摘要：本文从定义、定理、集合的角度，通过正反对比的例题，论述函数列收敛、一致收敛、内闭一致收敛间的相互关系及其差异
关键词：函数列；收敛；一致收敛；内闭一致收敛
Abstract：This paper from the definition, theorem, the set point of view, through the contrast of examples, discusses the function series convergence, uniform convergence, in close relationship and difference between the uniform convergence
Keyword：Function series; convergence; uniform convergence; uniform convergence
目录
1 引言 (4)
2 函数列收敛与一致收敛的定义 (4)
2.1 函数列收敛 (5)
2.2函数列的一致收敛 (5)
3 论述函数列收敛与一致收敛的差异 (5)
4 阐述函数列收敛与一致收敛的相互关系 (9)
4.1从定理的角度阐述 (10)
4.2从集合的角度阐述 (11)
结论 (12)
参考文献 (13)
致谢 (14)
1引言
收敛与一致收敛理论是数学分析的重要概念之一，同时也是教学的难点之一。
特别是函数列的收敛与一致收敛问题，在各个版本的数学分析教科书中往往都把
函数列的收敛问题与函数项级数的收敛问题混在一起，导致学生往往难以透彻的
理解这个概念。
而且证明时学生常常都用""N -ε语言硬套，各个版本数学分析
中对这个概念也仅仅是一般性叙述，例题很少，尤其是正反例题更少。
所以本文
为了让学生更好掌握这一重要概念将从定义、定理、集合的角度，系统论述函数
列收敛与一致收敛及内闭一致收敛间的相互关系及差异，让这部分内容能够独立
建立
2 函数列收敛与一致收敛的定义
2.1函数列收敛：
设
,2,1f f …,,n
f … （1） 是一列定义在同一数集E 上的函数，称为定义在E 上的函数列。
（1）也可以简单地写作：
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n f 或,n f n=1,2,… 设0x ∈E ，以0
x 代入（1）可得数列 ), 0
(),...0(2),0(1x n f x f x f （2） 若数列（2）收敛，则函数列（1）在点0x 收敛，0
x 称为函数列（1）的收敛点。
若数列（1）在数集D E ⊂上每一点都收敛，则称（1）在数集D 上收敛。
这时D 上每一点x ，都有数
列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n f 的一个极限值与之对应，由这个对应法则所确定的D 上的函数，称为函数列（1）的极限函数。
若把此极限函数记作,f 则有
),()(lim x f x n f n =∞→ x ∈D
或),()(x f x n f = （∞→n ），x ∈D.
函数列极限的N -ε定义是：对每一个固定的x ∈D ，任给正数ε，恒存在正数N （注意：
一般说来N 值的确定与ε和x 的值有关，所以也用N （ε，x ）表示它们之间的依赖关系），
使得当n>N 时，总有 )()(x f x n f -<ε.
使函数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n f 收敛的全体收敛点的集合，称为函数列⎭⎬⎫⎩
⎨⎧n f 的收敛域. 2.2函数列的一致收敛 设函数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n f 与函数f 定义在同一数集D 上，若对任给的正数ε，总存在某一正数N ，使得当n>N 时，对一切x ∈D ，都有 )()(x f x n f -<ε，
则称函数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n f 在D 上一致收敛于f ，记作 )()(x f x n
f →→ （∞→n ），x ∈D. 由定义看到，如果函数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n f 在D 上一致收敛，那么对于所给的ε，不管D 上哪一点x ，总存在公共的N （ε）（即N 的选取仅与ε有关，与x 的取值无关），只要n>N ，都有
)()(x f x n f -<ε.
3 论述函数列收敛与一致收敛的差异
函数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n f 收敛定义中是对每一个固定的x ∈D ，根据给定的正数ε找N ，这样找到的N 不仅与ε有关且与x ∈D 的取值有关。
但函数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n f
一致收敛定义中是对一切的x ∈D ，
根据正数ε正数找公共的N ，找出的N 只与ε有关，而与x ∈D 的取值无关.
例1：设,...2,1,)(==n n x x n f 为定义在（+∞∞-,）上的函数列，证明它的收敛域(]1,1-,且有极限函数
⎩
⎨⎧=,1,0)(x f 11=<x x （3） 证 任给ε>0（不妨设ε<1），当0<1<x 时，由于
)()(x f x n f -= n x ，
只要取N （ε，x ）=
x ln ln ε，当n>N （ε，x ）时，就有 )()(x f x n
f -<ε. 当x =0和x =1时，则对任何正数n ，都有
0)0()0(=-f n f <ε，0)1()1(=-f n
f <ε 这就证的⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n f 在(]1,1-上收敛，且有（3）式所表示的极限函数. 例2：设,...2,1,sin )(==n n nx x n
f 为定义在（+∞∞-,）上的函数列，证明它在（+∞∞-,）上一致收敛，且极限函数为0)(=x f .
证 由于对任何实数x ，都有
,1sin n
n nx ≤ 故对任给的ε>0，只要取N(ε)=,1
ε 当n>N(ε) 时，就有
0sin -n
nx <ε.
结论
参考文献
致谢
首先，这篇论文能够顺利完成，我非常感谢我的指导老师教授，在论文的完成过程中，从论文的的立题到论文的整改进行了全面的，认真的知道，对论文细节进行了详尽的审阅，对于论文的改进提供了宝贵的建议。
其次，感谢论文撰写过程中给予我宝贵意见的同学，同时向一直关心我支持我的其他老师表示深深的谢意.。