接测量值，可以预先考虑措施，以减小它们
的影响，为合理选用仪器和实验方法提供依 据。
第三章 数据处理
一、不确定度与测量结果表达 二、有效数字、简算方法与数字取舍规则 三、数据处理方法
一、不确定度与测量结果表达
1：不确定度
测量结果的标准形式
X=xU（单位）
其中x为测量值，或多次测量的算术平均 值；U为不确定度 例如：基本电荷
区间内的概率是68.3%。
值得注意的是，用式（1－7）和式（1－8） 来估算随机误差，理论上都要求测量次数相当多 。但在我们目前的实验中，往往受到教学时间的 限制，重复测量的次数不可能很多，所以，用这 两个式子估算出来的随机误差带有相当程度的近 似性。另外，在测量次数较少时（n<10）， 随着测量次数n 的增加而明显地减小，以后，随 着测量次数n的继续增加， 的减小愈来愈不 明显而逐渐趋近于恒定值。由此可见，过多地增 加测量次数，其价值并不太大。根据我们的实际 情况，如果需要多次重复测量，一般测量次数取 5~10次为宜。
2、对于乘或除的函数关系，函数N的相对误 差 。 σNE建=NN议都·E先是N 计各计算直算出接绝N测的对量相误值对差相误σ对N差。误E差N,再的按“方照和公根式”
误差传递公式除了可以用来估算间接测量值N 的误差以外，还有一个重要的功能，就是可
以用它来分析各直接测量值的误差对最后结
果误差的影响大小。对于那写些影响大的直
3、直接测量量的结果表示
X=X佳UX（单位）
它表示被测量的真值具有一定的概率落 在（X- U，X+ U）区间内
X佳——多次测量=平均值；单次=测量 值
4、间接测量量的结果表示
X=XU（单位）
X——各直接量的X佳按有效数字运算规 则算出
U——各直接量的U 和X佳代入不确定度 计算式算出
5、不确定度的传递
误差计算主要是估算随机误差，泛称为 精度。
4. 绝对误差、相对误差和百分差
(1)绝对误差
:表示测量结果与真值之间的差值以一 定的概率出现的范围，即真值以一定 的概率出现在
(2)相对误差
: 表示绝对误差在整个物理量中所占的
比重，一般用百分比表示。
(3)百分差:
绝对误差、相对误差和百分差通常只取 1～2个数字来表示。
有时会遇到测量对象本身不均匀的情况 。
例如，测量一根钢丝的直径。由于它各 处的直径略有微小差异，以致直径的真值 各处不完全一致，所测得的各处测量值取 其平均值只是反映了钢丝直径的平均大小 。多次测量不可能减小钢丝直径的不均匀 性，所以，计算平均值的误差实属没有必 要。而计算得到的任意一次直径测量值的 标准偏差则反映出钢丝直径的不均匀程度 。
很明显，这样做会导致测量结果误差偏大。 相对误差为
式（1－12）和式（1－13）称为误差的一般传递公式 ，或称为误差算术合成。
2.标准误差的传递公式
若各个独立的直接测量值的绝对误差分 别为标准偏差σA，σB，σC，…，σH 等， 则间接测量值N的误差估算需要用误差的方和 根合成，即绝对误差为
相对误差为
第五章 间接测量值误差的估算——误差 传递公式
1.误差的一般传递公式
2.标准误差的传递公式 间接测量值不可避免地有误差存在，显然，由直接
测量值根据一定的函数关系，经过运算而得到的间接 测量值也必然有误差存在。
怎样来估算间接测量值的误差，实质上是要解决一 个误差传递的问题，即求得估算间接测量值误差的公 式。这种公式称之为误差传递公式。
和计算顺序，力求简明、齐全、有条 理。
国际单位制（SI）基本单位
主要物理量的SI制单位名称及代号
(3)测量可分为两类：
一类是直接测量，如用尺量长度，以表计
时间，天平称质量等；
另一类是间接测量，是根据直接测量得到
的数据，根据一定的公式，通过运算，得 出所需要的结果。例如：
测量方式的不同引起误差研究方式的不同 。
2.误差：测量值与真值的差值
由于△A，△B，△C，…，△H分别相对 于A，B，C，…，H是一个很小的量，将式（ 1－10）中的dA,dB,dC, …,dH用△A，△B， △C，…，△H代替，则
由于上式右端各项分误差的符号正负不定， 为谨慎起见，作最不利情况考虑，认为各项分误 差将累加，因此，将上式右端各项分别取绝对值 相加，即
二、随机误差的高斯分布与标准误差
1.高斯分布的特征与数学表达
随机误差的正态分布曲线
服从高斯分布规律的随机误差具有以下 特征：
(1)对称性：大小相等的正误差和负误差
出现的机会均等，对称分布于真值的两 侧。
(2)抵偿性：当测量次数非常多时，误差
的代数和趋向于零。
概率密度分布函数的数学表达 ：
如果进行单位换算，则只需将10的方幂改变。
例如：
不确定度有效数字位数的取法：不确定 度的首位数对应结果中有效数字的末位 数。
例如：
2.简算方法与数字取舍规则
（1）加减运算： 几个数相加减时，最后 结果的可疑数字与各数值中最先出现的 可疑数字对齐。 例如：
简化为
数字取舍规则：四舍六入五凑偶 1.欲舍去数字的最高位为4或4以下的数，则“舍
1.任意一次测量值的标准偏差
某一次测量xi 的误差 δi是指测量值 xi与真值 Tｘ的差值。
但在实验测量中，有些测量对象的 真值是未知的，误差无法计算。
因而，按照式（１－２） ，标准误
差σ也无从估算。
根据算术平均值是近似值的结论，在实 际估算时可以采用算术平均值代替真值Tｘ ，用各次测量值与算术平均值的差值
去”；若为6或6以上的数，则“入”。 2.被舍去数字的最高位为5时，若前一位数为
奇数，则“入”；若前一位数为偶数，则“舍” 。 这样使得“入”和“舍”的数字服从概率数理统计 规律。 举例如下：
8.0861——8.09
8.0845——8.08
8.0850——8.08
8.0754——8.08
（2）乘除运算：计算结果的有效数字 位数与各数值中有效数字位数最少的一 个相同。
（3）乘方运算：结果的有效位数与其 底数相同。
（4）对数、三角函数和n次方运算：先 计算出不确定度，结果最后一位数字与 不确定度对齐。
三、数据处理方法
列表法 作图法 逐差法 直线拟合法（最小二乘法）——曲
线直线化
1、列表法
注意以下几点：
各栏目都要注明名称和单位。 栏目的顺序应充分注意数据间的联系
以上两式称为标准误差的传递公式或称为 误差的方和根合成。
几种常用的标准公式列于表1－1中，供计算 误差使用。
从表1－1中可见
1、对于和或差的函数关系，函数N的绝对误 差都是直接测量值标准偏差的“方和根”。所以 ， 式建 EN议= σ先N计/N算计出算NN的的绝相对对误误差差σENN。,然后按照公
2.平均值的标准偏差 误差理论证明，平均值的标准偏差为
(1－8)
上式说明，平均值的标准偏差是n次 测量中任意一次测量值标准偏差的 倍 。
小于σx ，这个结果的合理性是显而易 见的。因为算术平均值是测量结果的最 佳值，它比任意一次测量值xi 更接近真 值，误差要小。 的物理意义是，在多次测量的随机误差 遵从高斯分布的条件下，真值处于
(2)随机误差，又称偶然误差：在相同条
件下，对同一物理量进行多次重复测量 ，即使系统误差减小到最小程度之后， 测量值仍然会出现一些难以预料和无法 控制的起伏，而且测量值误差的绝对值 和符号在随机变化。
但是，如果测量次数足够多的话，就会 发现随机误差遵循一定的统计规律，可 用概率理论估算。
(3)过失误差：测量中出现一些错误，如
是一个与实验条件有关的常数，称 为标准误差，其值为 ：
三、近真值——算术平均值
误差理论可以证明，如果对一个物理量测 量了相当多次，算术平均值就是接近真值 的最佳值。
第四章 标准误差的估算——标准偏差
1.任意一次测量值的标准偏差
2.平均值的标准偏差 一个完整的测量结果应该包括测量值和误差两个 部分，计算误差是实验的一个重要环节。标准误差 是误差的重要形式之一。 它又可分为两种： 任意一次测量值的标准偏差 平均值的标准偏差。
1.有效数字的概念、性质和位数
有效数字的定义：数值中的可靠数字与 一位可疑数字统称为有效数字。
可靠数字是从测量工具上的刻度准确读出的。 可疑数字是在测量工具的最小刻度之间估计读出的。 若正好与某刻度对齐，则在估读位上记为“0”。
有效数字的性质：与单位无关。 有效数字的位数：从第一个不是零的数
字开始，到最后一位数字，有几个数字 就称为有几位有效数字。
非零数字中间或数据末尾的“0”是有效 数字。
例如：0.2050m有2、0、5、0总共4位有 效数字。2前面的0只表示小数点的位置 ，不是有效数字。
单位换算过程中有效数字的位数不变。
为避免出错，建议采用科学计数法作为标准形 式，即用10的方幂来表示其数量级，前面为有 效数字，小数点前取一位数字。
误差的种类：按其产生的原因与性质可分
为系统误差、随机误差和过失误差三类。 (1)系统误差：有规律性的，测量结果都大
于或者都小于真值。在测量条件改变时， 也按一定规律在变化。 来源：测量仪器、实验理论和实验方法、 实验者生理或心理特点。
系统误差的消除或减小是实验技能问题，采取 各种措施将它降低到最小程度。
物理实验误差理论
一、测量与误差
1.测量：测量是将代测物与一个作为标准的同类 量进行比较，得出它们之间的倍数关系。
(1)选来作为标准的同类量称为单位。倍数称为 测量数值。
测量值＝测量数值 X 单位
(2)以国际单位制（SI制）为国家法定计量单位 ，以米、千克、安培、开尔文、摩尔和坎德拉
作为基本单位，其他量都由以上七个单位导出， 称为国家单位制的导出单位。