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最新高一下学期期中考试数学试卷

一、选择题:本题共12小题,每小题4分,共48分。

每题只有一个选项是最符合题意的。

1.给出下列四种说法,其中错误的是A .-75°是第四象限角B .-225°是第三象限角C .475°是第二象限角D .-315°是第一象限角2.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,则圆弧的半径是A .1B .sin2C .2sin1D .1sin13.在四边形ABCD 中,AB =a +2b ,BC =-4a -3b ,CD =-5a -5b ,那么四边形ABCD 的形状是 A .矩形 B .平行四边形 C .梯形D .以上都不对4.设α是第二象限角,P (x ,4)为其终边上的一点,且cos α=15x ,则x =A .-3B .3C .-4D .45.已知向量a =(1,λ),b =(1,0),c =(8,4).若λ为实数,(a -5b )⊥c ,则λ=A .-2B .2C .5D .86.设α为第二象限角,则|sin cos αα|211sin α-A .1B .tan 2α C .-tan 2αD .-17.设非零向量a 与b 的夹角是23π,且|a |=|a +b |,则22t -a b b 的最小值为A 3B 3C .12D .18.已知曲线C 1:y =cos x ,C 2:y =cos(2x +6π),则下面结论正确的是 A .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移6π个单位长度,得到曲线C 2B .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移12π个单位长度,得到曲线C 2C .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移6π个单位长度,得到曲线C 2 D .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移12π个单位长度,得到曲线C 29.已知△ABC 为等边三角形,AB =2.设点P ,Q 满足AP =λAB ,AQ =(1-λ)AC ,λ∈R .若BQ ·CP =-6,则λ等于 A .-1B .2C .-1或2D .1或-210.将函数y =cos(2x -310π)的图象向右平移10π个单位长度,所得图象对应的函数 A .在区间[54π,32π]上单调递增 B .在区间[34π,π]上单调递减 C .在区间[34π,54π]上单调递增 D .在区间[32π,2π]上单调递减 11.已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A ,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x =23π时, 函数f (x )取得最小值,则下列结论正确的是 A .f (2)<f (π-2)<f (2π) B .f (2π)<f (2)<f (π-2) C .f (π-2)<f (2π)<f (2) D .f (2)<f (2π)<f (π-2)12.对任意两个非零的平面向量α和β,定义αβ=αβββ.若平面向量a ,b 满足|a |≥|b |>0,a 与b 的夹角θ∈(0,6π),且ab 和ba 都在集合{3n |n ∈Z }中,则ab = A .1,53,73B .1,43,83C .2,73,83D .43,73,83二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分。

13.已知∣a,b =(1,2),若a ∥b 且方向相反,则a 的坐标是 . 14.如图所示,在矩形ABCD 中,AB,BC =2,点E 为BC 的中点,点F 在直线CD 上.若AB ·AF =-2,则AE ·BF 的值为 .15.设函数f (x )=cos(6π-ωx )(ω>0).若x =4π时,f (x )取得最大值,则ω的最小值为 .16.函数f (x )=sin(ωx +φ)(ω>0,φ∈[0,2π))的部分图象如图所示,则f (2019)= .三、解答题:本大题共5小题,共56分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)设两向量e 1,e 2满足|e 1||e 2|=2,e 1,e 2的夹角为45°.若向量2t e 1+6e 2与向量e 1+t e 2的夹角为钝角,求实数t 的取值范围.18.(10分)在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知向量a =(2,1),A (1,0),B (cos θ,t ). (1)若a ∥AB ,且|AB |=5|OA |,求向量OB 的坐标. (2)若a ∥AB ,求y =cos 2θ-cos θ+t 2的最小值.19.(12分)函数f (kx )=4sin(kx -3π)+1(k >0)的频率为32π,当x ∈[0,3π]时,方程f (kx )=m 恰有两个不同的解,求实数m 的取值范围.20.(12分)已知A ,B ,C 的坐标分别为A (3,0),B (0,3),C (cos α,sin α),α∈(0,2π). (1)若|AC |=|BC |,求角α的值.AC ·BC =0,求2sin sin cos 22tan αααα++的(2)若值.21.(12分)如图所示,一个览车示意图,该观览车半径为6.8 m ,圆上最低点与地面距离为0.8 m ,60秒转动一圈,图中OA 与地面垂直,以OA 为始边,逆时针转动θ角到OB ,设B 点与地面距离为h .(1)求h 与θ间关系的函数解析式.(2)设从OA 开始转动,经过t 秒到达OB ,求h 与t 间关系的函数解析式.高一数学期中卷答案一、选择题:本大题共12小题,共48分。

13.(-1,-2)14.-215.2316.0三、解答题:本大题共5小题,共56分。

17.(10分)解:由已知得:e 12=2,e 22=4,e 1·e 22×cos45°=2,∴(2t e 1+6e 2)·(e 1+t e 2)=2t e 12+(2t 2+6)e 1·e 2+6t e 22=4t 2+28t +12.……4分欲使夹角为钝角,需t 2+7t +3<0<t .……6分设2t e 1+6e 2=λ(e 1+t e 2)(λ<0),∴26t t λλ⎧⎨⎩==,∴2t 2=6,∴t……8分此时λ=-,即t 2t e 1+6e 2与e 1+t e 2的夹角为π.∴当两向量夹角为钝角时,t 的取值范围是,∪). (10)分 18.(10分)解:(1)∵AB =(cos θ-1,t ),又a ∥AB , ∴2t -cos θ+1=0,∴cos θ-1=2t .①又∵|AB |OA |,∴(cos θ-1)2+t 2=5.② 由①②得:5t 2=5,∴t 2=1.∴t =±1.……3分当t =1时,cos θ=3(舍去);当t =-1时,cos θ=-1, ∴B (-1,-1), ∴OB =(-1,-1).……5分(2)由(1)可知t =cos 12θ-,∴y =cos 2θ-cos θ+2(cos 1)4θ-,……6分=54cos 2θ-32cos θ+14=54(cos 2θ-65cos θ)+14=54(cos θ-35)2-15,……8分∴当cos θ=35时,y min =-15.……10分19.(12分)解:∵由已知可得函数f (kx )=4sin(kx -3π)+1的周期为23π, 又k >0, ∴k =3, 令t =3x -3π,∵x ∈[0,3π],∴t ∈[-3π,23π],……4分如图,sin t =s 在[-3π,23π]上有两个不同的解,则s 31),……10分∴方程f (kx )=m 在x ∈[0,3π]时恰好有两个不同的解, 则m ∈[31,5),即实数m 的取值范围是[31,5).……12分20.(12分)解:(1)∵AC =(cos α-3,sin α),BC =(cos α,sin α-3),∴AC 2=(cos α-3)2+sin 2α=10-6cos α,BC 2=cos 2α+(sin α-3)2=10-6sin α,……4分由|AC |=|BC |,可得:AC 2=BC 2,即10-6cos α=10-6sin α,得:sin α=cos α. 又α∈(0,2π),∴α=4π或54π.……6分(2)由AC ·BC =0,得:(cos α-3)cos α+sin α(sin α-3)=0,∴sin α+cos α=13.又2sin sin cos 22tan αααα++=2sin sin cos 2sin 2cos ααααα++=12sin αcos α,……9分由sin α+cos α=13两边分别平方,得:1+2sin αcos α=19,∴sin αcos α=-49,∴2sin sin cos 2tan αααα++=-29.……12分21.(12分)解:(1)由题意可作图,过点O 作地面平行线ON ,过点B 作ON 的垂线BM 交ON 于M 点. 当θ>2π时,∠BOM =θ-2π.h =|OA |+0.8+|BM |=7.6+6.8sin(θ-2π);当0≤θ≤2π时,上述解析式也适合.……8分(2)点A 在⊙O 上逆时针运动的角速度是30π, ∴t 秒转过的弧度数为30πt , ∴h =6.8sin(30πt -2π)+7.6,t ∈[0,+∞).……12分。

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