8，0)，抛物线2y ax bx c =++经过原点O 和A 、P 两点．(1)求抛物线的函数关系式；(2)点B 是y 轴正半轴上一点，连接AB ，过点B 作AB 的垂线交抛物线于C 、D 两点，且BC =AB ，求点B 坐标；(3)在(2)的条件下，点M 是线段BC 上一点，过点M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，求△CBN 面积的最大值．密封 线内不 许 答 题考号班 级 姓 名初四数学参考答案一、选择题1～10：AACDC ADCA B 二、填空题 11.(1,3);12.50°或130°13. 75°；14. a ＞2或a ＜﹣2；15. 3；16.42cm π；17. 2πm ；18.三、解答题 19.原式=2333()22222⨯-⨯………………………………………………….……………4=538- (6)20分分解：4 (13)32................. .1332(-2)3)3(30tan 2)21(3 001-=+⨯-+=-+--+-π21.解(1)将(0，0)和(－4，0)分别代入24y ax x c =-+得 20(4)4(4)0ca c =⎧⎨--⨯-+=⎩ 解得a＝－1，c ＝0……………………………………………………………………..…1分∴二次函数的解析式为24y x x =--…………………………………………………..2分 24y x x =--＝2(2)4x -++∴抛物线的顶点坐标为(－2,4)…………………………………………………………..3分 (2)由题意得OA ＝4，△AOP 的面积为10∴1102p OA y ⋅=，即14102p y ⨯⨯= 解得5P y =∵抛物线的顶点坐标为(－2,4)∴5P y =-………………………………………………………………………………4分令245x x --=- 解得：15x =-，21x =∴点P的坐标是(－5，－5)或(1，－5)……………………………………………….6分22.解：∵∠D A B =90°，∠A B D =45°，∴A B =A D (1)分 在△A B D 中，BD =AB ÷cos 45°=6÷22=23 (2)分作AF ⊥BD 于点F ， ∴点F 是BD 中点 ∴D F = A F =12BD =3，……………………………………………………….………….4分∵∠CDB =90°， ∴CD ∥AF∴∠CAF =∠DAC =30°∴EF =tan 30°×AF = 33×3=1∴DE =DF -EF =3-1………………………………………………………………….………….6分密封 线内不 许答 题在Rt △C D E 中，CD=31333033DE tan -==-︒……………………………………………..…….8分23. 解：(1)根据题意得： 80707080k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得： k =−1，b =150，……………………………………………………4 所求一次函数的表达式为y =-x +150；(2)w =(x -60)(-x +150)= 222109000(105)2025x x x -+-=--+………………………….6 ∵销售单价不低于成本单价，且获利不得高于成本的50%， ∴6060(150%)x ≤≤⨯+，即6090x ≤≤………………………………………..……….8 ∵a =-1<0,抛物线的对称轴为直线x =105>90 ∴当6090x ≤≤时，w 随x 的增大而增大…………………………………………….……9 ∴当x =90时，w 有最大值为2(90105)2025--+=1800(元)………………………….…..10 24. （1）证明：∵OB =OD ，……………………………………………………..…………..1 ∴∠ABC =∠ODB ， ∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ， ∴∠ODB =∠ACB ，∴O D ∥AC ．………………………………………………………………………………...…2 ∵DE ⊥AC∴D E ⊥OD ………………………………………………………………….………..…..…..…3 ∵OD 是⊙O 的半径，∴D E 是⊙O 切线………………………………………………………………………..…..…4 （2）如图，过点O 作OH ⊥AF 于点H ，则∠ODE =∠DEH =∠OHE =90º，∴四边形O D E H 是矩形， (5)∴OD =EH ，OH =DE ． 设AH =x ．∵DE +AE =6，OD= 12AC= 12AB=5，∴A E =5﹣x ，O H =D E =6-（5﹣x ）=x +1．………………………………………..……………6 在R t △A O H 中，由勾股定理知：A H 2+O H 2=O A 2，即x 2+（x +1）2=52，………..……....…7 解得x =3．∴AH =3．…………………………………………………………………………………………8 ∵OH ⊥AF ， ∴AH =FH =AF ，∴AF =2AH =2×3=6(cm)． (9)25.解：作ME ⊥BC 于点E ，MF ⊥AB 于点F设ME =x ，则CE =ME ÷34=43x在Rt △CME 中，由勾股定理得，2224()103x x +=解得，x =6……………………………………………...2分∴CE =43x =8…………………………………………...3分设BC=a ，则MF =BE =a +8在Rt △AMF 中，AF =tan 30°×MF =33(a +8)……….5分∴AB =AF +BF =AF +ME =33(a +8)+6在Rt △ABC 中，AB =tan 60°×BC 3,密封 线内不 许 答 题考号班 级 姓 名33(a +8)+6=3a ……………………………………………………………………..…….7分 解得a =433+………………………………………………………………………………8分 ∴AB =3a =43+9………………………………………………………………………….9分 答：河宽(433+)米，楼高(43+9)米. 26.(1)2124y x x =-………………………………………………………………………….…3 (2)分别作AE ⊥y 轴于点E ，CF ⊥y 轴于点F ∵AB ⊥BC ， ∴∠ABC =90°∴∠ABE +∠CBF =90° ∴∠ABE =∠BCF ∵AB =BC ∴△A B E ≌△BCF (4)∴AE =BF =4................................................................................................5 CF =BE =OB +OE =OB +4=OB +BF =OF (6)∴设C (x ，2124x x -)x =2124x x - 解得x =0(舍去)或x =12…………………………………………………………..…….…….7 ∴OF =12 ∴OB =8 ∴B (0，8)……………………………………………………………………………..……….8 (3)分别作BG ⊥MN 于点G ，CH ⊥MH 于点H则1122CBN CMN BMN S S S BG MN CH MN ∆∆∆=+=⋅+⋅=1()2MN BG CH + ∵BG +CH =12…………………………………………………………………..………….…10 ∴当MN 取最大值时，CDN S ∆有最大值设直线BC 为y kx b =+ 代入B (0，8)和C (12，12)解得k =13,b =8∴183y x =+ (11)设M (m , 183m +),N (m , 2124m m -)MN =(183m +)-(2124m m -)=2114121()439m --+当m =143时，M N 有最大值1219………………………………………………………..…….13 此时△C B N 的最大值为112124212293⨯⨯= (14)。