经典谐振子与量子谐振子的比较研究潘 保 平（天水师范学院 物理与信息科学学院 甘肃 天水 741000）摘要：线性谐振子问题在经典力学和量子力学中都是一个倍受关注的问题，他的重要性在于自然界中广泛存在着简谐振动，许多体系都可以近似地看作线性谐振子。

本文从经典和量子两个角度对谐振子问题进行研究和比较，并用不确定度关系探讨了零点能问题。

关键字：谐振子；零点能；不确定度关系；波粒二象性Classics Harmonic Osicillator andQuantum Harmonic OsicillatorPan Baoping(Department of physics Tianshui Normal University Gansu Tianshu)Abstract:This essay discusses the Linear Harmonic scillator from two different aspects Classics and Quantum.It also discusses Zero-point energy by using the uncertainty relation.Key words :harmonic oscillator,zero-point energy,uncertainty relation,wave-particle dualism1、经典力学中的谐振子在经典力学中，谐振子问题可用下面的方式来表述。

一质量为M 的质点沿ox 轴运动，他所受到的回复力()x F可从势函数的微商得到。

势函数()221kxx V = （1）力()x F的表达式为：()ikx dx dvx F-=-=（kook 定律） （2）i 是沿ox 轴的单位矢量。

运动方程可以写成：kx dtx d -=22μ（3）令 μkw =2 （4）（3）式变为：0222=+x w dtx d （5）方程（5）的解具有下列形式：)sin(0o wt x x ϕ+= （6） 它表示一个正弦运动，其振幅为0x ，相位为0ϕ，角频率为0ω，相应的频率是：πν2w =μπk21=（7）ν只与质点的质量μ和恢复力常数k 有关，而振幅0x 和相位o ϕ都与运动初始条件有关。

振子的总能量E 是：PE E E +=0（8）动能e E 和势能P E 的表达式为：)(cos 2)(202222ϕμμ+==wt x w dtdx E e （9）)(sin221022022ϕμ+==wt x w kxE P （10）显然总能量在运动中式不变的2022212kx x w E E E p e ==+=μ且由（9）（10）式知：当00=+μwt 时，势能有最小值0，而此时动能有最大值20221x w μ。

而当20πϕ=+wt 时，势能有最大值20221x w μ，0。

进一步，对于经典振子：)sin(0o wt x x ϕ+= 经典振子的速度V 为;)cos(00ϕ+==wt w x dtdx V利用αα2sin 1cos -=，注意：00)sin(x x wt =+ϕ020()sin 1ϕω+-=wt x V01x x w x -= （11）其中0x 为振幅，平衡点为原点。

当0=x 时，由（11）式知此时经典振子的速度V 有最大值ω0x V =，即经典振子在0=x 处逗留时间最短，出现的几率最小。

2、量子力学中的谐振子在量子力学中，取谐振子的平衡位置为坐标原点，并选原点为势能零点，则一维谐振子的势能可表示为：221)(kxx V =K 为反映谐振子作用强度的参数，谐振子受力kx dx dv F -=-=，设振子质量为μ，令：uk w =则22)(x w x V μ=一维谐振子的能量本征方程为：)()(212222x E x w dx d ϕϕμμ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+- （12） 为方便起见引入没有纲量的变量ξ 代替x ，它们的关系式：μωααμωξ===,x x ；并令：ωλ E 2=（13）则（12）式化简为;)()()(222=-+x d x d ϕξλξϕ (14)这是一个变系数的常微分方程。

ξ（或x ）有限点式微分方程的常点，而±∞=ξ为方程的正则奇点。

考虑方程的解在±∞=ξ处的渐进行为。

当ξ很大时，λ与2ξ相比可以略去，所以方程（14）可写为：)()(222x d x d ϕξξϕ=不难证明它的解围：22~)(ξϕ±e x 。

因为波函数的标准条件要求±∞=ξ时)(x ϕ应有限，所以我们对波函数只取指数上的负号。

不妨令方程（14）的解为：)()(22ξξϕξH e-= (15)（14）代入（15）式课的)(ξH 满足方程:0)()1()(2)(2=-+-ξλξξξξξH d dH d dH用级数解法，把H 展成ξ的幂级数来求解方程的解。

这个级数必须只含有限项，才能在±∞=ξ时，使)(ξϕ有限;而级数只含有限项的条件是λ为奇数：12+=n λ 3,2,1,0=n (16)代入（13）式可得谐振子的能级为：)21(+=n E n ω ， 3,2,1,0=n (17)可见现行谐振子的能量只能取分立值，两相邻的能级间隔为ω ，即ω =-+n n E E 1。

而谐振子的能量本征函数为：)()(222x H eN x n xn n αϕα-= （18）其中21]!2[n N nn ∙=πα是归一化常数 （19）最低的四个能级及相应的波函数如下：ω210=E 241022)(xex απαϕ-=（20）ω231=E 2411222)(xxex ααπαϕ-=（21）ω252=E 22241022)12(21)(xex x αααπϕ--=（22）ω273=E 22221022)132(3)(xex x x αααπαϕ--=（23）3、讨论经典谐振子与量子谐振子有着本质的区别，下面将逐一讨论与比较： 3.1、能级3.1.1、能量取值点由（9）（10）式可知经典谐振子的能量取值是连续的，而由（17）式可知量子谐振子的取值是分立的，即是量子化的，其中n 为量子数。

且能级是等间距的，间距是ω 。

能量取分立值是微观粒子具有波粒二象性这一量子特征的重要体现。

3.1.2、零点能由（9）式可知当0)cos(0=+ϕwt 时经典谐振子的最低动能为零，而由（17）式可知，量子谐振子在基态的能量不为零。

即当n=0时，ω210=E ,称为零点能，这与经典谐振子完全不同。

它与无限势阱总粒子的基态能量（22222man E n π =n=1,2,3…….）不为零是很相似的，这是一种量子效应,是微观粒子波粒二象性的表现。

同样，也可用不确定度关系定性说明。

利用坐标和动量的不确定关系：4)()(222≥∆∙∆p x谐振子的能量不确定度关系：2222222)(21)(8)(212)(x x x p E ∆+∆≥∆+∆=∆μωμμωμ使E ∆极小的2)(x ∆的值可由极值条件：0)(821)()(4222=∆-=∆∆x x d E d μμω可求得，μω2)(2 =∆x ，因此谐振子的零点能：244ωωω =+=∆E可见谐振子的基态是谐振子问题的最小不确定态，这是由其量子本性所决定的。

3.2、波函数在量子力学中波函数)(x ϕ本身无意义，但波函数的绝对值平方：2)(x ϕ与粒子在空间某点出现的几率成正比。

首先我们以基态讨论。

对于量子谐振子的基态：241022)(xex απαϕ-=， ω210=E相应的几率密度为：22200)()(xex x W απαϕ-==易知在x=0处0W 有最大值：πα，即在原点找到粒子的概率最大，由于能量ω210=E ，可知此时的经典回转点为0x m x ==ω。

按经典力学，能量为E 的谐振子所能大到离平衡位置最远的距离是A x m E A x ±===,22ω称为谐振子的经典回转点。

a 、由于经典谐振子在x=0处时能最小，并由（9）（10）式可知，此时的动能必定最大（因为机械能守恒），即谐振子的速度最大，见（11）式，振子在x=0处逗留时间最短，因此经典谐振子在x=0处的几率最小。

而按量子力学计算，见（26）式，在x=0处的几率却是最大的（见图1）.经典与量子刚好相反。

b 、当经典谐振子的能量为ω 21时，经典回转点α1±，经典振子只能处于α1≤x 的区域中。

应为在1=x α处，势能ωα 212121)(22===k kx x V ，即等于总能量。

在这点速度减慢为零，不能再继续往外跑。

而按照量子力学计算，粒子在α1>x 的区域，仍有不为零的几率。

对于基态，概率为：1573.022122==⎰⎰∞-∞ξπϕξd edx x对于第一激发态1ϕ，粒子在经典禁区出现的概率为0.1116.这种明显的量子效应在基态表现的特别突出，对于量子谐振子大约有16%的粒子跑到了α1>x 的区域以外，这是经典不允许的。

当线性谐振子在前几个态时，几率密度与经典情况毫无相似之处，而随着量子数n 增加，相似性也随着增加。

图2和图3画出了n=0及n=10是线性谐振子的几率密度：图中虚线表示经典线性谐振子的几率密度，实线表示量子谐振子的几率密度。

由图3可见当n=10时，量子和经典的情况在平均上已经相当符合，差别只在于20)(x αϕ迅速振荡而已。

在以上讨论中，我们发现经典谐振子与量子谐振子既有严重的分歧又有某些必然的联系，对它的思考将促进人们对量子物理的理解与认识。

参考文献：[1]曾谨严.量子力学教程.科学出版社，2003. [2]宋鹤山.量子力学.大连理工大学出版社，2004. [3]周世勋.量子力学.高等教育出版社，1979. [4]钱伯初.量子力学.高等教育出版社，2006. [5]张林芝.量子力学.东北师范大学出版社，1986.。