（此时，以简代繁、以直代曲、以静代动）。
则
U b f ( x)dx。 a
三、旋转曲面的面积
y
设平面光滑曲线C的方程为:
y f (x)
y f ( x), x [a,b] (不妨设f ( x) 0).
o
x x x
x
这段曲线绕x轴旋转一周得到旋转曲面，求这 个曲面的面积。
过x和x x分别作垂直于x轴的平面，
[2 f ( x) y]
1
y x
2
x
2f
(
x
)
1
f 2( x)x
o(x).
dS 2f ( x) 1 f 2( x)dx 2f ( x)ds,
S 2
b
f (x)
1 f 2( x)dx.
a
——直角坐标下旋转曲面面积计算公式。
如果光滑曲线C的参数方程为：
x x(t), y y(t),t [a, ] y(t) 0,
则曲线C绕x轴旋转所得旋转曲面的面积为 ：
S 2 a y(t)ds
dS 2yds
2
y(t )
x2(t ) y2(t )dt.
a
如果光滑曲线C的极坐标方程为：
r r( ), ,
则 S 2
y( )ds
a
2
r( )sin
r 2( ) r2( )d .
a
例1 求抛物线 y2 8x, 0 x 1 4
则 U b f ( x)dx。 a
平面图形的面积：
y
y f (x)
A | y | x,
dA | y | dx; A( x)
x x dx
o a x x dx b x
立体的体积： V A( x)x, dV A( x)dx;
曲线的弧长： s x2 y2 ,
y
ds
N
ds dx2 dy2;
a
o
ax
t [0, 2 ] .
于是，其旋转体的面积
S 2
y(t )
x2(t ) y2(t )dt
0
4 / 2 a sin3 t (a 3cos2 t sin t )2 (a 3sin2 t cos t )2dt 0
12a2 .
5
作业
P262. 1（2）（4） 2， 3
2）建立U的微元表达式
设想把区间[a, b]分成n 个小区间，取其中任一小区间 并记为[ x, x dx]，求出相应于这小区间的部分量 U 的近似值.如果U 能近似地表示为[a, b] 上的一个 连续函数在x 处的值 f ( x) 与dx 的乘积，
即
U f ( x)x o(x)，
即dU dU ( x) f ( x)dx， 其中f ( x) C[a,b]
它们在旋转曲面上截下一条狭带，
当 x 很小时，此狭带的面积近似于一圆台的侧面积，
S [ f ( x) f ( x x)] x2 y2
[2 f ( x) y]
1
y x
2
x,
lim y 0, x0
y f ( x x) f ( x).
lim
x0
1
y 2
x
1 f 2(x),
§4 旋转曲面的面积 一、微元法
设U是 一 个 量 ， 满 足 ：
1）U与某个量（记为x）的变化区间[a, b]有关；
2）对[a, b]的 分 割 ，U有 相 应 的 分 割 ， 且U对 此 分 割
n
有可加性
U
U
；
i
i 1
3）
f
(
x
)
C[a
,
，
b]
使x与x
x之
间
（
相
应
的
部
分
量
）
U f ( x)x o(x)， 即 dU f ( x)dx，
绕x轴旋转所得曲面的面积。
1
解
S 2 4 8x 1 ( 8x )2dx. 0
2
1 4
8x
x 2dx.
0
x
1
2 4 8x 16dx. 0
.
2
2
2
例 2 求星形线 x 3 y 3 a 3(a 0) 绕 x 轴旋转构成旋转体
的面积
y
解 星形线的参数方程为：
x a cos3 t, y a sin3t,
M
T dy
RHale Waihona Puke dxox x dx x
通常要验证 U f ( x)x o(x)是非常困难的。 且 U f ( x)x o(x)中的f ( x)一般来说不是唯一的。
所以 U b f ( x)dx 中的f ( x)也不是唯一的。 a
二、使用微元法求量U的步骤：
1）确定U的相关量（记为x）的变化区间[a , b]；