最新一元函数极值的求解方法 (一)、一元函数极值定义
定义1设函数)(x f 在0x 的某个邻域有定义，对于这个邻域之内任一不同于0x 的点x ，如果对0x 该邻域的所有的点,
(1)、都有)()(0x f x f ≥，则称)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，点0x 为函数)(x f 的一个极小值点。

(2)、都有)()(0x f x f ≤，则称)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，点0x 为函数)(x f 的一个极大值点;
极值为极大值和极小值的统称，极值点为极大值点和极小值点的统称。

(二)、一元函数极值的充分必要条件
函数的极值不只在实际具体问题中占有非常重要的地位，还是函数性态的一个重要特征。

1、一元函数极值的必要条件
费马定理告诉我们，若函数f 在点0x 可导，且0x 为f 的极值点，则0)('0=x f 。

这就是说可导函数在点0x 取极值的必要条件是0)('0=x f 。

下面讨论充分条件。

2、极值的第一充分条件
定理1设f 在点0x 处连续，在某一邻域）（δ;U 0x 内可导。

(1)、若当）（00,x x x δ-∈时0)('0≤x f ，当）（δ+∈00,x x x 时0)('0≥x f ，则函
数f 在点0x 取得极小值。

(2)、若当）（00,x x x δ-∈时0)('0≥x f ，当）（δ+∈00,x x x 时0)('0≤x f ，则函
数f 在点0x 取得极大值。

(3)、如果在0x 点的邻域内，)('0x f 不变号，则函数f 在点0x 没有极值，即0x 不是)(x f 的极值点。

则由上表可见：点0=x 为f 的极大值点，极大值为0)0(=f ;点1=x 为f 的极小值点，极大值为3)1(-=f 。

例3 有一个八尺深的方窖在厨房屋角，现要利用窖的两壁拦一角来做一个煤仓形状为长方体，它的容量是288立方尺，问如何做能最省材料。

解 设仓库宽为x 尺(0)x >，长为y 尺(0)y >，则容量是8288xy =，因为0x >，0y >，这是一个关于两个正数的函数问题，且36xy =，两正数之积为一定数，故当x y =时，其和有极值，即6x =，6y = 时，y x +最小。

如果用S 代表所用材料的面积，则()S=8x+y ，当6x =，6y =时，S 最小最省材料。

例4求函数432)(x x x f +=的极值。