材料力学的四种基本变形 轴向拉压 剪切与挤压 扭转 平面弯曲
第五章 弯曲内力
§5.1 概述
一、 弯曲变形 bending deformation
第四种基本变形， 最复杂的基本变形
弯曲变形例
弯曲变形例
模型
F
F
F
2
2
一般情况
弯曲变形的特点
1. 受力特点
外力垂直于杆的轴线；
横向力
外力偶矩矢垂直于杆的轴线。
建立坐标系；
列 FQ，M 方程；
作 FQ , M 图。
2. FQ , M 图的要求 ⑴ 与梁对齐画； ⑵ 注明内力性质； ⑶正确画出内力沿梁的轴线变化规律； ⑷ 标明特殊截面内力数值； ⑸ 标明内力的正负号； ⑹ 注明内力单位。
F
A
x l
弯曲变形的特点
2. 变形特点 杆的轴线由直线变为曲线； 任意两横截面绕各自面内某一直线相对 转动一角度。
二、梁 beam 以弯曲变形为主的杆。 直梁—— 轴线为直线 曲梁—— 轴线为曲线 本课程以直梁为主。
三、静定梁模型
模型1：简支梁 simply supported beam
F
F
F
2
2
第五章弯曲内力机械类
逆时针转向的外力取负号。
“左上右下”为正
例：求指定截面剪力
F
A
B
x l
直接法
ห้องสมุดไป่ตู้
FQ = －F
例：求指定截面剪力
A
x
q
B
l-x l
FQ = q（ l－ x ）
二、弯矩M bending moment
1.大小
y
a F1
O· M
∑MO=0,
M－FAx＋F1（x－a）=0 M = FAx－F1（x－a）
∑Fy=0, FA－F1－FQ = 0
FQ = FA－F1
FB 1.大小：一个截面的剪力，
数值等于该截面一侧
F2
所有外力的代数和。
FB
内力总是成对的，大小相等，方向相反， 正负号如何规定？
剪力的正负号
正的剪力
负的剪力
FQ FQ
FQ FQ
FQ
FQ
FQ
FQ
左上右下为正 顺时针为正
左下右上为负 逆时针为负
M1+10×1 － 5 = 0 M1= － 5 kN.m
直接法
FQ2 = 0 M = 第五章弯曲内力机械2类 5 kN.m
例题 : 求指定截面内力
qa
qa2
q
12
C
12
B
a
A
2a
FA
FB
解：1. 求支反力 FA=2qa （↑） FB = qa（↑）
2. 求指定截面剪力和弯矩
FQ1 = －qa FQ2 = FA－qa= qa
注意:剪力的正负号是依据它引起的变形来决定的，
而不是看其指向第。五章弯曲内力机械类
梁的内力——剪力 FQ 和 弯矩 M
y
F1
一、剪力FQ shear force
M
∑Fy=0, FA－F1－FQ = 0
FQ x FA
FQ = FA－F1 1.大小：一个截面的剪力，
数值等于该截面任意一侧
所有外力的代数和。
用方程表达内力沿轴线变化规律， 其缺点是：
⑴ 方程依赖于坐标系，即同一段梁 用不同坐标系写出的方程不同——不唯一。
⑵ 内力变化规律不直观——不方便。
二、剪力图和弯矩图
shear force and bending moment diagrams
将剪力方程和弯矩方程画成图像， 观察内力变化规律既唯一又直观。 1. 作 FQ , M 图步骤
O A
B
x l
直接法
M = －F x
例：求指定截面弯矩
q
A
x
B
l-x l
M = q(lx)lxq(lx)2
2
2
例 求指定截面的剪力和弯矩
5kN.m
A
1m
10kN
2
2
1m
1
B
1
5kN.m
A
10kN
1
M1
ΣFy = 0 , ΣM1 = 0 ,
1m
1m
1 FQ
1
FQ1+10 = 0
FQ1 = －10 kN
模型2：悬臂梁 cantilever beam
FF F
模型3：外伸梁 overhang beam
F1
F2
静定梁
1. 简支梁 2. 悬臂梁 3. 外伸梁
四、平面弯曲变形
1. 平面弯曲
弯曲变形后梁的轴线变为平面曲线。
2. 对称弯曲
平面弯曲的一种特殊情形。 条件：⑴ 横截面有对称轴；
⑵ 载荷作用在纵对称面内； ⑶ 轴线为纵对称面内平面曲线。
对称弯曲例
F1
纵对称面
F2
FR1 轴线
FR2
本课程中第四种基本变形 指的是对称弯曲变形。
§5.2 剪力和弯矩
F1
F2
FA
x
F1
FB
剪力FQ M
弯矩M
FA
x FQ
梁的内力
剪力FQ 弯矩M
第五章弯曲内力机械类
截面法计算梁的内力
F1
F2
FA
x
y F1
MM
x FQ
FQ
FA
一、剪力FQ shear force
FQ x FA
一个截面的弯矩，数值上等于 该截面任意一侧所有外力对此
M
F2
截面形心力矩的代数和。
FQ
FB
正负号？
第五章弯曲内力机械类
弯矩的正负号
正的弯矩
M MM
上凹下凸
M
表示方法
引起的变形
凹侧纵向纤维缩短，受压； 凸侧纵向纤维伸长，受拉。 ---------使梁上压下拉的弯矩为正。
“左顺右逆”为正
弯矩的正负号
负的弯矩
MM
上凸下凹
M
表示方法
引起的变形
使梁上拉下压的弯矩为负。
弯矩M
y
a F1
x FA
1.大小
O· M
FQ
∑MO=0, M－FAx＋F1（x－a）=0 M = FAx－F1（x－a）
一个截面的弯矩，数值上等于 该截面任意一侧所有外力对此
截面形心力矩的代数和。
2.正负号
使得梁的上部发生凹，下部发生凸的变形者为正。
2. 正负号：对研究对象内任一点顺时针转向的
剪力为正，逆时针转向的剪力为负。
第五章弯曲内力机械类
例：求指定截面剪力
F
A
x
设正的剪力 FQ
B
l
截面法
ΣFy = 0 , － FQ － F = 0 FQ = － F
直接法计算剪力
一个截面的剪力，等于该截面任意 一侧所有横向外力的代数和； 对截面形心呈顺时针转向的外力取正号，
M1 = －qa2 M2 =－qa2＋qa2= 0
§5.3 剪力图和弯矩图
一、剪力方程和弯矩方程
F
A
B
x l
剪力方程 弯矩方程
FQ = －F M = －F x
（0≤x＜l）
剪力方程和弯矩方程的写法： 1. 选坐标(注意坐标轴的表示方法） 轴线—— x 轴，代表不同的横截面 函数—— 内力 2. 列方程 梁的不同段上的内力方程，可以选用 不同的坐标系。
第五章弯曲内力机械类
例：求指定截面弯矩
F
O A
x
设正的弯矩
M
B
l
截面法
ΣMO = 0 , M + F x = 0
M = －F x
直接法计算弯矩
一个截面的弯矩，等于该截面任意一侧 所有外力对此截面形心力矩的代数和。
向上的外力取正号，向下的外力取负号。 外力偶“左顺右逆”为正。
例：求指定截面弯矩
F