车灯线光源的优化设计杜琳琳 贺思三 伍微摘要通过对照度和光强关系的分析，阐释了求解出测试屏上任意点照度的理论可行性，并将模型转化为：max E(L)s.t ⎩⎨⎧=≡)2/)(),(min()()(0K L E L E L E P L P B C其中， 0P 为某一定值；)(L E C 指线源长度为L 时，C 点的照度；)(L E B 指线源长度为L 时，B 点的照度；K 为某一定值，其物理意义详见报告正文中（2）式。
根据照度平方反比定律，可以得出每一点照度的微元表达式。
理论上，可以利用积分得出屏上各点的照度，具体数值求解时，用特定剖分下的有限和来近似，再根据叠加原理算出线源整体在屏上各点的照度。
对线源长度L 进行搜索，直至满足目标函数。
随着抛物面网格细化和线源分段间隔加密的精细化，最优线源长度L 0的数值结果应趋近于其理论值。
搜索出L 0后，将测试屏划分为5cm ×5cm 的小方格（小方格内部各点照度相同），依据叠加原求出各小方格的照度，并由此画出发射光的亮区。
结果如下：1．最优线源长度L 0为4.1mm 。
由最优光源长度的搜索算法得到光源长度与抛物面网格细化和线源分段间隔加密的精度有关。
2．反射光亮区图形参见报告正文中图9。
为了切合实际，我们还作出了双车灯时的反射光亮区。
最后用3DS MAX 仿真了单车灯时的反射光亮区。
对设计规范合理性的讨论中，兼顾了测试屏位置、测试点位置和约束条件的合理性，并针对近光、远光的不同特点，从“良好的照明”和“不眩目”两个方面给出了若干合理的约束规则。
安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方, 其开口半径36毫米，深度21.6毫米。
经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。
要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。
该设计规范在简化后可描述如下。
在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏，屏与FA垂直，用以测试车灯的反射光。
在屏上过A点引出一条与地面相平行的直线，在该直线A点的同侧取B点和C点，使AC=2AB=2.6米。
要求C 点的光强度不小于某一额定值（可取为1个单位），B点的光强度不小于该额定值的两倍（只须考虑一次反射）。
请解决下列问题：（1）在满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使线光源的功率最小。
（2）对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。
（3）讨论该设计规范的合理性。
模型假设1．不考虑线光源的横截面积；2．线光源上的功率均匀分布。
3．均分线光源足够细密时，每一小段线源可看作空间各方向均匀辐射的点源；4．只考虑光的直接照射和一次反射，不考虑二次及其以上的反射；5．车灯反射面绝对光滑，不存在漫反射；6．测试屏无限大，光源发出的所有光线直接照射或经过反射最后落在测试屏上；7．光沿直线传播，不考虑衍射、干涉等现象；术语、符号说明基本术语：光通量发光体每秒钟所发出的光量之总和，记为φ；发光强度发光体在特定方向单位立体角内所发射的光通量，简称为光强，记为I；照度发光体照射在被照物体单位面积上的光通量，记为E；配光照明灯具在空间各方向上的发光强度；前照灯线光源与抛物面镜组成的整体。
符号：P0线光源的总功率；L 线光源的长度，0<=L<=60mm；E0 照度的额定值，对应于光强的额定值。
照度与光强的关系厘米量级的前照灯相对于25米外的屏而言，可看作一个点源D 。
以D 为原点建立球坐标系（如下图），设前照灯的配光特性为I(θ,φ)。
根据照度的平方反比定律[1]，可得屏上任一点Uθϕθcos ),(2rI E =（1）可见，U U I E ||∝ 图1 照度与光强的关系示意图即屏上任意定点处的照度与光强成正比。
又由（1）式，C BcC C B B B CBI I KrI r I E E ==22/cos )0,(/cos )0,(θθθθ （2）其中，)1,(10122.1)(/cos /cos 322≈→≈===K r r r r rr K B C BC CC B B 时当θθ可见，当B C r r →时，任意定点处的照度与光强近似成正比.模型建立目标函数由题意，易写出目标函数如下：min P(L)s.t ⎩⎨⎧≥≥002)()(I L I I L I B C （3）where ，0I 为C 点光强额定值。
（1）、（2）式代入（3）式，可得（3）式的等价表达式如下：min P(L)s.t ⎩⎨⎧≥≥002)()(KE L E E L E B C （4）where ，C 点照度额定值C Cr I E θcos 200=对（4）式作等价变形，得：max E(L)s.t ⎩⎨⎧=≡)2/)(),(min()()(0K L E L E L E P L P B C （5）屏上任意点照度的计算由假设2、3，考虑线源上的微元dL 均匀辐射，则： 根据式（1），微元dL 直接照射到屏上的照度为：dE=dLL P r ⋅⋅⋅π41250003（6）微元dL 经一次反射后照射到屏上的照度为：dE=d dsr ds ds P dLLφθπ=⋅⋅⋅cos ''214 （7）(式（7）详细推导参见附录)模型求解1．最优光源长度的搜索算法算法思路：将抛物面网格化，线光源均匀分段，各段光源视为空间各方向均匀辐射的点源，根据式（6）、（7）算出点源在屏上各点的照度，然后根据叠加原理算出线源整体在屏上各点的照度。
对线源长度L 进行搜索，直至满足目标函数（5）式。
抛物面网格化：用平行于口径面的等距离平面将抛物面分为m份，用过中轴的等夹角平面将抛物面分为n份，每份对应的角度为360/n。
则整个抛物面被分为m×n个网格小面元。
效果如下图所示：图2 抛物面网格化示意图符号标记：M 对线源长度搜索的总次数；i 第i次对线源长度进行搜索，i=1,2,…,M；L i 第i次搜索时给定的线源长度；ΔL 第i+1次搜索与第i次搜索相比，线源长度的增量；Ni 第i次搜索时均分线源的段数；j 线源L i的第j段，j=1,2,…,Ni；Δd i第i次搜索时的分段间隔，Δd i×Ni = L i ；编程时，搜索线源长度时，使其线性递增，故ΔL与i无关,取为某一定值；分段间隔Δd i可取某一与i无关的定值，即Δd i=Δd。
图3 线光源均匀分段示意图（F为抛物面焦点）光源长度搜索算法：step1：数据初始化。
给定光源总功率P=1，i=1；线源总长初值L1=0.2mm，线源步进增量ΔL=0.2mm，分段间隔Δd=0.1mm，搜索总次数M=L i|max÷(ΔL/2)=60/0.1=600,并将抛物面分割为m×n的网格，记下网格顶点数据；step2：将线源分成Ni= L i÷Δd段，把每一段都看作点源，并编号j=1,2,…,Ni；step3：j=1；step4：根据反射定律，计算出点源j所发出的光线经每个网格顶点反射后落在屏上的对应点（注：反射镜面取该点理论切平面，并非网格平面，如下图4；具体方法参见附录），求得每个网格面元在屏上的映射面元。
图4 网格映射step5：依据照度的平方反比定律和每个映射面元内光通量均分的原则，遍历网格，求得屏上B、C两点的照度E B(j)|i，E C(j)|i；step6：if j=N then go on；else j=j+1；goto step4；step7：利用叠加原理，求得屏上B点的照度E B|i =[∑E B(j)]|i。
C点类似；step8：if i=M then go on；else i=i+1；goto step2；step9：记额定照度OL|i=min(E B/2K，E C)|i 。
若OL|i0 = max(OL|i)，则i0对应的光源长度L0即为最优值。
2．亮区求解算法按照上面的方法划分抛物面，并将测试屏划分为5cm×5cm的小方格（小方格内部各点照度相同）。
计算每一小格的照度，具体算法：step1：光源长度取L0, 线源细化精度为ΔL/2=0.1mm，屏上所有小格的照度为零；step2：将线源分成Ni= L0÷Δd段，把每一段都看作点源，并编号j=1,2,…,Ni；step3：j=1；step4：遍历网格，计算点源j发射的光线在抛物面的每个网格面元中心点反射后落在屏上的位置和该点的照度；step5：利用叠加原理，求出各个小方格内的照度E(x,y)|j；step6：if j=N then go on；else j=j+1；goto step4；step7：屏上各点照度为：E(x,y) =[∑E(x,y)]|j，即为所求。
结果及分析光源长度采用先粗搜，后细化的策略：1．线源均匀分段间隔取为0.1mm，搜索范围0～60mm，抛物面21×36、42×72、84×144、168×288、336×576网格化；2．线源均匀分段间隔取为0.05mm，搜索范围0～60mm，重复1.中网格化的工作；3．线源均匀分段间隔取为0.01mm，搜索范围0～6mm（由1、2的搜索结果缩小搜索范围），重复1.中网格化的工作；随着抛物面网格细化和线源分段间隔的加密，求得线源的最佳长度L0见下表1：（单位mm）注：“—”表示未算。
表1 不同细化精度下线源长度的最佳值由表1可见，随着抛物面网格的细化，L0有减小的趋势；随着线源分段间隔的加密，L0有增大的趋势。
相对而言，网格细化精度对L0的影响更大。
我们取最佳长度为4.1mm。
不同搜索精度下B、C两点相对照度如图5、6所示：图5 不同线源长度对应的B、C两点的相对照度（线源均匀分段间隔取为0.01mm）图6 不同线源长度对应的B、C两点的相对照度（线源均匀分段间隔取为0.01mm）由图5、图6可知，线源长度很短时，B 、C 点照度几乎为0；随着线源长度的增加，B 、C 点照度都是先增大，后减小；且B 点照度的峰值先出现，C 点照度的峰值后出现。
定性分析亦可得出相同的结论。
1、线光源的长度趋近于零时，相当于位于焦点处的点光源，此时反射光平行射出，测试屏上的亮区面积等于反射面的口径面积。
B 点和C 点都没2、随着光源长度增加，亮区面积逐渐扩大，先覆盖B 点，后覆盖C 点。
长度每增加一点，就会产生新的亮区。
光源长度从零开始增加时， 亮区最远照射点到中心的距离从36mm 逐渐增加，如下图7(b)、7(c)：图7 B 、C 点照度随线源长度变化而变化趋势的定性分析亮区示意图根据亮区求解算法画出的亮区如下图8、图9所示：图8 不同细化精度下的亮区图9 在有标尺的坐标系中测试屏上反射光的亮区（网格细化为168×288）由上图可以看出反射光亮区特性如下：在屏上反射光的亮度从中心向四周渐渐减小；亮区关于X轴、Y轴对称；亮区在X=0附近内凹；亮区呈条带状分布；X的范围为[ -3.65,3.65]，亮区水平方向长为7.30米；Y的范围为[-0.95,0.95 ]，亮区竖直方向最长为1.90米；X=0处Y的范围是[0.75,0.75 ]，竖直方向最长为1.50米。