数学选修2-3第二章《随机变量及其分布》单元测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分第Ⅰ卷60分，第Ⅱ卷90分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设X~B(n，p)，E(X)=12，D(X)=4，则n，p的值分别为()A.18，B.36，C.36，D.18，2.10张奖劵中只有3张有奖，若5个人购买，每人1张，则至少有1个人中奖的概率为()A. B. C. D.3.设随机变量X等可能地取值1，2，3，…，10.又设随机变量Y=2X-1，则P(Y<6)的值为()A.0.3B.0.5C.0.1D.0.24.在区间(0，1)内随机取一个数x，若A=，B=，则P(B|A)等于()A. B. C.D.5.若离散型随机变量X的分布列为X123P则X的数学期望E(X)=()A. B.2C. D.36.已知某离散型随机变量X的分布列如下表，则随机变量X的方差D(X)等于()X01P m2mA. B. C. D.7.同时抛掷两枚质地均匀的硬币10次，设两枚硬币出现不同面的次数为X，则D(X)=()A. B. C. D.58.已知随机变量ξ服从正态分布N(3，4)，则E(2ξ+1)与D(2ξ+1)的值分别为()A.13，4B.13，8C.7，8D.7，9.盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是的事件为()A.恰有1只是坏的B.4只全是好的C.恰有2只是好的D.至多有2只是坏的10.节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价是每束5元，节日后没卖出的鲜花以每束1.6元的价格处理.根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X的分布列为X200300400500P0.200.350.300.15若进这种鲜花500束，则利润Y的均值是()A.706B.690C.754D.72011.现有甲，乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为;向乙靶射击两次，每次命中的概率为.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击，该射手恰好命中一次的概率为()A. B. C. D.12.一个盒子里装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域为R的函数:f1(x)=x，f2(x)=x2，f3(x)=x3，f4(x)=sin x，f5(x)=cos x，f6(x)=2.现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后不放回，若取到一张记有偶函数的卡片，则停止抽取，否则继续进行，则抽取次数ξ的数学期望为()A. B. C. D.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上)13.一盒子中装有4件产品，其中3件一等品，1件二等品，从中取两次产品，每次任取1件，做不放回抽样.设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，则P(B|A)=.14.在一次商业活动中，某人获利300元的概率为0.6，亏损100元的概率为0.4，此人在这次商业活动中获利的均值是元.15.一射手对靶射击，直到第一次中靶或用光子弹为止.若他每次射击中靶的概率是0.9，他有3颗子弹，则射击结束后剩余子弹的数目X的数学期望E(X)=.16.在某次学校组织的游园活动中，高二(2)班设计了这样一个游戏:在一个纸箱里放进了5个红球和5个白球，这些球除了颜色不同外完全相同，一次性从中摸出5个球，摸到4个或4个以上红球即为中奖，则中奖的概率是.(精确到0.001)三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)甲、乙、丙、丁四名同学被随机地分到A，B，C三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学.(1)求甲、乙两人都被分到A社区的概率;(2)求甲、乙两人不在同一个社区的概率;(3)设随机变量ξ为四名同学中被分到A社区的人数，求ξ的分布列和E(ξ).18.(12分)在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布N(70，100)，已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12人.(1)试问此次参赛学生的总数约为多少人?(2)若成绩在80分以上(含80分)为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约为多少人?19.(12分)袋中有大小相同的四个球，编号分别为1，2，3，4，每次从袋中任取一个球，记下其编号.若所取球的编号为偶数，则把该球编号改为3后放回袋中继续取球;若所取球的编号为奇数，则停止取球.(1)求“第二次取球后才停止取球”的概率;(2)若第一次取到球的编号为偶数，记第二次和第一次取球的编号之和为X，求X的分布列和方差.20.(12分)甲、乙两人各射击1次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响.(1)求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率.(2)若连续2次未击中目标，则中止射击.问:乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少?(3)若甲连续射击5次，用ξ表示甲击中目标的次数，求ξ的均值E(ξ).21.(12分)我国采用的PM2.5的标准为:日均值在35微克/立方米以下的空气质量为一级;在35微克/立方米~75微克/立方米之间的空气质量为二级;在75微克/立方米以上的空气质量为超标.某城市环保部门随机抽取该市m天的PM2.5的日均值，但发现其茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如图D2A-1所示.请据此解答如下问题:图D2A-1(1)求m的值，并分别计算频率分布直方图中的[75，95]和[95，115]这两个矩形的高;(2)通过频率分布直方图估计这m天的PM2.5的日均值的中位数(结果保留分数形式);(3)从这m天的PM2.5的日均值中随机抽取2天，记X表示抽到PM2.5超标的天数，求随机变量X的分布列和数学期望.22.(12分)某菜园要将一批蔬菜用汽车从所在城市甲运至亚运村乙.已知从城市甲到亚运村乙只有两条公路，且运费由菜园承担.若菜园恰能在约定日期(×月×日)将蔬菜送到，则亚运村销售商一次性支付给菜园20万元;若在约定日期前送到，每提前一天，销售商将多支付给菜园1万元;若在约定日期后送到，每迟到一天，销售商将少支付给菜园1万元.为保证蔬菜的新鲜度，汽车只能在约定日期的前两天出发，且只能选择其中的一条公路运送蔬菜，已知下表内的信息不堵车的情况下到达亚运村乙所需时间(天)堵车的情况下到达亚运村乙所需时间(天)堵车的概率运费(万元)公路123 1.6公路2140.8(1)设汽车走公路1时菜园获得的毛利润为X(单位:万元)，求随机变量X 的分布列和数学期望E(X).(2)选择哪条公路运送蔬菜有可能让菜园获得的毛利润更多?(注:毛利润=销售商支付给菜园的费用-运费)数学选修2-3第二章《随机变量及其分布》测试答案1.D[解析]由E(X)=np=12，D(X)=np(1-p)=4，得n=18，p=.2.D[解析]设事件A为“无人中奖”，则P(A)==，则至少有1个人中奖的概率P=1-P(A)=1-=.3.A[解析]由Y=2X-1<6，得X<3.5，∴P(Y<6)=P(X<3.5)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0.3.4.A[解析]P(A)==，∵A∩B=，∴P(AB)==，∴P(B|A)===.5.A[解析]由数学期望的计算公式可得E(X)=1×+2×+3×=.6.B[解析]由m+2m=1得，m=，∴E(X)=0×+1×=，D(X)=0-2×+1-2×=，故选B.7.C[解析]每次抛掷两枚硬币，出现不同面的概率为，10次独立重复试验中，X~B(n，p)，∴D(X)=10××=.8.D[解析]由已知E(ξ)=3，D(ξ)=4，得E(2ξ+1)=2E(ξ)+1=7，D(2ξ+1)=4D(ξ)=16.9.C[解析]X=k表示取出的螺丝钉恰有k只为好的，则P(X=k)=(k=1，2，3，4).∴P(X=1)=，P(X=2)=，P(X=3)=，P(X=4)=，∴选C.10.A[解析]由上表可得E(X)=200×0.20+300×0.35+400×0.30+500×0.15=340，而利润Y=5X+1.6(500-X)-500×2.5=3.4X-450，故E(Y)=3.4E(X)-450=3.4×340-450=706.11.C[解析]恰好命中一次的概率为×1-×1-+1-××1-+1-×1-×=.12.A[解析]由于f2(x)，f5(x)，f6(x)为偶函数，f1(x)，f3(x)，f4(x)为奇函数，所以随机变量ξ可取1，2，3，4.P(ξ=1)==，P(ξ=2)==，P(ξ=3)==，P(ξ=4)==.所以ξ的分布列为ξ1234PE(ξ)=1×+2×+3×+4×=.13.[解析]由条件知，P(A)=，P(AB)==，∴P(B|A)==.14.140[解析]设此人获利为随机变量X，则X的可能取值是300，-100，其概率分布列为X300-100P0.60.4所以E(X)=300×0.6+(-100)×0.4=140.15.1.89[解析]由题意知，X的可能取值是0，1，2，对应的概率分别为P(X=2)=0.9，P(X=1)=0.1×0.9=0.09，P(X=0)=0.13+0.12×0.9=0.01，由此可得数学期望E(X)=2×0.9+1×0.09+0×0.01=1.89.16.0.103[解析]设摸出的红球个数为X，则X服从超几何分布，其中N=10，M=5，n=5，于是中奖的概率P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)=+≈0.103.17.解:(1)记甲、乙两人同时到A社区为事件M，那么P(M)==，即甲、乙两人同时分到A社区的概率是.(2)记甲、乙两人在同一社区为事件E，那么P(E)==，所以，甲、乙两人不在同一社区的概率是P()=1-P(E)=.(3)随机变量ξ的可能取值为1，2.事件“ξ=i(i=1，2)”是指有i个同学到A社区，则P(ξ=2)==，所以P(ξ=1)=1-P(ξ=2)=，ξ的分布列是ξ12P∴E(ξ)=1×+2×=.18.解:(1)设参赛学生的成绩为X，因为X~N(70，100)，所以μ=70，σ=10.则P(X≥90)=P(X≤50)=[1-P(50<X<90)]=[1-P(μ-2σ<X<μ+2σ)]=×(1-0.9544)=0.0228，12÷0.0228≈526.因此，此次参赛学生的总数约为526人.(2)由P(X≥80)=P(X≤60)=[1-P(60<X<80)]=[1-P(μ-σ<X<μ+σ)]=×(1-0.6826)=0.1587，得526×0.1587≈83.因此，此次竞赛成绩为优的学生约为83人.19.解:(1)记“第二次取球后才停止取球”为事件A.易知第一次取到球的编号为偶数的概率为，第二次取球时袋中有三个球的编号为奇数，所以第二次取到球的编号为奇数的概率为，而这两次取球相互独立，所以P(A)=×=.(2)若第一次取到球的编号为2，则第二次取球时袋中有编号为1，3，3，4的四个球;若第一次取到球的编号为4，则第二次取球时袋中有编号为1，2，3，3的四个球.所以X的可能取值为3，5，6，7，所以P(X=3)=×=，P(X=5)=×+×=，P(X=6)=×+×=，P(X=7)=×=，所以X的分布列为X3567P均值E(X)=3×+5×+6×+7×=，方差D(X)=×+×+×+×=.20.解:(1)记“甲射击4次，至少1次未击中目标”为事件A1.根据题意，知射击4次，相当于做了4次独立重复试验，故P(A1)=1-P()=1-=.所以甲射击4次，至少1次未击中目标的概率为.(2)记“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件A2，“乙第i次射击未击中”为事件D i(i=1，2，3，4，5)，则A2=D5D4()，且P(D i)=，由于各事件相互独立，故P(A2)=P(D5)P(D4)P()P()=×××=.所以乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是.(3)根据题意，知ξ服从二项分布，则E(ξ)=5×=.21.解:(1)由茎叶图可知PM2.5的日均值在[15，35]的只有1天，结合频率分布直方图得=0.002 5×20，∴m=20.易知矩形[75，95]的高为=0.0225，矩形[95，115]的高为=0.01.(2)观察两图可知其中位数在矩形[75，95]中间.设中位数为x，则(x-75)×0.0225+20×0.01+20×0.005+20×0.0025=(95-x)×0.0225+20×0.01，解得x=，故中位数为即81.(3)由题意知，这20天中，空气质量为一级的有1天，空气质量为二级的有6天，超标的有13天.X的可能取值为0，1，2，对应的概率分别为P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=2)==，∴随机变量X的分布列为X012P∴数学期望E(X)=1×+2×==.22.解:(1)若汽车走公路1，则不堵车时菜园获得的毛利润X=20-1.6=18.4(万元);堵车时菜园获得的毛利润X=20-1.6-1=17.4(万元).∴汽车走公路1时菜园获得的毛利润X的分布列为X18.417.4P数学期望E(X)=18.4×+17.4×=18.3(万元).(2)设汽车走公路2时菜园获得的毛利润为Y，则不堵车时菜园获得的毛利润Y=20-0.8+1=20.2(万元);堵车时菜园获得的毛利润Y=20-0.8-2=17.2(万元).∴汽车走公路2时菜园获得的毛利润Y的分布列为Y20.217.2P数学期望E(Y)=20.2×+17.2×=18.7(万元).∵E(X)<E(Y)，∴选择公路2运送蔬菜有可能让菜园获得的毛利润更多.。