pdA p dpdA dG cos dm a
其中， dm dAds
cos dz
ds
a du du ds du u dt ds dt ds
z p u2 C
2g
28
z p u2 C
2g
或
z1
p1
u12 2g
z2
p2 u22
2g
理想液体恒定元流的能量方程
29
二、实际液体恒定元流的能量方程
恒定流的运动要素仅随空间位置变化，不随时间 变化。 例子：库水位不变时，引水隧洞中的水流。
5
2、非恒定流 流场中空间点的运动要素随时间变化的水流。 非恒定流的运动要素是时间和空间的函数。 实际水流严格上讲均为非恒定流。
6
二、流线、迹线 1、迹线 单个液体质点在空间的运动轨迹。 2、流线 某时刻在流场中绘制的一条光滑曲线。曲线上各 点切线的方向代表了同一时刻处于该点处的液体 质点的运动方向。
1、均匀流
流速的大小、方向沿流动方向（空间）都不变 的流动。
明渠均匀流
管道均匀流
31
均匀流特性 ①所有流线为相互平行的直线。
推论：过水断面为平面。 ②同一流线上各点流速相同。
推论：过水断面平均流速沿程不变。 注：不同流线上流速不一定相同。
7
3、流线的基本特性 对恒定流，流线形状不随时间变化，流线与 迹线重合；对非恒定流，流线只具有瞬时性， 流线与迹线不重合。 同一时刻，流场中的各条流线不相交。 流线为光滑的曲线。
8
流线分布的疏密程度反映流速的大小。流线 密的地方则流速大，流线疏的地方流速小。
1
2
9
溢流坝流线
10
三、 微小流束、总流 1、流管 在流场中，通过一个封闭线的周边上所有流线 围成的一个管状曲面。
13
3、总流 总流由无穷多个元流构成。 任何一个实际的水流均为总流。 4、过水断面 与元流或总流流动方向垂直的横断面。 注意：过水断面不一定为平面。只有流线相互平 行时，才为平面。
14
5、流量 单位时间内，通过某一过水断面液体体积。 给定过水断面的流速分布后，可计算断面流量：
Q udA
6、断面平均流速
16
作业： P111 习题 2-1
17
习题 2-1 已知圆管半径 r0 ，断面流速分布
u
umax r02
(r02
r
2
)
计算管道中的流量，过水断
面平均流速。
r0 r
u
18
解： 管道中的流量
Q r0 udA 0
其中，
r0 r
u
umax r02
(r02
r2
)
dA 2rdr
则
Q
2
umax r02
V
Q A
1
A AudA
15
四、一元流、二元流、三元流
按照流动参数和空间坐标数目间的关系，将流 动分为一元（维）、二元（维）和三元（维） 流动。
一元流：运动要素仅随一个坐标变化。
运动要素仅随二个、三个坐标变化的分别为二元 流、三元流 。
实际流多为三元流。为简便，往往根据具体问题 把实际水流简化为二元流甚至是一元流。
单个质点运动规律复杂性，导致数学上研究困难。 从实用出发，水力学中普遍采用欧拉法。
3
二、欧拉法 研究众多液体质点通过固定空间点时，流动参数随 时间变化规律，最后获得整个流场的运动规律。
4
第二节 液体运动基本概念
一、恒定流、非恒定流
根据空间点运动要素是否随时间变化，划分恒定 流与非恒定流。
1、恒定流 流场中各空间点的所有运动要素均不随时间变化 的水流。
dm1 dm2
u1dA1dt u2dA2dt
u1dA1 u2dA2
21
u1dA1 u2dA2
恒定元流的连续性方程
二、恒定总流的连续性方程
u1dA1 u2dA2
A1 u1dA1 A2 u2dA2
V Q 1 udA A AA
A1V1 A2V2 即 Q1 Q2
恒定总流连续性方程
22
1
A1 V1
2
A2 V2
A1V1 A2V2
23
连续性方程的推广： Q1
Q3 Q2
Q3 Q1 Q2
Q2
Q1 Q3
Q1 Q2 Q3
24
作业： P111 思考题 2-2
25
第四节 恒定总流的能量方程
一、理想液体恒定元流的能量方程 在恒定流中，任取一个元流的微元段。
ds dA
dA
2
1
分析微元段受到的各种外力，根据牛顿第二定律， 可以推导出理想液体元流的能量方程。
26
dA
p
ds 1 dG
dA p dp
2
受力分析：
对理想液体，微元段外侧壁内摩擦力不计。
作用在元流微元段上的外力有：过水断面1、2的 动水压力 pdA 、( p dp)dA 、重力 dG 。
27
ds
dA
p
z 1 dG
S
p dp
ds
2
z dz
基准面
沿流程坐标 s 方向列写力平衡方程 ：
dz
水力学
1
第二章 液体运动的流束理论 第一节 描述液体运动的两种方法
流场：液体运动时所占据的整个空间。 水动力学研究主要问题： 流场中的各点的压强、流速等运动要素的变化， 并建立这些运动要素之间的关系，以此来解决工 程中遇到的实际问题。
2
一、拉格朗日法 通过研究单个质点在空间的运动情况，最后获得 整个液体的运动规律。
11
流管性质由流线的性质决定，如下： ① 恒定流的流管形状不随时间改变；非恒定流 时流管形状随时间变化。 ② 液体只能在流管以内或以外运动，不能穿越 流管壁向外或向内流动。 流管是一个无形的但有约束作用的水管。
12
2、微小流束（元流） 流束：由流管包围的一束液流。 微小流束：横截面积无穷小的流束。 微小流束的横断面为微元面，该断面上的水力 要素相同。如某一点的流速就是该面上的平均 流速，对压强，也是这样。
实际液体存在粘滞性，在流动过程中，要克服摩 擦力做功而消耗掉一部分能量，故
写为
z1
p1
u12 2g
z2
p2
u22 2g
z1
p1
u12 2g
z2
p2
u22 2g
hw
其中，hw 单位能量损失（单位重量的液体从断面1 流到断面2过程中的能量损失）。
30
三、均匀流、非均匀流
按流速的大小、方向是否随流动方向变化，区 分均匀流、非均匀流。
r0 0
(r02
r2
)rdr
2
umax r02
r02
r02 2
r04 4
umaxr02
2
u
r
dr o dA
19
管道的断面平均r2
ax 0
2
/ r02
umax 2
20
第三节 恒定总流的连续性方程
一、恒定元流的连续性方程 在恒定流内任取一段元流。
dA2
u2
dA1
u1
结合元流概念，根据质量守恒定律：单位时间 内，进、出流段的液体质量相等，即