第9章 静电场9-1 两小球处于如题9-1图所示的平衡位置时，每小球受到张力T ，重力mg 以及库仑力F的作用，则有mg T =θcos 和F T =θsin ,∴θmgtgF =,由于θ很小，故 lxmgmg mg x q F 2sin tg 41220=≈==θθπε ∴3/1022⎪⎪⎭⎫⎝⎛m g l q πε9-2 设q 1,q 2在C 点的场强分别为1E 和2E，则有11q 方向沿∴ C 设E 的方向与CB 的夹角为α，则有︒===--7.337.28.11211tg E E tg α 9-3 坐标如题9-3图所示，带电圆弧上取一电荷元l q d d λ=，它在圆心O 处的场强为201d 41d RlE λπε=，方向如题9-3图所示，由于对称性，上、下两带电圆弧中对应电荷元在圆心O 处产生的d E 1和d E 2在x 方向分量相互抵消。

习题9-1图习题9-3图0=∴x E ，圆心O 处场强E 的y 分量为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-===⎰⎰2312sin d 412sin d 412026260R R R R lE y πελθθλπεθλπεππ方向沿y 轴正向。

9-4 （1）如题9-4图(a)，取与棒端相距d 1的P 点为坐标原点,x 轴向右为正。

设带电细棒电荷元x q d d λ=至P 点的距离x ，它在P 点的场强大小为 20d 41d x xE P λπε=方向沿x 轴正向各电荷元在P 点产生的场强方向相同，于是 ⎰⎰-+-==11)(20d 41d d L d P P xxE E πε方向沿x （2Q 点距离为r ，电荷元在Q 以E x =0, 因θθθπθθd csc d d ,d 2d ,csc d 22222=-=⎪⎭⎫⎝⎛-==x ctg tg x r ∴ θθπελθλπεd sin d 4sin d 41d 202==r xE y)c o s (c o s d 4d s i n d 4d 21202021θθπελθθπελθθ-===⎰⎰y y E E 其中 22222221)2/(d 2/c o s ,)2/(d 2/c o s L L L L +-=+=θθ习题9-4图（a ）习题9-4图（b ）代入上式得22220)2/(4L d L d E y +=πελ[]1321222891027.5)2/2.0()108(1082.0103109----⋅⨯=+⨯⨯⨯⨯⨯⨯=m V方向沿y 轴正向。

9-5 带电圆弧长m d R l 12.302.050.04.322=-⨯⨯=-=π,电荷线密度199m C 100.112.31012.3---⋅⨯=⨯==l q λ。

带电圆弧在圆心O 处的场强等价于一个闭合带电圆环（线密度为λ）和一长为d 、电荷线密度为-λ的小段圆弧在O 处场强的矢量和。

带电闭合圆环在圆心处的场强为零，而d<<R,∴小段带电圆弧可视为点电荷，所带电量q '的场强，=E 9-6 通过每一（2E平q 全部包围需241，即 ⎰1012424241S εε9-7 解法（一）通过圆形平面的电通量与通过以A 为球心，r R x AB =+=22为半径，以圆平面的周界为周界的球冠面的电通量相等，该球冠面的面积rH S π2=，通过整个球面204r S π=的电通量00εq=Φ，所以通过该球冠面的电通量为rH q r rH q S S 02000242εππε==Φ=Φ 习题9-7图（a ）rr r q αεcos 20-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=-=220012)cos 1(2R x xq q εαε解法（二）在图形平面上取一同心面元环，设其中半径为r ，宽为d r ,此面元的面积r r s d 2d π=。

设此面元对A 点的半张角为θ，见图所示，由通量公式可得⎰⎰⎰+=+=⋅=ΦSRRr xrr qxr r r x q S E 02/320220)2(d 2d 2cos 14d επθπε⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=22012R x xqε9-8 通过此半球面的电通量与通过以O 为圆心的圆平面电通量相等，无限大平面外任一点9-9 9-10 半径r ∴ 204rq E iπε∑=当15R cm r <=时，0=∑i q ,∴01=E218R cm r R <=<⎰⎰-===∑rR rR i R r r r V q 11)(34d 4d 3132πρπρρ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=231020313234)(34r R r r R r E ερπεπρ 习题9-7(b)图⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-----22322125)108()106(1081085.83102 14m V 1048.3-⋅⨯= )(34cm 1231322R R q R r i -=∑>=πρ∴ 20313220313233)(4)(34r R R r R R E ερπεπρ-=-=14212335m V 101.412.01085.83)06.01.0(102---⋅⨯=⨯⨯⨯-⨯= 9-11 无限长均匀带电圆柱面产生的电场具有轴对称性，方向垂直柱面，以斜半径r 作一与两无限长圆柱面的同车圆柱面以及两个垂直轴线的平面所形成的闭合面为高斯面，由高斯定理可得∴ （1 （2 ∴ E （39-12 S 0（图中虚线）对称，电场分布也应具有均匀性和对称性，即在与带电板平行且位于中心面S 0两侧距离相等的平面上场强大小应处处相等，且方向垂直该平面。

过板内P 点或板外Q 点作轴线与x 轴平行，两底面积为S 且相对中心面S 0对称的闭合正圆柱面为高斯面，由高斯定理可得： （1）平板内⎰=∑==⋅0022d ερεxS q S E S E i 内 ∴ ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤=2d 0x x E ερ内 方向垂直板面向外习题9-12图（2）平板外⎰==⋅02ερds S E S d E 外∴ ⎪⎭⎫ ⎝⎛≥=220d x d E ερ外方向垂直板面向外。

9-13 由于电荷分布具有轴对称性，故其场强必沿柱体的径向，其大小也具有轴对称性，故在圆柱体内取下同心薄圆筒，其半径为r ，厚度d r ，长l ，见右图示，根据高斯定理可得⎰⎰=⋅Svv S d E d 10ρε()⎰+=rr rl a r rl E 02202d 2)/(112πρεπ∴ 9-14 则原带电荷等价ρ-的对于球心O 处，方向由O ∴ 0303013d 434d ερπεπε===='RR q E E O 方向由O 指向O '。

对于空腔内的任一点P ，位置如图所示。

30330330302143443444rb r R a R r b q R a q E E E περππερππεπε -='+=+= d b a b a 00003)(333ερερερερ=-=-= 习题9-13图习题9-14图以上计算表明空腔任意点的场强大小均为3dερ且方向均由O 指向O '，所以，空腔内为匀强电场。

9-15 电偶极子在均匀电场中所受的力矩为θsin PE M = θ为电矩P与E 两方向间的夹角，当2πθ=时，外电场作用于电偶极子上的力矩最大356max 102100.1100.1--⨯⨯⨯⨯⨯==qEd M m N 100.24⋅⨯=- 9-16 外力所作的功为9-17 （11E的大小为⎰⎰=⋅v S E Sd 1d 01ρε⎰-=ra r e r r e a q r E 02/230021d 4140ππεπ ⎰-=ra r er r e a r q E 02/23201d 0πε习题9-15图2/2020220412240r q e a r a r r q e a r eπεπε+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=- 正电荷e q +在球心，其产生的电场强度2E的大小为2024rq E e πε=则在距球心r 处的总电场强度为21E E E+=，其大小为0/2020220121224a r ee a r a r r q E E E -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-=πεE的方向沿径向向外。

9-189-19 离球心为3022022308)3(4)(214R r R Q R Q r R R Qπεπεπε-=+-=9-20 （1）电荷线密度lq2=λ，坐标如题9-20图(a)所示，距原点O 为x 处取电荷元x q d d λ=，它在P 点的电势)(d 41d 0.x r xu -=λπε∴ P 点的总电势习题9-20图(a)⎰⎰-==-xr xu u lld 41d 0λπεlr lr -+=ln40πελ lr lr lq -+=ln 80πε （2）坐标如题9-20图(b)所示，电荷元x q d d λ=在Q 点的9-21 O 处场强d E =y 分量为d E y ∴ R02πελ=O 处的电势⎰⎰+=+=++=RRRR RRlxxu u u u πππελπελλπελπε00002032142ln 2d 41d 412 0042ln 2ελπελ+=图（b ）习题9-21图9-22 由高斯定理可求得两无限长同轴圆柱面间的场强为r02πελ，所以两圆柱面间的电势差 1200ln 2d 221R R r r u R R πελπελ==∆⎰9-23 静电平衡时，导体球壳内、外表面均有感应电荷，由于带电系统具有球对称性，所以内表面均匀分布有-q 电荷，外表面均匀分布+q 电荷，可判断电场分布具有球对称性，以任意半径r 作一与球壳同心的高斯球面S ，由高斯定理可得⎰∑==⋅024d επi q E r S E 204rq E iπε∑=当R r <1 1<<r R R r ≥2r < 201021R r R <<⎰⎰∞+=22d d 322R rR r E r E u22041d 42R qr rq R ⋅==⎰∞πεπε 2R r >⎰⎰∞∞==r rr r r E u d 41d 2033πεrq 041πε=9-24 （1）内球电荷q 均匀分布在外表面，外球内表面均匀感应电荷-q ，外表面均匀分布电荷q+Q ，由高斯定理可求得电场分布（略） 011=<E R r2022141r q E R r R πε=<<0332=<<E R r R204341r Qq E R r +=>πε（2带有q+Q 球壳电势 （3）若外球壳接地，外球电势为零，外球外表面电荷为零，内球的电荷以及外球内表面电荷分布不变，所以内球的电势⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==212120114d 41R R R R q r r q u πεπε内V 6003.0101.01100.1109109=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯⨯=- 9-25 由于带电系统具有轴对称性，所以电荷分布和电场分布也应具有轴对称，静电平衡时，圆柱形导体电荷均匀分布在其外表面，单位长度电量为1λ，导体圆筒内表面均匀分布有感应电荷，其单位长度的电量为1λ-，外表面电荷均匀分布，单位长度的电量为21λλ+。