2、交互模型 MODEL y=a b c a*b a*c b*c a*b*c;
3、嵌套效应 MODEL y=a b c(a b);
4、混合效应模型号 MODEL y=a b(a) c(a) b*c(a);
22
例：1、单因素方差分析
某劳动卫生组织研究棉布、府绸、的确凉、尼龙四种衣料内棉花吸附十 硼氢量。每种衣料做五次测量，所得数据如下。试检验各种衣料见棉花吸 附十硼氢量有没有显著差别？
(3 1) 2 28.38
QE
1114.7
(3(6 1))
5
15
列表：
方差来源 因素A 试验误差 总误差
离差平方和 4217.3 1114.7 5332
自由度 2 15 17
F值 28.38
F0.05 F0.01 显著性 3.68 6.38 **(十分显著）
说明： F F (2,15) ，说明酸液浓度对汗布冲击强力有十分显著的影响。
计判断，得出结论。
5
方差分析的基本思想：把全部数据关于总均值的离差平方和 分解成几部分，每一部分表示某因素诸水平交互作用所产生 的效应，将各部分均方与误差均方相比较，从而确认或否认 某些因素或交互作用的重要性。
用公式概括为：
各因素引起
由个体差异 引起（误差）
总变异=组间变异+组内变异
种类：常用方差分析法有以下4种 1、完全随机设计资料的方差分析（单因素方差分析） 2、随机区组设计资料的方差分析（二因素方差分析） 3、拉丁方设计资料的方差分析（三因素方差分析） 4、R*C析因设计资料的方差分析（有交互因素方差分析）
QA
1 l
m i 1
Ti.2
T2 ml
QB
FB
(l 1) QE
F (l 1, (m 1)(l 1))
(m 1)(l 1)
QB
1 m
l j 1
T.
2 j
T2 ml
3）给定显著水平 ，查表得临界值 F (m 1, (m 1)(l 1)) QE Q QA QB
4）由样本观察值计算FA、FB
5）若 FA F (m 1, (,1)(l 1)) 时，接受H0，因素的影响不显著。 若 FA F (m 1, (,1)(l 1)) 时，拒绝H0。 对因素B同理说明。
17)
-22
-2 5 1 -11
5 6 Ti
1 -20 -80 14 7 14
6
X
'2 i
j 1
1454 396
A3
20 31 19 12 35 27 144 3820
由表中数据可算出
36
X '2 ij
5670
i1 j 1
36
3
T
X
' ij
Ti 78
i1 j 1
i 1
3
Ti2 27332
QE
2
2 (m(n 1))
QA
2
2 (m 1)
相互独立
10
方法：（检验方法）
（1）当H0：1=2=…=m 成立时。
（2）统计量： QA
2
F (m 1) F (m 1, m(n 1)) QE
2
m(n 1)
QA
即：
F
(m 1) QE
F (m 1, m(n 1))
[m(n 1)]
11
（3）给定显著性水平 ，查表得临界值 F (m 1, m(n 1))
（4）由样本观察值计算出F （5）若F > F (m 1, m(n 1)) ，则拒绝H0。 （说明因素A各水平间有显著性差异）
（6）若F F (m 1, m(n 1)) ，则接受H0。（说明因素A各水平间无显著性差异）
三、计算的简化
1、 对Q、QE、QA计算简化。（给出一个简化的计算公式和数据简化的方法）
例如：某厂对生产的高速钢铣刀进行淬火工艺试验，考察回火温度A和淬火温度B两 个因素对强度的影响。今对两个因素各3个水平进行试验，得平均硬度见表：
试验结果 Bj
Ai A1（280’C）
B1（1210‘C）B2（1235’C）B3（1250‘C）
64
66
68
A2（300‘C）
66
68
67
A3（320’C） 65
19
方差分析表：
方差来源 因素A 因素B 试验误差 总误差
离差平方和 自由度
1.56
2
11.56
2
3.1
4
16.22
8
F值 FA=1.01 FB=7.46
F0.05(2,4) F0.01(2,4) 显著性
6.94
18.0
6.94
18.0
*
3
Q
i 1
3 j 1
X
2 ij
T2 33
16.22
QA
A1
16.2 15.1 15.8 14.8 17.1 15.0
A2
16.8 17.5 17.1 15.9 18.4 17.7
A3
19.0 20.1 18.9 18.2 20.5 19.7
方差分析就是把总的 试验数据的波动分成
1、反映因素水平改变引起的波动。 然后加以比较进行统
2、反映随机因素所引起的波动。
i1
j 1
i1
9
故：
mn
mn
Q
( X ij X i )2
(Xi X )2
i 1 j 1
i 1 j 1
mn
m
( X ij X i )2 n ( X i X )2
i1 j 1
i 1
下面通过比较QE和QA来检验假设H0。 在假设H0成立的条件下，可以证明：
Q
2
2 (mn 1)
1 3
3
Ti.2
i 1
T2 33
1.56
QB
1 3
3
T.
2 j
j 1
T2 33
11.56
QE Q QA QB 3.1
FA F0.05 (2,4) A影响不显著。 F0.05 (2,4) FB F0.01(2,4) B影响显著，由于
高速钢洗刀的硬度越大越好，因此因素B可取B3水平，即淬火温度1250‘C为好，因素 A水平的确定，应考虑经济方便，取A1水平为好。
16
五、各水平下试验次数不等时的方差分析 设第 i个水平试验次数为ni, 则有
式中：
m
n ni
i 1
Q
m i 1
ni
( X ij X )2
j 1
m i 1
ni j 1
X
2 ij
T2 n
Ti
ni
Xij
j1
QE
m i1
ni
( X ij X i )2
j 1
m i1
ni
T 2 X ij n j 1
m i 1
n j 1
X
2 ij
T2 mn
12
同样可推出：
QE
m i 1
n j 1
X
2 ij
1 n
m
Ti 2
i 1
QA
1 n
m
Ti 2
i 1
T2 mn
2、数据的简化： 试验数据经过变换
X
' ij
b( Xij
a)
数据简化后对F值的计算没有影响，不会影响检验的结果 四、方差分析表
方差来源 因素A 试验误差 总误差
做法：为了检验假设H0，要从总的误差中将系统误差和随机误差分开。
8
二、离差平方和的分解与显著检验
记：
X i
1 n
n
X ij
j 1
X
1 mn
m i 1
n
X ij
j 1
将Q进行分解：
mn
Q ( Xij X )2 i1 j1
m n
Q
( X ij X i ) ( X i X ) 2
i 1 j 1
mn
mn
mn
( X ij X i )2
(Xi X )2 2
( X ij X i )( X i X )
i1 j1
i1 j1
i1 j1
mn
由于
( X ij X i )( X i X )
i 1 j 1
m
n
m
( X i X ) ( X ij X i ) ( X i X )(nX i nX i ) 0
令：
n
Ti X ij
j 1
mn
m
T X ij Ti
i1 j 1
i 1
mn
mn
Q
( X ij X )2
(
X
2 ij
2 X ij X
X
2)
i1 j 1
i1 j 1
m i 1
n
X
2 ij
mnX
2
j 1
m i 1
n j 1
X
2 ij
1 mn
(
m i 1
n
X ij )2
j 1
67
68
假设：美中不足组合水平下服从正态分布、互相独立、方差相等。 所需要解决的问题是：所有Xij的均值是否相等。
18
假设检验：
1）在假设H0成立的条件下。
2）统计量
QA
FA
(m 1) QE
F (m 1, (m 1)(l 1))
(m 1)(l 1)
Q
m i 1
l j 1
X
2 ij
T2 ml
方差分析
1
日常生活中经常发现，影 响一个事物的因素很多， 希ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ找到影响最显著的因 素