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数列通项公式和前n项和求解方法(全)

数列通项公式和前n项和求解方法(全)数列通项公式的求法详解n 的关系.) 例1:根据数列的前4项,写出它的一个通项公式:(1)9,99,999,9999,…(2) ,17164,1093,542,211(3) ,52,21,32,1(4) ,54,43,32,21-- 答案:(1)110-=nna (2);122++=n n n a n (3);12+=n a n(4)1)1(1+⋅-=+n na n n .公式法1:特殊数列例2: 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列,数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列,若函数f (x ) = (x -1)2,且a 1 = f (d -1),a 3 = f (d +1),b 1 = f (q +1),b 3 = f (q -1),求数列{ a n }和{ b n }的通项公式。

答案:a n =a 1+(n -1)d = 2(n -1); b n =b ·q n -1=4·(-2)n -1例3. 等差数列{}na 是递减数列,且432a a a⋅⋅=48,432a a a++=12,则数列的通项公式是( )(A) 122-=n an(B) 42+=n an(C) 122+-=n an(D)102+-=n a n 答案:(D)例4. 已知等比数列{}na 的首项11=a ,公比10<<q ,设数列{}nb 的通项为21+++=n n na a b,求数列{}nb 的通项公式.简析:由题意,321++++=n n n a a b,又{}na 是等比数列,公比为q ∴q a a a a b b n n n n n n =++=+++++21321,故数列{}nb 是等比数列,易得)1()1(1+=⋅+=-q q q q q bn n n.点评:当数列为等差或等比数列时,可直接利用等差或等比数列的通项公式,只需求首项及公差公比. 公式法2: 知ns 利用公式 ⎩⎨⎧≥-==-2,1,11n S S n s an n n.例5:已知下列两数列}{na 的前n 项和s n 的公式,求}{na 的通项公式.(1)13-+=n n Sn. (2)12-=n sn答案:(1)na =3232+-n n,(2)⎩⎨⎧≥-==)2(12)1(0n n n an点评:先分n=1和2≥n 两种情况,然后验证能否统一.【型如)(1n f a a nn +=+的地退关系递推关系】 简析:已知a a =1,)(1n f a a nn =-+,其中f(n)可以是关于n 的一次、二次函数、指数函数、分式函数,求通项na .①若f(n)是关于n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和; ② 若f(n)是关于n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和;③若f(n)是关于n 的二次函数,累加后可分组求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数,累加后可裂项求和各式相加得例5:已知数列6,9,14,21,30,…求此数列的一个通项. 答案:)(52N n n a n∈+=例 6. 若在数列{}na 中,31=a,nn n a a21+=+,求通项na .答案:na =12+n例7.已知数列}{na 满足31=a,)2()1(11≥-+=-n n n a an n,求此数列的通项公式. 答案:nan12-=【 形如1+n a =f (n)·n a 型】(1)当f(n)为常数,即:qaa nn =+1(其中q 是不为0的常数),此时数列为等比数列,na =11-⋅n q a.(2)当f(n)为n 的函数时,用累乘法.例8:在数列{n a }中,1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ,求n a 的表达式. 例9: 已知数列{}na 中,311=a ,前n 项和n S 与na 的关系是 nn a n n S )12(-= ,试求通项公式na . .答案:.)12(12(1-+=n n a n 思考题1:已知1,111->-+=+a n na an n ,求数列{a n }的通项公式.分析:原式化为 ),1(11+=++nn a n a 若令1+=n na b,则问题进一步转化为nn nb b =+1形式,累积得解.构造1:【形如0(,1≠+=+c d ca an n ,其中aa=1)型】 (1)若c=1时,数列{na }为等差数列; (2)若d=0时,数列{na }为等比数列;(3)若01≠≠且d c 时,数列{na }为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法如下:设)(1λλ+=++n n a c a,得λ)1(1-+=+c ca an n ,与题设,1d ca an n +=+比较系数得)0(,1≠-=c c d λ, 所以:)1(11-+=-+-c d a c c d an n,即⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1c d an 构成以11-+c d a为首项,以c 为公比的等比数列.例10:已知数}{na 的递推关系为121+=+n n a a ,且11=a求通项na .答案:12-=n na构造2:相邻项的差为特殊数列 例11:在数列{}na 中,11=a,22=a,n n n a a a313212+=++,求na .提示:变为)(31112n n n n a a a a--=-+++.构造3:倒数为特殊数列【形如sra pa a n n n+=--11】例12: 已知数列{na }中11=a且11+=+n n n a a a(N n ∈),,求数列的通项公式. 答案 nb a n n11==例13:设数列}{nc 的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和,若c 1=2,c 2=4,c 3=7,c 4=12,求通项公式c n解析:设1)1(-+-+=n nbq d n a c建立方程组,解得. 点评:用待定系数法解题时,常先假定通项公式或前n 项和公式为某一多项式,一般地,若数列}{na 为等差数列:则cbn an+=,cnbn s n +=2(b 、c为常数),若数列}{na 为等比数列,则1-=n nAq a,)1,0(≠≠-=q Aq A Aq sn n.例14:(1)数列{na }满足01=a,且)1(2121-=++++-n a a a an n ,求数列{a n }的通项公式. 解析:由题得)1(2121-=++++-n a a a a n n ①2≥n 时,)2(2121-=+++-n a a a n ②由①、②得⎩⎨⎧≥==2,21,0n n an.(2)数列{na }满足11=a,且2121n a a a a n n =⋅⋅- ,求数列{a n }的通项公式(3)已知数列}{na 中,,2121,211+==+n n a a a求通项na .八、【讨论法-了解】(1)若da an n =++1(d 为常数),则数列{na }为“等和数列”,它是一个周期数列,周期为2,其通项分为奇数项和偶数项来讨论.(2)形如)(1n f a an n =⋅+型①若pa an n =⋅+1(p 为常数),则数列{na }为“等积数列”,它是一个周期数列,周期为2,其通项分奇数项和偶数项来讨论;②若f(n)为n 的函数(非常数)时,可通过逐差法得)1(1-=⋅-n f a an n,两式相除后,分奇偶项来分求通项.例15: 数列{na }满足01=a,21=++n n a a,求数列{a n }的通项公式.专题二:数列求和方法详解(六种方法)1、等差数列求和公式:d n n na a a n n 2)1(2)(123-+==+=-2、等比数列求和公式:⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q qa a q q a q na S n n n[例1] 已知3log 1log23-=x ,求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x xx 32的前n 项和.答案xx x s n n --=1)1([例2] 设S n =1+2+3+…+n ,n ∈N *,求1)32()(++=n nSn Sn f 的最大值. 答案n =8时,501)(max =n f方法简介:此法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和,其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和:132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n nx n x x x S ………………………①(1≠x )解析:由题可知,{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n -1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积:设nnx n x x x x xS)12(7531432-+⋅⋅⋅++++=…②①-②得 nn nx n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- (错位相减)再利用等比数列的求和公式得:nn n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=--.∴21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+.试一试1:求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n 前n 项的和.答案: 1224-+-=n nn S方法简介:这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n 个)(1na a +,然后再除以2得解.[例4] 求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值 .答案S =44.5方法简介:有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.一般分两步:①找通向项公式②由通项公式确定如何分组;[例5] 求数列的前n 项和:231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a aa n ,…答案2)13(11nn a a a s n n -+--=-.试一试 1 求11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和.简析:由于与nkk k a =-=⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅)110(91999991111111 个个、分别求和.方法简介:这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项及分母有理化)如:(1))()1(n f n f an-+= ;(2)11++=n n a n =nn -+1;(3)nn n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+;4)111)1(1+-=+=n n n n a n (5))121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n .[例6] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,21,,421,311n n 的前n 项和.[例7] 在数列{a n }中,11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n,又12+⋅=n n na a b,求数列{b n }的前n 项的和.试一试1:已知数列{a n }:)3)(1(8++=n n a n,求前n 项和. 试一试2:1003211321121111+++++++++++ ..方法简介:针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求S n .[例8] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+cos179°的值.答案 0[例9] 数列{a n }:nn n a a a a a a-====++12321,2,3,1,求S 2002.(周期数列)[例10] 在各项均为正数的等比数列中,若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值; 答案 10。

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