六西格玛数据分析技术4
2020年7月13日星期一
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第4章 参数估计
4.1 参数估计的基本概念 4.2 总体均值和总体比例的区间估计 4.3 样本容量的确定 4.4 两总体均值之差的区间估计 4.5 两总体比例之差的区间估计 4.6 正态总体方差的区间估计 4.7 两个正态总体方差比的区间估计 4.8 有关区间估计的Minitab软件实现
矩估计法(续)
解：因为μ是全体灯泡的平均寿命， 为样本的平均寿命，很自 想到用 去估计μ；同理用s去估计σ。
由于
例4－2.设样本x1,x2,…, xn来自参数为λ 的泊松分布。由于 E(X)=D(X)=λ，因而 与s2都可以作为λ的矩估计值。
由例4－2可以看出E(X)=D(X)=λ，这表明总体均值与方差相
在进行区间估计时，必须同时考虑置信概率与置 两个方面。即置信概率定的越大，则置信区间相应 。这两者要结合考虑，才更为实际。
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4.2 总体均值和总体比例的区间
总体均值的区间估计
➢当X～N(μ,σ2)时， x1,x2,…, xn是来自该正态总体的随
，
。
➢ 当总体方差σ2已知时，μ的1-α置信区间为：
解：样本x1, x2,…, xn的联合密度
用均值
来表示，就有：
，将 看作常数， λ看作变量，可得似 ，进而取对数，求微商，解方程可得： 对本例而言，就有：
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点估计的优良性准则
不同的参数估计方法，可得到不同的估计量，不同的估 谁优谁劣？我们有一些相应的评价准则。在6σ管理中， 用的点估计优良性准则有两个：一个是无偏性，另一个
➢3.必要样本容量n与正态分布Z1-α/2分位数(也称可 数)成正比。即：我们要求的可靠程度越高，样本
就应越大；如果要求的可靠程度越低，样本容量
以小些。
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样本容量的确定(续3)
例4－8.某广告公司想估计某类商场去年 所花的广告费平均有多少。经验表明， 总体方差约为1800000。如置信度取 95%，并要使估计值处在总体平均值 附近500元的范围内，这家广告公司 应取多大的样本？
个数值 区间估计包含了两个数值，对应着数轴上的一个区
，所以称为区间估计 点估计的方法最常用的有两种：
•矩估计法 •极大似然估计法 对一个估计优良性的评价有一些相应的评价准则
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矩估计法
对总体参数的估计，人们最容易想到的方法就是矩估 即用样本矩估计总体相应的矩，用样本矩的函数估计 应矩的函数。
差为σ2，只要n＞1，作为μ的估计值， 比x1就更有效。
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区间估计
点估计没有给出估计的精度和可靠程度，区间 解决了这一问题。
设θ是总体的一个待估参数，从总体中获得容量 的样本是x1, x2,…, xn，对给定的α(0<α<1)，有统 ： θL=θL(x1, x2,…, xn) 与θU=θU(x1, x2,…, xn) 若对任意θ有P(θL≤θ≤θU )＝1-α,则称随机区间 ]是θ的置信水平为1-α的置信区间。 θL 与θU分别称为1-α的置信下限与置信上限， 显著性水平。
小组讨论与练习
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本章目标
1.掌握参数估计的基本概念 2.建立起在管理中运用参数估计的思想 3.能运用Minitab实现各种区间估计的计算 4.掌握样本容量的确定方法 5.能在管理实践中运用参数估计方法
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4.1 参数估计的基本概念
参数估计有两大类，一种叫点估计，一种叫区间估 点估计是利用样本的信息对所感兴趣的参数估计出
➢ 解：已知X～N(μ,0.152)时， =2.14，n=9,1-α=0.95, α=0.0 标准正态分布表可得1-α/2的分位数，Z1-α/2=1.96；α=0.0 Z1-α/2=2.58； α=0.10时， Z1-α/2=1.64。这是一些常用值， 记住。
➢ 我们可以95%的概率保证这种零件的平均长度在(21.302 之间。
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例4－5.σ2未知时，μ的区间估计
为了估计各省市电视台在某黄金时间一分钟广告的平均 随机调查了20个电视台，他们每分钟的广告费 =25000 s=8000元。假定所有电视台的广告费近似遵从正态分布 总体均值95%的区间估计。
➢ 解：这是总体方差σ2未知的情况。已知 =25000，s=800 n=20， α=0.05，则t1-α/2(n-1)= t0.975(19)=2.093；于是
让10个人挑选10支不同颜色的铅笔，只有9人有自由挑 能，因为当这9人都挑好之后，你别无选择！因此这个 自由度为9。
自由度可以理解为在研究问题中，可以自由取值的数据 。
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例4－4.σ2已知时，μ的区间估计
某种零件的长度遵从正态分布，从该批零件中随机抽取 测得其平均长度为21.4mm。已知总体标准差σ=0.15mm， 立该种零件平均长度的置信区间，给定的置信水平为0.
可以证明：若x1, x2,…, xn来自正态总体N(μ,σ2)，则：
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极大似然估计(续3)
例4-3.设某种品牌的电视机的首次故障时间遵从指数分布f(t)=λe 测试了7台电视机，获得相应的首次故障时间（单位：万小时） 1.49，3.65，0.26，4.25，5.43，6.97，8.09 求参数的λ估计值。
解之得： 只要我们知道了Z1-α/2，σ和允许误差，就可具体
本容量n。 如果算出的n不是整数，就去超过该小数的最接
数即可。
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样本容量的确定(续2)
由样本容量的确定公式 量之间的一些关系：
，你可发现
➢1.总体方差越大，必要的样本容量n越大。
➢2.必要样本容量n反比例于允许误差B。即在给定 水平下，允许误差越大，样本容量就可以越小； 误差越小，样本容量就必须加大。
矩是指以期望值为基础而定义的数字特征，例如均值 、协方差等。
最常用的矩估计有：用样本均值估计总体均值，用样 差估计总体标准差。
例4－1.已知某种灯泡的寿命 X～N(μ,σ2)，其中μ,σ2 ，今随机抽取4只灯泡，测得寿命(单位：小时)为150 1453，1367，1650。试估计μ,σ。
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在实际问题中 与s2不见得一样，因而矩估计的结果不惟一。
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极大似然估计
极大似然估计是利用总体的分布密度或概率分布的表达式 样本所提供的信息建立求未知参数估计量的一种方法。
极大似然估计好多初学者觉得难以理解，我们用下面的说 助理解：在产品检验中，有说这批产品的次品率可能是 1/10000，也有说次品率可能是1/100。 如果你在这批产品中随机抽取一件，竟然 就是次品，自然应当认为这批产品的次品 率最有可能是1/100而不是1/10000。把这 种考虑问题的方法一般化，就概括出极大 似然估计方法。
例4-6.某航空公司在过去飞行记录中，随机抽取了 航班，航班空位数的样本均值 =11.6，标准差=4.1 求过去一年所有航班的平均空位数的置信区间。(α
➢解：所有航班空位数的分布未知，且总体标准差未
但n=225，因而仍可用
做区间估计。
具体数据得[11.15，12.05]，也即该公司有90%的把
过去的一年该公司的平均空位数在11.15到12.05之间
➢ 解：已知σ2=1800000，α=0.05，Z1-α/2=1.96，B=500
➢ 即这家广告公司应抽取28个商场作样本。
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样本容量的确定(续4)
估计总体比例时，样本容量n的计算公式是：
例4－9.某市场调查公司想估计某地区有数码相机的 占的比例。该公司希望对p的估计误差不超过0.05，要 可靠度为95%，应取多大的样本？没有可利用的 估
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总体比例置信区间估计的例子
例4－7.某企业在一项关于职工流动原因的研究中，从该 前职工的总体中随机抽选了200人组成一个样本。访问结 有140人说他的离开是由于企业管理缺乏人性化。试对由 种原因而离开企业的人员的真正比例进行估计(α=0.05)。
➢ 解：已知n=200， =0.7， =140>5，
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区间估计(续)
置信区间的大小表达了区间估计的精确性，置信 达了区间估计的可靠性， 1-α是区间估计的可靠概 而显著性水平α表达了区间估计的不可靠的概率。
如果[θL ,θU ]是置信水平为0.95的置信区间，由于 间[θL ,θU ]会随样本观察值的不同而不同，它有时包 参数θ ，有时没有包含θ ，但是用这种方法作参数 间估计时，100次中大约有95个区间能包含着参数 约有5个区间没能包含θ 。
其中Z1-α/2是标准正态分布的1-α/2分位数。 ➢ 当总体方差σ2未知时，σ用其s代替，用t分布，μ的1
区间为：
其中t1-α/2(n－1) 表示是自由度为n－1的t分布的 1-α/2分
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关于自由度
在统计推断中常常会碰到自由度这一 概念，不少人对这一概念不好理解。
如果我们有10个数，而且你知道了均值和其中的9个数 那么你就可以推出第10个数。
合概率密度函数。
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极大似然估计 (续2)
一般情况下，我们用求解似然方程的方法进行极大似然 具体步骤是： 1.由总体分布导出样本的联合概率密度； 2.把样本联合概率密度中自变量x1, x2,…, xn看成已知 ，而把参数看作变量，得到似然函数； 3.用微分原理求似然函数的最大值点； 4.在最大值点的表达式中，代入样本值就得参数的估计
性。
无偏性：设 是参数θ的一个估计量，如果 是参数θ的无偏估计。
，则
➢ 无偏性实际上是指对于一个估计量，屡次变更数据反复