X ,Y
u i , vi
每节点2个dof
第 2 章
杆单元与梁单元
§2.1.2 二维空间中的杆单元
节点位移向量的坐标变换：

~ d i Tdi
第 2 章
杆单元与梁单元
§2.1.2 二维空间中的杆单元
m ~ l 向量的坐标变换矩阵为： T m l
~ 1 ~ T T T 显然是正交阵，即：
引入边界位移约束和载荷：
系统方程化为：
2 2 0 0 F1 EA 2 3 1 u 2 P L 0 F 0 1 1 3
第 2 章 杆单元与梁单元
§2.1.1 一维等截面杆单元

d B N i ( x) N j ( x) 1/ L 1/ L dx
ui N j Nd u j

单元应力： E EBd
应用弹性体虚功原理导出单元刚度方程。
虚功原理
第 2 章
杆单元与梁单元
§2.1.1 一维等截面杆单元
弹性体受力平衡时，若发生虚位移，则外力虚功等 于弹性体内的虚应变能。 ——平衡条件
第 2 章 杆单元与梁单元
单元1：1-2
2 45 ，l m 2

k1 T1 k 1T 1
T
1 EA 2 2 1 L 2 2 0 0
0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0
T
1 0 1 0
0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
上述方程组中删除第１，３个方程，得到：
2 2 0 0 F1 EA 2 3 1 u 2 P L 0 F 0 1 1 3
解得：
u1 0 PL 位移解： u 2 1 u 3EA 0 3
u2
v2 u3 v3
1 1 1 1 EA 1 1 1 1 2 L 1 1 1 1 1 1 1 1
第 2 章 杆单元与梁单元
§2.1.2 二维空间中的杆单元
将单元1，2的刚度方程扩张到系统规模（6阶）， 相加后引入节点平衡条件：
第 2 章 杆单元与梁单元
§2.1.1 一维等截面杆单元 对于上面的杆单元：
与前面直接法得到的公式相同！
第 2 章
杆单元与梁单元
§2.1.1 一维等截面杆单元
（三）关于杆单元的讨论 1）在单元坐标系下，每个节点一个未知位移分量，单元共有 2个自由度。 2）单元刚度矩阵元素的物理意义：
刚度方程中令：
ui 1 u j 0
单元刚度方程
f i k11 则： f j k21
f i k11 f j k 21
k12 ui k 22 u j
第 2 章
杆单元与梁单元
对于杆单元，定义虚位移如下：
ui 节点虚位移： d u j
单元虚位移： u Nd
d 则单元虚应变： (u ) Bd dx
节点力（外力）虚功： d T f
第 2 章 杆单元与梁单元
§2.1.1 一维等截面杆单元
单元虚应变能：
T
T dV d B EBddV d B EBdV d V V V
应力： E
第 2 章 杆单元与梁单元
§2.1.1 一维等截面杆单元
轴向拉压变形模式下，该杆单元的行为与弹簧单元相同，因 此杆单元的刚度矩阵为：
EA k L
比照弹簧元的刚度方程，写出杆单元的刚度方程为：
f i k k ui EA 1 1 ui f j k k u j L 1 1 u j
0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0
u1 v1 u2
v2
1 1 1 1 EA 1 1 1 1 2 L 1 1 1 1 1 1 1 1
第 2 章 杆单元与梁单元
§2.1.2 二维空间中的杆单元
上式中：
x x N i ( x) 1 , N j ( x) L L N i , N j 是插值基函数，有限元中称为形状函数，简称形函数。
第 2 章 杆单元与梁单元
§2.1.1 一维等截面杆单元
单元位移模式写成矩阵形式：
u Ni

ui N j Nd u j

u( x ) N i ( x )ui N j ( x )u j
第 2 章 杆单元与梁单元
§2.1.1 一维等截面杆单元
（二）公式法导出杆单元特性 单元上假设近似位移函数——位移模式
单元上位移假设为简单多项式函数： u a0 a1 x 用插值法把多项式中的待定系数
a0 , a1 转化为节点位移,
从而得到插值形式的假设位移函数——单元位移模式如下：
u( x ) N i ( x )ui N j ( x )u j
§2.1.1 一维等截面杆单元
考虑一个2节点一维等截面杆单元： L— 杆长
A— 截面积
E— 弹性模量
ui 单元节点位移：d u j
fi 单元节点力：f fj
第 2 章 杆单元与梁单元
§2.1.1 一维等截面杆单元
u u ( x)
——杆单元位移
第 2 章
杆单元与梁单元
§2.1.2 二维空间中的杆单元
再引入边界约束和载荷：
则上面6阶有限元方程凝聚为：
EA 2 0 u2 P 1 2 L 0 2 v2 P2
解出未知位移得：
u2 L P 1 v2 EA P2
§2.1.1 一维等截面杆单元
所以，单元刚度矩阵的第i（i=1,2)列元素表示当维持单 元的第i个自由度位移为１，其它自由度位移为０时，施加在 单元上的节点力分量。
３）单元刚度矩阵对称、奇异、主对角元素恒正。
第 2 章
杆单元与梁单元
§2.1.1 一维等截面杆单元
（四）举例 求图示２段杆中的应力。
式中N N i

N j , 称为单元形函数矩阵。

注意：采用一次多项式是因为单元只有2个轴向位 移分量，对应2个多项式系数。
第 2 章
杆单元与梁单元
§2.1.1 一维等截面杆单元
d 单元应变： du Nd B d dx dx
B ——单元应变矩阵
u Ni
第 2 章 杆单元与梁单元
§2.1.2 二维空间中的杆单元
单元应力：
即：
第 2 章
杆单元与梁单元
§2.1.2 二维空间中的杆单元
（二）例题
平面桁架由2根相同的杆组 成（E，A，L）。求： 1）节点2位移； 2）每根杆应力。
解：
求出每个单元在总体坐标下的刚度矩阵：
第 2 章
杆单元与梁单元
§2.1.2 二维空间中的杆单元
第2章 杆单元与梁单元
第 2 章
杆单元与梁单元
§ 2.1 等截面杆单元
杆单元
2.1.1 一维等截面杆单元
2.1.2 二维空间杆单元
•如何用直接法求杆单元特性？ •如何用公式法导出杆单元特性？ •什么是虚功原理？ •杆单元刚度矩阵的特点？
第 2 章 杆单元与梁单元
•什么叫坐标变换？ •如何对节点位移向量进行坐标变换？ •如何对刚度矩阵进行坐标变换？ •应用举例
( x) ——杆单元应变 ( x)——杆单元应力
du 应变—位移关系： dx 应力—应变关系： E
第 2 章
杆单元与梁单元
பைடு நூலகம்
§2.1.1 一维等截面杆单元
（一）直接法导出单元特性 杆单元伸长量： u j ui
应变： L
E L EA EA 杆内力：F A k L L EA 杆的轴向刚度： k L
T T T
对杆单元应用虚位移原理，得：
T d f d B EBdV d V
T T
考虑到 d 的任意性，立刻得到：
T f B EBdV d k d V
k B T EBdV
V
——杆单元刚度矩阵
这就是刚度矩阵的一般形式，可推广到其他类型的单元。
单元2：2-3
135，l
T
2 2 ，m 2 2
k 2 T2 k 2T 2
1 1 0 0 EA 2 2 1 1 0 0 L 2 2 0 0 1 1 0 0 1 1
T
1 0 1 0
0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1
提示： 1）本例中单元应力的计算采用了材料力学中的方法,与采 用有限元单元应力公式 E EBd 的结果相同。 2）对锥形杆，单元截面积可用平均值。 3）求应力之前需要求出节点位移——有限元位移法。
第 2 章 杆单元与梁单元
§2.1.1 一维等截面杆单元
习题2：
已知：
求：杆两端的支反力 解
单元1应力：
1 u 2 u1 E PL P 1 E 1 E E 0 L L L 3EA 3A
第 2 章 杆单元与梁单元
§2.1.1 一维等截面杆单元
单元2应力：
u3 u2 E 2 PL P 2 E 2 E E 0 L L L 3EA 3A