第三章 函数极限知识脉络1．函数极限的24个定义，会用定义证明简单函数极限问题； 2. 函数极限的性质，注意与收敛数列性质的区别；3. 函数极限存在的条件，会判断简单函数的极限是否存在；4. 总结求函数极限的方法，掌握每种方法适用的极限问题；5. 会比较无穷小的阶；6. 会求曲线的渐近线. 一、判断题1. 若要使0lim ()x x f x →存在，()f x 在0x 处必须有定义.（ ）2. 若lim ()x f x A →∞=，则lim ()x f x A →∞=，当且仅当0A =时反之也成立.（ ）3. 若A x f x x =→)(lim 0，则)(x f 可表为))(1()(0x x o A x f →+=. （ ）4. 若0lim ()x x f x A →=存在，则()f x 有界.（ ）5. 若在00()U x 内()()f x g x >，0lim ()x x f x →与0lim ()x x g x →都存在，则00lim ()lim ()x x x x f x g x →→>.（ ）6. 若0lim ()x x f x A →=，0lim ()x x g x B →=，A B >，则在某00()U x 内()()f x g x >.（ ）7. 若30lim ()x f x →存在，则3lim ()lim ()x x f x f x →→=.（ ）8. 若20lim ()x f x →存在，则2lim ()lim ()x x f x f x →→=（ ）9.设函数()f x 为定义在00()U x +上的单调有界函数，则0lim ()x x f x →存在.（ ）10.设函数()f x 为定义在00()U x 上的单调函数，则0lim ()x x f x +→存在.（ ） 11.若()f x 为周期函数，且lim ()0x f x →+∞=，则()0f x ≡.（ ）12.任意两个无穷小都可以进行阶的比较.（ ） 13.无穷小量就是很小很小的数.（ ）16.无穷小量都是有界量，有界量也都是无穷小量.（ ） 17.无限个无穷小的和、差仍然是无穷小.（ ）18.若()f x 和()g x 为当0x x →时的同阶无穷小量，则()(())f x O g x =.（ ） 19. 若()(())f x O g x =(0x x →)，则()f x 和()g x 为同阶无穷小量.（ ） 20. 当0→x 时，0)( )()()(>>=++n m x o x o x o nm nm. （ ）二、填空题1．20lim 1cos x x x →=- ；sin sin limx a x a x a →-=- ； 2．0tan 7lim3x x x →= ；2lim tan n n n π→∞= ；3．()220sin limsin x x x→= ；0sin 3limtan 4x xx→= ；4．04lim sin 5x xx →=；0limx +→= _ _________；5.x x x x sin lim+∞→ = ___ _；12sin lim 2+∞→x xx x = ；6.30tan sin limx x x x →-= ；2112lim 11x x x →⎛⎫-= ⎪--⎝⎭ ； 7. lim arctan x x e x →-∞= ；=-+---→231lim22x x x x ； 8.lim 1xx x x →∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭；21lim(1)x x x →∞-=____ __； 9.=+→xx x sec 22)cos 1(lim π；=+-∞→xx xx )1(lim ；10．()()()3100213297lim 31x x x x →∞-+=+ ； 34132lim 43x xx x x →-+=-+ ；11.若30arctan lim sin n x x x x →=0，且0sin lim 01cos n x xx→=-，则正整数n = ； 12．若()1111xx x xe ef x e e ---=+，则()0lim x f x +→= ，()0lim x f x -→= ； 13．01lim sin 0k x x x→=成立k 满足的条件 ；14.若函数21()1x f x x -=-，则()1lim x f x →= ；15.当0x →时， 若 sin 2x 与 ax 是等价无穷小量，则 a = _ _____；16.当0x →时，2ax 与2tan 4x 是等价无穷小量，则 a = _ _____；17.若 22lim22x x ax bx →++=-，则a =___ ______；b =___ ______； 18.若 22lim(1)xx ax e →-=，则a =___ ______；19.当0x →1与2x 为等价无穷小，则a =___ ______；三、选择题1.符号(00)f +的含义是（ ）(A) (0)f (B) 0lim ()x f x → (C) 0lim ()x f x +→ (D) 0lim ()x f x -→ 2.已知极限22l i m ()0x x a x x→∞++=，则常数a 等于（ ）(A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 23.当0→x 时，为无穷小量的是（ ）． (A)x 1sin(B)x x 1sin (C)x x sin(D)x2 4.设函数1()sin f x x x=，则当0x →时，()f x 为（ ） (A) 无界量 (B) 无穷大量 (C) 有界但非无穷小量 (D) 无穷小量 5. 若0lim ()x x f x A →=（A 为常数），则当0x x →时，函数()f x A -是（ ）(A) 无穷大量 (B) 无界，但非无穷大量 (C) 无穷小量 (D) 有界但未必为无穷小量 6. 若0lim ()x x f x →=∞，0lim ()x x g x →=∞，则下式中必定成立的是（ ）(A) 0lim(()())x x f x g x →+=∞ (B) 0lim(()())0x x f x g x →-=(C) 0()lim()x x f x c g x →=≠(D) 0lim ()(0)x x kf x k →=∞≠ 7.下列叙述不正确的是（ ）(A) 无穷大量的倒数是无穷小量 (B) 无穷大量与有界量的乘积是无穷大量 (C) 无穷小量与有界量的乘积是无穷小量 (D)无穷大量与无穷大量的乘积是无穷大量8.)()(lim 0)(lim )(lim,09x g x f x g x f x x x x x x ⋅=∞=→→→，则，若( ) (A) 必为无穷大量 (B) 必为无穷小量 (C) 必为非零常数 (D) 极限值不能确定9.关于下面两个命题结论正确的是（ ）0()""lim ()0lim ()()0 lim0()""lim ()lim ()lim(()())x x x x x x x x x x x x f x a f x g x g x g x b f x g x f x g x →→→→→→=≠=+命题：若，存在，且，则命题：若存在，不存在,则必不存在　()"""" ()""""()"""" ()""""A a bB a bC a bD a b ，都正确正确，不正确不正确，正确，都不正确10.关于下面两个命题结论正确的是（ ）[]00lim ()lim ()lim ()()lim ()lim ()lim ()()x x x x x x x x x x x x f x g x f x g x f x g x f x g x →→→→→→+⋅命题甲：若、都不存在，则必不存在命题乙：若存在，而不存在，则必不存在() ()() ()A B C D 甲、乙都不成立甲成立，乙不成立甲不成立，乙成立甲、乙都成立11.当0x →时，sin (1cos )x x -是3x 的（ ）(A) 同阶无穷小，但不等价 (B) 等价无穷小 (C) 高阶无穷小 (D) 低阶无穷小12.0()limkx f x x →=，10()lim 0k x g x c x +→=≠(0)k >，当0→x 时，无穷小(),()f x g x 的关系是（ ） (A) ()f x 为()g x 的高阶无穷小 (B) ()g x 为()f x 的高阶无穷小 (C) ()f x 为()g x 的同阶无穷小 (D) ()f x 与()g x 比较无肯定结论12.设tan 0()30kx x f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩，且0lim ()x f x →存在，则k 的值为（ ）(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 413.设11cos 0()101xx x x f x x x e -⎧>⎪⎪=⎨+<⎪⎪+⎩，则（ ）(A)0lim ()0x f x →= (B) 0lim ()lim ()x x f x f x +-→→≠ (C) 0lim ()x f x +→存在，0lim ()x f x -→不存在 (D) 0lim ()x f x +→不存在，0lim ()x f x -→存在 14. 设20()10cos 0x e x f x x x x x ⎧->⎪==⎨⎪-<⎩，则0lim ()x f x →（ ）(A) -1 (B) 1 (C)0 (D) 不存在15.已知216lim 51x x ax x→++=-，则a 的值为（ ）(A) 7 (B) -7 (C)2 (D)-216.下列极限计算正确的是（ ）(A)22lim 11n n n x x →∞=+ (B) sin lim 1sin x x x x x →-∞+=- (C)221lim(1)x x e x+→∞+= (D) 311lim 2sin(1)x x x →-=-17设21lim()01x x ax b x →∞+--=+，则常数,a b 的值所组成的数组(,)a b 为（ ） (A) (1,0) (B) (0,1) (C) (1,1) (D) (1,1)-18.已知0cos 1limsin 2x a x x x →-=，则a 的值为（ ）(A) 0 (B) 1 (C)2 (D)-1 19.已知1lim(1)xx kx →+=k 的值为（ ）(A) 1 (B) -1 (C)12(D)2 20.当0x →时，与x 为等价无穷小的是（ ）(A) sin 2x (B)(C) (sin )x x x + (D)2arctan x21. 当1x →时，1211()1x x f x e x --=-的极限是（ ）(A) 2 (B) 0 (C) ∞ (D)不存在但不是无穷大22. 11()sin f x x x=（ 0x <<+∞），则（ ） (A) 当x →+∞时()f x 为无穷小 (B) 当0x →+时()f x 为无穷大 (C) ()f x 有界 (D) 当0x →+时()f x 不是无穷大，但无界 23.当0x →时，下列无穷小量中，最高阶的无穷小是（ ）(A) 2arcsin x (B)1 (C) tan x (D)sin 22sin x x -24.设221()11x x b x f x x a x ⎧++≠⎪=-⎨⎪=⎩， 1lim ()x f x A →=，则下列结论正确的是（ ）(A) 4,3,4a b A ==-= (B)4,4a A ==，b 可以任取 (C) 3,b =-4A =，a 可以任取 (D) ,,a b A 都可以任取25. 设11()sinsin f x x x x x=-， 0lim ()x f x a →=，lim ()x f x b →∞=，则有（ ）(A) 1,1a b =-= (B) 1,1a b =-=- (C) 1,1a b == (D) 1,1a b ==-26. 设()f x 是定义在[,]a b 上的单调增函数，0(,)x a b ∈，则（ ）(A) 0(0)f x -存在，但0(0)f x +不存在 (B) 0(0)f x +存在，但0(0)f x -不存在 (C) 0(0)f x -，0(0)f x +都存在，但0lim ()x x f x →不一定存在 (D) 0lim ()x x f x →存在27.当0x x →时，()f x A -是无穷小是0lim ()x x f x A →=的（ ）(A) 必要非充分条件 (B) 充分非必要条件 (C) 充要条件 (D) 既非充分也非必要条件 28. 当0x x →时，()x α是无穷小量是当0x x →时，()x α是无穷小量的（ ）(A) 必要非充分条件 (B) 充分非必要条件 (C) 充要条件 (D) 既非充分也非必要条件 29. 当0x x →时，(),()x x αβ都是无穷小，当0x x →时，下列各式哪个不一定是无穷小（ ） (A) ()()x x αβ+ (B) 22()()x x αβ+ (C)1 (D) 2()()x x αβ30.已知函数2,()1,f x x ⎧-⎪=-⎨11001x x x ≤--<<≤<，则1lim ()x f x →- 和 0lim ()x f x →( )(A) 都存在 (B) 都不存在(C) 第一个存在，第二个不存在 (D) 第一个不存在，第二个存在31．()11xx x-=+α，()1x =β1x →时有( )(A)α是比β的高阶无穷小 (B)α是比β的低阶无穷小 (C)α与β是同阶无穷小但不等价 (D)~αβ 32．下列极限正确的是（ ）(A) sin lim 1x x x→∞= (B) sin lim sin x x xx x →∞-+不存在(C) 1lim sin 1x x x →∞= (D) lim arctan 2x x π→∞=33. 已知lim()9xx x a x a→∞+=-，则=a ( ) (A)1 (B)∞ (C)3ln (D)3ln 234.曲线2211x x e y e--+=-（ ）(A)没有渐近线 (B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 35.曲线1sin(0)y x x x=>（ ） (A)没有渐近线 (B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线36.曲线2121arctan (1)(2)x x x y e x x ++=--的渐近线有（ ）条(A)1 (B)2 (C)3 (D) 4 四、叙述下列极限精确地分析定义1.lim ()x f x A →∞= 2. 0lim ()x x f x A +→= 3. 0lim ()x x f x +→=+∞ 4. 0lim ()x x f x A →≠ 五、求下列极限 1．1lim 2sin2n n n x -→∞2．xxx 3sin lim0→ 3.0cos 1lim sin x x x x →-4.0csc cot limx x xx →- 5.xx x 2)41(lim -∞→6．sin 32lim sin 23x x x x x →∞+-7．0x → 8．0x → 9.30ta n s in l im x x x x →- 10．321lim 21xx x x →∞+⎛⎫⎪-⎝⎭ 11.3131lim()11x x x →--- 12.123lim ()21x x x x +→∞++ 13.512lim 43-+-∞→x x x x 14.xx x x x -+-→22112lim 15.xx x 10)41(lim -→ 六、利用函数极限的定义证明下列各式1.211)1(lim 21=--→x x x x 2．225lim 11x x x →-∞+=-． 七、（深圳大学06年）证明当0x →时，函数1()sinf x x=没有极限。