第七讲 多元函数偏导数与最值问题
一、多元函数偏导数（抽象函数、隐函数、方程组）
例1．设函数(,,)f x y z 是k 次齐次函数，即(,,)(,,)k
f tx ty tz t f x y z =，k 为某一常数，求证：(,,)f f f x
y z kf x y z x y z
¶¶¶++=¶¶¶． 证明：令,
,u tx v ty w tz ===，则(,,)(,,)k f tx ty tz t f x y z =化为
(,,)(,,)k f u v w t f x y z =，
上式两边对t 求导得
1(,,)k f u f v f w kt f x y z u t v t w t -¶¶¶¶¶¶++=¶¶¶¶¶¶， 又 ,u v w
x y z t t t ¶¶¶===¶¶¶
有 1(,,)k f f f x y z kt f x y z u v w -¶¶¶++=¶¶¶
上式两边同乘以t ，得
(,,)k f f f tx ty tz kt f x y z u v w ¶¶¶++=¶¶¶ 即有 (,,)f f f
u v w kf u v w u v w
¶¶¶++=¶¶¶
于是得 (,,)f f f
x
y z kf x y z x y z
¶¶¶++=¶¶¶． 例2．设(,,)u f x y z =，2(,,)0y x e z j =，sin y x =，其中,f j 具有一阶连续偏导数，且
0x j ¶¹¶，求du dx
． 解：这是有显函数，隐函数构成的复合函数的求导问题，见复合关系图：
有复合关系，有
x y z du u u dy u dz dy dz f f f dx x y dx z dx dx dx
¶¶¶¢¢¢=++=++¶¶¶ x
y
z
x
y
x
u
U
n R
e g
i s
t e
r e
d
由2(,,)0y
x e z j =两边对x 求导，得
12320y dy dz
x e dx dx
j j j ¢¢¢++=g g ，
又
cos dy
x dx
=，代入上式得 1231(2cos )y dz x e x dx j j j ¢¢=-+¢
g
于是
123cos (2cos )y z x y f du f f x x e x dx j j j ¢¢¢¢¢=+-+¢
g ． 例3．已知函数(,)u v x y =，满足方程
2222
()0u u u u
a x y x y
¶¶¶¶-++=¶¶¶¶ （1）试选择参数a ，b ，利用变量(,)(,)x y u x y v x y e a b +=，将原方程变形使得新方程中不
含一阶偏导数项；
（2）再令x y x =+，x y h =-，使新方程变换形式 解：（1）
()x y x y x y u v v e v e v e x x x
a b a b a b a a +++¶¶¶=+=+¶¶¶ 2222()()x y x y u v v v
e v e x x x x
a b a b a a a ++¶¶¶¶=+++¶¶¶¶ 222(2)x y v v
v e x x
a b a a +¶¶=++¶¶， ()x y u v
v e y y
a b b +¶¶=+¶¶， 22222(2)x y
u v v v e y y y
a b b b +¶¶¶=++¶¶¶ 将上述式子代入已知方程中，消去x y
e
a b +变得到
222222
(2)(2)()0u u v v a a a a v x y x y
a b a b a b ¶¶¶¶-+++-++-++=¶¶¶¶， U
n R
e g
i s
t e
r e
d
由题意，令2020a a a b +=ìí-+=î，解出2
2
a a
a b ì=-ïïíï=ïî，
故原方程为 2222
0u u
x y ¶¶-=¶¶．
（2）令x y x =+，x y h =-，则
v v v v v x x x x h x h x h
¶¶¶¶¶¶¶=+=+¶¶¶¶¶¶¶， v v v v v
y y y x h x h x h
¶¶¶¶¶¶¶=+=-¶¶¶¶¶¶¶ 22222222v v v v v x x x x x
x h x h x x h x h h ¶¶¶¶¶¶¶¶¶=+++¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶ 22222
2v v v
x x h h ¶¶¶=++¶¶¶¶ 同理 22222
22v v v v y x x h h
¶¶¶¶=-+¶¶¶¶¶ 将上面式子代入22220u u
x y
¶¶-=¶¶中得到
20v
x h
¶=¶¶． 二、求闭区域上连续函数的最值 （1）先求开区域内的最值，（2）再求区域边界上最值，这是由一元函数或拉格朗日乘数法求出．
例4．求函数2
2
(,)49z f x y x y ==++在闭区域{
}
2
2
(,)4D x y x y =+£上最大值和最小值．
解：先求(,)f x y 在区域D 内部的驻点，由
(,)0x f x y ¢=，(,)0y f x y ¢=
得到驻点(0,0)对应的函数值(0,0)9f =，
U
n R
e g
i s
t e
r e
d
再考虑函数(,)f x y 在区域D 边界22
4x y +=上的情形，
方法1：讨论2
2
(,)49f x y x y =++在约束条件2
2
4x y +=下条件极值， 令 2
2
2
2
(,)49(4)F x y x y x y l =++++- 求导，得
2222082040F
x x x F
y y y F
x y l l l
ì¶=+=ï¶ï¶ï=+=í¶ïï¶=+-=ï¶î， 解方程组，得0x =，2y =±，4l =-或2x =±，0y =，1l =-，
求出函数值(0,2)25f =，(0,2)25f -=，(2,0)13f =，(2,0)13f -=， 比较得(,)f x y 在闭区域D 上最大值
{}max (0,0),(0,2),(2,0)25M f f f =±±=，
最小值(0,0)9m f ==．
方法2：将条件22
4x y +=写成参数形式2cos x t =，2sin y t =代入(,)f x y 中，
22()(2cos ,2sin )4cos 16sin 9t f t t t t j ==++
求导，得 ()8cos sin 32sin cos 24sin cos t t t t t t t j ¢=-+=
令()0t j ¢=，得到0t =，2t p =
，则(0)13j =，(252
p
j =， 因为()t j 是周期函数，所以只讨论0t =，2
t p
=就可以了，结论同上．
U
n R
e g
i s
t e
r e
d。