专题27 快速解决直线与圆锥曲线综合问题的解题技巧一．命题陷阱1.不用韦达定理与用韦达定理的选择陷阱2.范围不完备陷阱3.圆锥曲线中三角形面积公式选取陷阱4．不用定义直接化简的陷阱（圆锥曲线定义的灵活运用）5.圆锥曲线中的求定点、定直线只考虑一般情况不考虑特殊位置陷阱6.圆锥曲线中的求定值只考虑一般情况不考虑特殊位置陷阱 二、知识回顾 1.椭圆的标准方程(1) 22221,(0)x y a b a b +=>>，焦点12(,0),(,0)F c F c -，其中c =(2) 22221,(0)x y a b b a+=>>，焦点12(0,),(0,)F c F c -，其中c =2.双曲线的标准方程(1) 22221,(0,0)x y a b a b -=>>，焦点12(,0),(,0)F c F c -，其中c ．(2) 22221,(0,0)x y a b b a-=>>，焦点12(0,),(0,)F c F c -，其中c3．抛物线的标准方程(1) 22222,2,2,2,(0)y px y px x py x py p ==-==->．对应的焦点分别为：(,0),(,0),(0,),(0,)2222p p p p F F F F --. 三．典例分析1.不用韦达定理与用韦达定理的选择陷阱例1. 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △的面积为62，求直线AP 的方程. 【答案】 （1）22413y x +=， 24y x =.（2）3630x y +-=，或3630x y --=.（Ⅱ）解：设直线AP 的方程为1(0)x my m =+≠，与直线l 的方程1x =-联立，可得点2(1,)P m --，故2(1,)Q m-.将1x my =+与22413y x +=联立，消去x ，整理得22(34)60m y my ++=，解得0y =，或2634my m -=+.由点B 异于点A ，可得点222346(,)3434m m B m m -+-++.由2(1,)Q m-，可得直线BQ 的方程为22262342()(1)(1)()03434m m x y m m m m --+-+-+-=++，令0y =，解得222332m x m -=+，故2223(,0)32m D m -+.所以2222236||13232m m AD m m -=-=++.又因为APD △的面积为62，故221626232||2m m m ⨯⨯=+，整理得2326||20m m -+=，解得6||3m =，所以63m =±. 所以，直线AP 的方程为3630x y +-=，或3630x y --=. 【陷阱防范】：分析题目条件与所求关系，恰当选取是否使用韦达定理练习1. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，且椭圆上任意一点到左焦点的最大距离为21+，最小距离为21-.（1）求椭圆的方程；（2）过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线l 交椭圆C 于,A B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q ，使得以线段AB 为直径的圆恒过点Q ?若存在，求出点Q 的坐标：若不存在，请说明理由.【答案】(1)椭圆方程为2212x y +=;(2) 以线段AB 为直径的圆恒过点()0,1Q .下面证明()0,1Q 为所求：若直线l 的斜率不存在，上述己经证明. 若直线l 的斜率存在，设直线1:3l y kx =-， ()()1122,,,A x y B x y ， 由221{ 3220y kx x y =-+-=得()2291812160k x kx +--=，()22144649180k k ∆=++>，1212221216,189189k x x x x k k -+==++， ()()1122,1,,1QA x y QB x y =-=-u u u v u u u v ， ()()121211QA QB x x y y ⋅=+--u u u v u u u v()()21212416139k k x x x x =+-++ ()22216412161091839189k k k k k -=+⋅-⋅+=++. ∴QA QB ⊥u u u v u u u v，即以线段AB 为直径的圆恒过点()0,1Q .练习2.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △的面积为62，求直线AP 的方程.【答案】 （1）22413y x +=， 24y x =.（2）3630x y +-=，或3630x y --=. 【解析】（Ⅰ）设F 的坐标为(,0)c -.依题意，12c a =，2p a =，12a c -=，解得1a =，12c =，2p =，于是22234b ac =-=.所以，椭圆的方程为22413y x +=，抛物线的方程为24y x =.练习3. 已知椭圆1C ： 2214x y +=，曲线2C 上的动点(),M x y 满足： ()()2222232316x y x y +++-=.（1）求曲线2C 的方程；（2）设O 为坐标原点，第一象限的点,A B 分别在1C 和2C 上， 2OB OA =u u u r u u u r，求线段AB 的长.【答案】(1) 221164y x +=2105【解析】（1）由已知，动点M 到点()0,23P-， ()0,23Q 的距离之和为8，且8PQ <，所以动点M 的轨迹为椭圆，而4a =， 23c =，所以2b =，故椭圆2C 的方程为221164y x +=. （2）,A B 两点的坐标分别为()(),,,A A B B x y x y ，由2OB OA =u u u r u u u r及（1）知， ,,O A B 三点共线且点,A B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y kx =.将y kx =代入2214x y +=中，得()22144k x +=，所以22414A x k =+， 将y kx =代入221164y x +=中，得()22416k x +=，所以22164B x k=+， 又由2OB OA =u u u r u u u r ，得224B A x x =，即22164414k k =++， 解得222441,5,5,5,55555k A B ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭易得， 故224242255551055555AB ⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2.范围不完备陷阱例2. 已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，以椭圆长、短轴四个端点为顶点为四边形的面积为43.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，当动点M 在定直线4x =上运动时，直线AM BM 、分别交椭圆于两点P 、Q ，求四边形APBQ 面积的最大值.【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ） 6.【解析】（Ⅰ）由题设知， 2,243ac ab ==， 又222a b c =+，解得2,3,1a b c ===，故椭圆C 的方程为22143x y +=. 故四边形APBQ 的面积为1•22P Q P Q S AB y y y y =-=-= 221862273tt tt ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭ ()()()()()22222222248948948912273912)9t t t t t tt tt t t t ++===+++++++.由于296t t λ+=≥，且12λλ+在[)6,+∞上单调递增，故128λλ+≥， 从而，有48612S λλ=≤+. 当且仅当6λ=，即3t =，也就是点M 的坐标为()4,3时，四边形APBQ 的面积取最大值6. 【陷阱防范】：涉及含参数问题，求最值或范围时要注意运用均值不等式还是运用函数的单调性. 练习1.设点10,4F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，动圆A 经过点F 且和直线14y =-相切，记动圆的圆心A 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）设曲线C 上一点P 的横坐标为(0)t t >，过P 的直线交C 于一点Q ，交x 轴于点M ，过点Q 作PQ 的垂线交C 于另一点N ，若MN 是C 的切线，求t 的最小值. 【答案】（1）2x y =（2）min 23t =【解析】(1)过点A 作直线AN 垂直于直线14y =-于点N ，由题意得AF AN =，所以动点A 的轨迹是以F 为焦点，直线14y =-为准线的抛物线.所以抛物线C 得方程为2x y =. ()()()()210,10kx x k t k k t kx k k t x k t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+---+=+-+--=⎣⎦⎣⎦⎣⎦，解得()1k k t x k-+=-，或x k t =-.()()()()()()2222222221111,,11MN k k t k kt k k t k k t k N k k k t k k t kt k t k k k⎡⎤-+⎣⎦⎛⎫-+⎡⎤-+-+⎣⎦ ⎪∴-∴==-+ ⎪-+----⎝⎭. 而抛物线在点N 的切线斜率， '|k y = ()()122k k t k k t x kk-+---=-=， MN 是抛物线的切线，()()()22221221k kt k k t kk t k -+---∴=--，整理得()2222120,4120k kt t t t ++-=∴∆=--≥，解得23t ≤-（舍去），或min 22,33t t ≥∴=. 练习2. 已知双曲线22221x y C a b-=：33，0)是双曲线的一个顶点。

(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点2F 作倾斜角为30︒的直线l ，直线l 与双曲线交于不同的,A B 两点，求AB 的长。