独立性 设 A1, A2, · · · , An 是 n(n ≤ 2) 个事件，如果对于其中任意 k(2 ≤ k ≤ n) 个事
件的积事件的概率都等于各事件概率之积，则称事件 A1, A2, · · · , An 相互独立。
2 随机变量及其分布
随机变量 设随机试验的样本空间为 S = e，X = X(e) 是定义在样本空间 S 上的实值 单值函数，称 XX(e) 为随机变量。
pk
满足
pk
≥
0，
0-1 分布
P (k = 0) = 1 − p P (k = 1) = p
二项分布 泊松分布
X ∼ b(n, p) ()
P (X = k) = n pk(1 − p)n−k k
X ∼ π(λ)
2 随机变量及其分布
3
λk e−k
P (X = k) =
k!
np
=
λ时
lim
() n pk(1 − p)n−k
F (x, y) = P X ≤ x, Y ≤ y
二维离散型随机变量 如果二维随机变量 (X, Y ) 全部可能取到的不相同的值是有限对 或可列无限多对，则称 (X, Y ) 是离散型的随机变量．
P (X = xi, Y = yj) = Pij
pij 称之为二维离散型随机变量 (X, Y ) 的分布律，或随机变量 X 和 Y 的联合分布律。
离散型随机变量 某些随机变量 X 的所有可能取值是有限多个或可列无限多个, 这种
随机变量称为离散型随机变量。
离散型随机变量的分布律设 xk(k = 1, 2, · · · ) 是离散型随机变量 X 所取的一切可能值，
其概率为 P (X
∑∞
k=1
pk
=
1。
=
k)
=
pk，称上式为离散型随机变量
X
的分布律。其中
概率、数理统计与随机过程知识点整理
王盛业 2012 年 1 月 10 日
1 基本概念
随机试验 1、可以在相同的条件下重复地进行；2、每次试验的可能结果不止一个，
并且能事先明确试验的所有可能结果；3、进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现．
我们称之为随机试验。用 E 表示随机试验。
样本空间随机试验 E 的所有可能结果组成的集合称为 E 样本空间，记为 S。
1
2 随机变量及其分布
2
等可能概型 (古典概型) (1) 试验的样本空间只包含有限个元素；(2) 试验中每个基本 事件发生的可能性相同。
条件概率 记事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率为 P (B|A)，则
P (AB) P (A|B) =
P (B)
乘法定理
P (AB) = P (B) · P (A|B)
样本点样本空间的元素，即 E 的每个结果，称为样本点。
随机事件称试验 E 的样本空间 S 的子集为 E 的随机事件，简称事件。
事件发生在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发
生。
基本事件由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。(相对于观察目的不可再分解
的事件)
必然事件样本空间 S 包含所有的样本点，在每次试验中它总是发生的，称为必然事
fX[h(y)]|h′(y)|, α < y < β fY (y) = 0, 其他
其中 α = min{g(−∞), g(∞)}, β = max{g(−∞), g(∞)}，x = h(y) 是 y = g(x) 的反函数。
3 多维随机变量及其分布
4
3 多维随机变量及其分布
二维随机变量 随机试验的样本空间为 S = e，X = X(e) 和 Y = Y (e) 是定义在样本 空间 S 上的随机变量，由它们构成的向量 (X, Y ) 叫做二维随机向量或二维随机变量。
全概率公式 设试验 E 的样本空间为 S，A 为 E 的事件，B1, B2, · · · , Bn 为 S 的一个 划分，且 P (Bi) > 0 ，则
P (A) = P (B1)P (A|B1) + P (B2)P (A|B2) + · · · + P (Bn)P (A|Bn)
贝叶斯公式
P (Bi|A) = ∑njP=1(BP i()B|Pj)(|AP|(BAi|)Bj)
fn(A)
=
nA 。
n
频率的三个基本性质
0 ≤ f (A) ≤ 1
f (S) = 1
设 A1, A2, · · · , Ak 两两互斥，则f (A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Ak) = f (A1) + f (A2) + · · · + f (Ak)
概率 设 E 是随机试验，S 是它的样本空间．对于 E 的每一事件 A 赋于一个实数， 记为 P (A)。如果集合函数 P (·) 满足非负性、规范性、可列可加性，则称 P (A) 为事件 A 的概率.
=
λk e−k
n→∞ k
k!
分布函数 设 X 是一个随机变量，x 是任意实数，称 F (x) = P X ≤ x 为 X 的分布函
数。
连续型随机变量的概率密度 对于随机变量 X 的分布函数 F (x), 存在非负函数 f (x)，
使对于任意实数
x
有
F (x)
=
∫x
∞
f (t)dt，则称
X
为连续型随机变量,
称
f (x)
为
X
的概率
密度函数，简称为概率密度。
均匀分布
X ∼ U (a, b)

f
(x)
=

1 b−a
,
a
<
0, 其他
x
<
b
指数分布

f (x)
=

1 θ
e−x/θ
,
பைடு நூலகம்
0, 其他
x
>
0
1 − e−x/θ, x > 0 F (x) = P (X ≤ x) = 0, 其他
正态分布
X ∼ N (µ, σ2)
件。
不可能事件空集 ∅，不包含任何样本点，在每次试验中它总是不发生，称为不可能事
件。
事件间的运算定律 1、交换律；2、结合律；3、分配律；4、德摩根律（对偶律）。
频率在相同的条件下，进行了 n 次试验，在这 n 次试验中，事件 A 发生的次数 nA
称为事件
A
发生的频数．比值
nA/n
称为事件
A
发生的频率，并记成
f (x) = √ 1
e−
(x−µ)2 2σ2
2πσ
随机变量函数的分布对于连续型随机变量，在求 Y = g(X) 的分布时，关键的一步
是把事件 {g(X) ≤ y} 转化为 X 在一定范围内取值的形式，从而可以利用 X 的分布来求
P {g(X) ≤ y}。
设随机变量 X 具有概率密度 fX(x), −∞ < x < ∞，又设函数 g(x) 处处可导且恒有 g′(x) > 0(或恒有 g′(x) < 0，则 Y = g(X) 是连续型随机变量，其概率密度为