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《离散数学(专)》阶段练习三
(第五章、第六章)
一、判断题(对的在括弧中打个“√”,错的在括弧中打个“⨯”)
1、对任何无向图,奇其点的个数必然为奇数. ( )
2、对于简单无向图G 而言,其所有顶点的度数和等于其两倍的边数. ( )
3、自补图对应的完全图的边数必为偶数. ( )
4、简单通路就是边不重复的一个点边交替序列.
(
)
5、若图G 是连通的,则其补图G 必然是不连通的.
( )
6、若)(G A 是图G 的邻接矩阵,则矩阵幂次2
))((G A 中的对角线上元素)
2(ii a 等于它对应的
顶点i v 的度)deg(i v .
( ) 7、所有顶点的度都为偶数的无向图一定是欧拉图. ( )
8、含有汉密尔顿路的图就是汉密尔顿图. ( )
9、对连通平面图G 而言,其边数e 、点数v 、面数r 必然满足2=+-r e v . ( )
10、不存在点数、边数奇偶性不同的欧拉图. (
)
11、完全图5K 不是欧拉图.
( )
12、若图G 是哈密尔顿图,则对G 中任意不相邻的顶点对u,v ,均满足度数之和d (u )+d (v ) ≥ n . ( )
13、不含奇圈(长度为奇数的圈)的无向图一定是二部图. ( )
14、完美匹配一定不是最大匹配. ( )
15、边子集M 是图G 的最大匹配,当且仅当G 中不含M 可扩路. ( )
16、边子集M 是图G 的一个匹配,所谓M 交错路,就是一条通路,满足路上相邻两条边一条在M 中,另一条不在M 中. ( )
二、简单作图题
1、画出一个自补图;
2、画出一个既有欧拉回路、又有汉密尔顿圈的无向图;
3、画出一个有欧拉回路、但没有汉密尔顿圈的无向图;
4、画出一个无欧拉回路、但却有汉密尔顿圈的无向图;
5、画出一个自对偶图.
6、画出含有4个顶点的含圈的所有非同构的连通图.
三、填空题
1、完全二部图,m n K 中的边数为 .
2、对无向图G 而言,若M 是G 的一个匹配,G 中的一条通路P ,满足相邻的两条边交替属于M 和不属于M 这个条件的话,称通路P 为 .
3、对无向图G 而言,若M 是G 的一个匹配,则满足条件 称为M 可扩路.
4、点不重复的回路(即起、终点重合的通路)叫做 .
5、不连通图G 的几个不相连通的子图叫做 .
6、删除图G 中某个顶点关联的所有边之后,所剩的图 (选填“连通”或“不连通”).
7、无向图的关联矩阵中,第i 行的元素和等于 .
8、有向图的关联矩阵中,第i 行里“1”的个数等于 .
9、有向图D 的邻接矩阵A 的k 次幂k
A 中,元素()
k ij a 表示图中从点i v 到j v 的 有向路的条数.
10、如果只关心有向图D 中点i v 到j v 是否存在有向路可达,而不关心路的长度那么我们可以考虑 (选填“关联矩阵”,“邻接矩阵”或“可达矩阵”).
11、对无向图图G 而言,若M 是G 的一个匹配,则M 是图G 的最大匹配当且仅当 . 12、n 个点的图G 的边数若为m ,则它的补图G 的边数为 .
四、若无向图G 中恰有两个奇点,试证明这两点之间必有一条路相连.
五、试证明完全二部图3,3K 不是平面图.
六、选择题
1、下列选项中唯一不正确的是( ).
(A )无向图的所有顶点的度的和,等于图中边数的2倍.
(B )简单无向图G 是欧拉图,当且仅当它是每一个顶点的度都是偶数的连通图. (C )点、边、面数分别为v e r 、、的简单连通平面图的欧拉公式是+2v e r -=. (D )不存在6个顶点的自补图.
2、具有6 个顶点,12条边的连通简单平面图中,围成每个面的边数必为( ). (A )3;
(B ) 2;
(C ) 4;
(D )5.
3、下列关于无向平面图的对偶图的描述,正确论断的个数是( ). (1)任一简单平面图G 的对偶图的对偶图一定是G . (2)两个同构的简单连通平面图,它们的对偶图也是同构的. (3)任一平面图的对偶图一定是连通的. (4)简单平面图的对偶图一定也是简单平面图. (5)平面图G 的对偶图一定是平面图.
(6)平面图G的面色数一定等于其对偶图的点色数.
(A)2;(B)3;(C)4;(D)5.
4、下列关于图的描述的选项中,唯一不正确的是().
(A)子图中的点数小于等于图中的点数
(B)补图与原图的点数相等,但边数就不一定相等了
(C)同构的两个图的点数对应相等,边数对应相等,但反之未必
(D)彼得森(Peterson)图是哈密尔顿图
七、求证:若简单无向图G不连通,则其补图G必然连通.
八、我们称与其补图同构的简单无向图为自补图。
证明:每个自补图的阶或者能被4整除,或者被4除余1.
九、给出一个如下图的有向连通图G.
1、写出它的邻接矩阵A;
2、图中长度为3的回路(注意起点的不同)一共有多少条?
3、求图的可达矩阵P.
《离散数学(专)》阶段练习三 (第五章、第六章)答案
一、判断题(对的在括弧中打个“√”,错的在括弧中打个“⨯”)
二、简单作图题
解:画图如下
6、
三、填空题
1、mn .
2、M 交错路.
3、起终点均为非M 饱和点的M 交错路.
4、初级回路,或者圈
5、连通分图,或连通分支.
6、不连通.
7、第i 个点的度 8、第i 个点的出度. 9、长度为k 的. 10、可达矩阵.
11、G 中不含M 可扩路. 12、
(1)
2
n n m --.
四、证明:(反证法)不妨设着两个奇点为w u 、,且它俩在图G 中没有路相连,那么它俩必存在于两个连通分支中,即存在于图G 的两个不连通的子图u G 、w G 当中,而作为每个
子图来说,其中奇点的数目一定为偶数,故子图u G 、w G 当中至少分别存在两个奇点,即图G 中至少有4个奇点,这显然与图G 中恰有两个奇点矛盾。
故这两点之间必有一条路相连.
五、
证明:(反证法)设完全二部图3,3K 是平面图,且点数、边数、面数分别为v 、e 、r ,
由于图中任何三条边围不成一个面,即围成一个面至少需要4条边,于是有r e 42≥,即
e r 2
1
≤
,代入欧拉公式r e v +-=2中即得42-≤v e 。
而3,3K 中的9=e ,6=v ,且84629=-⋅>,于是矛盾,故而3,3K 不是平面图.
六、选择题
七、 证明:依题意,G 至少含有两个连通分支,不妨设为i G 和j G ,由于G 的补图G 与G 有相同的结点集合,所以,对任意的两点u 和v ,分以下两种情形讨论:
(1)若两点u 和v 属于G 的不同连通分支,则u 和v 在i G 中无边相连,由补图的定义,即知u 和v 在G 中必有一条边相连,即在G 中连通;
(2)若两点u 和v 属于G 的同一个连通分支i G ,则在另一个连通分支j G 中必存在一
点w ,由第一种情形的证明,知u 和w 在G 中必有一条边相连,且v 和w 在G 中也必有一条边相连,进而,在G 中,有一条连接u 和v 的路uwv 存在,即u 和v 在G 中连通. 综合上述,知命题得证. 八、
证明:设图G 是个自补图,且阶数为n 。
由于图G 与其补图G 同构,所以,G 中的边数必然与G 中边的数目相同。
于是,这两个图的边数均为完全图n K 中边数的一半,即
(1)4n n -。
由于n 和(1)n -中有且仅有一个偶数,所以,或者是n 能够被4整除,或者
是(1)n -能够被4整除。
于是,该图的阶或者能被4整除,或者被4除余1.
九、 1、
解:邻接矩阵如下所示:
0100101010010
01
0A ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
2、 解:由
2
1010110101101
00
1A ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
及
3
1101112020110
11
0A ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
,即知长度为3的回路个数等于
3()1113tr A =++=.
注:若直接从图上找出3条回路(写出顶点顺序),也可以. 3、
解:由2
3
4
+++P A A A A =,并将所得矩阵中的非零元换成“1”,即得
1
111111111111
11
1P ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
.。