32
（5）结论 轮轴满足强度条件
例 某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦 自重 F1 6.7kN, 起重量 F2 50kN,跨度 l 9.5m,材料的许用应力
140MPa, 试选择工字钢的型号。
分析
（1）简化为力学模型
（2）确定危险截面
（3）截面为关于中性轴对称
（4）应力计算公式
横力弯曲时的横截面
横截面 不再保持为平面 且由于切应力的存在，也不能保证纵向纤维之间没有正应力
横力弯曲正应力
纯弯曲正应力公式 My
IZ
弹性力学精确分析表明：
对于跨度 L 与横截面高度 h 之比 L / h > > 5的细长梁，
用纯弯曲正应力公式计算横力弯曲正应力， 误差<<2%
满足工程中所需要的精度。
为什么开孔？孔开在何处？ 可以在任意位置随便开孔吗？ 为什么加钢筋？ 施工中如何安放？
托架开孔合理吗？
理论分析
y
z
两直线间的距离
y的物理意义 纵向纤维到中性层的距离； 点到中性轴的距离。
公式推导
线应变的变化规律 与纤维到中性层的距离成正比。 从横截面上看： 点离开中性轴越远，该点的线应变越大。
yC
Sz A
281614 810 (14 5) 28 26 810
4
13cm
14
（2）计算截面对形心主轴的惯性矩
Iz
1 16 283 12
16 28 (14 13)2
1 8103 18 10 (19 13)2 12
26200cm4
8y
16
单位：cm
28 z
yC
z'
（4）正应力校核
Myc Iz
c
四个强度条件表达式
弯曲正应力强度计算的三个方面
1 强度校核
t,max
Myt Iz
t
c,max
Байду номын сангаас
Myc Iz
c
2 设计截面
w ≥Mmax
z
[σ]
3 确定许可载荷 Mmax ≤w z [σ ]
例 图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。
d1 160mm d2 130mm,a 0.267m,b 0.16m,F 62.5kN,
max
M max Wz
（5）计算 M max
（6）计算 W，z 选择工字钢型号
（1）计算简图
F=F1+F2
FF F FL/4
M
（4）强度计算
max
M max Wz
（5）选择工字钢型号
（2）绘弯矩图 （3）危险截面
F1 6.7kN, F2 50kN,
l 9.5m, 140MPa
M
max
20 1203 12
20120 282
7.64106 m4
例 一简支梁受力如图所示。已知 [ ] 12MPa ，空心圆截面
的内外径之比 d 0.8 ，试选择截面直径D；若外径D增加
D
一倍，比值不变，则载荷 q 可增加到多大？
q=0.5KN/m
A
B
L=4m
1 塑性材料， 对称截面； 2 已知图形对中性轴的主惯性矩 3 作弯矩图，确定危险截面； 4 确定危险点，进行强度校核
5 作弯矩图，确定危险截面
6 确定危险点，进行强度校核
t,max t , c,max c
（1）求截面形心
80
52
20
z1 z
yc
80 2010 120 2080 80 20 120 20
52mm
120
（2）求截面对中性轴z的惯性矩
20
y
Iz
80 203 12
80 20 422
x
弯曲正应力强度条件
危险点： 距离中性轴最远处； 分别发生最大拉应力与最大压应力；
1 塑性材料 抗拉压强度相等
a 无论截面形状如何， 无论内力图如何
梁内最大应力 其强度条件为
σmax
M maxymax Iz
σmax σ
b 对于塑性材料，通常将梁做成矩形、圆形、工字形等
对称于中性轴的截面；
此类截面的最大拉应力与最大压应力相等。
3 全梁上最大正应力
4 已知E=200GPa，C 截面的曲率半径ρ
180
1 截面几何性质计算
120
z
确定形心的位置 确定形心主轴的位置
确定中性轴的位置
IZ
bh3 12
0.12 0.183 12
5.832105 m4
q=60KN/m
2 求支反力
180
A
1m C
FAY
3m
120
30
K
z
B
FAy 90kN FBy 90kN
d1 160mm
a 0.267m F =62.5kN
d2 130mm b 0.16m
60MPa.
M
Fb Fa
B截面：
Fb
max
MB WzB
Fa
d13
62.5 26732
0.163
32
41.5MPa
C截面： max
MC WzC
Fb
d23
62.5160 32
0.133
46.4MPa
FBY
3 C 截面上K点正应力
MC 901 6010.5 60kN m
K
MC yK IZ
60103 60103 5.832 105
61.7MPa
（压应力）
y
4 C 截面上最大正应力
Cmax
MC ymax IZ
60103 90103 5.832 105
92.55MPa
q=60KN/m
材料力学
交通与车辆工程学院 李丽君
伽利略 Galilei (1564-1642) 此结论是否正确？
回顾与比较
内力
应力公式及分布规律
均匀分布 F
A
线形分布 T
IP
M
?
FA
FS
?
y
§5-1 纯弯曲 §5-2 纯弯曲时的正应力 §5-3 横力弯曲时的正应力 强度条件 §5-4 弯曲切应力 §5-6 提高梁强度的措施
物理关系
当σ<σP时
虎克定律
弯曲正应力的分布规律
E
E y
a、与点到中性轴的距离成正比；
沿截面高度 线性分布；
y
z
b、沿截面宽度 均匀分布；
c、正弯矩作用下， 上压下拉；
d、危险点的位置， 离开中性轴最远处.
弯曲正应力的分布规律
静力学关系
dA FN 0
A
E y
Sz 0 中性轴过截面形心
由直线
曲线
由直线
直线
相对旋转一个角度后，仍然与纵向弧线垂直。
平面假设
变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面； 横截面绕某一轴线发生了偏转。
纵向纤维之间有无相互作用力
假设：纵向纤维之间没有相互挤压， 各纵向纤维只是发生了简单的轴向拉伸或压缩。
观察纵向纤维的变化 在正弯矩的作用下， 凹入一侧纤维缩短；凸出一侧纤维伸长。
M y z dA 0
A
M z y dA M
坐标轴是主轴
A
1 M 中性层的曲率计算公式
EIZ
EIz
抗弯刚度
弯曲正应力计算公式
变形几何关系
y
物理关系 静力学关系
E E y
1 M
EIZ
正应力公式
My
IZ
弯曲正应力计算公式 My
IZ
横截面上最大弯曲正应力
max
Mym a x Iz
横力弯曲最大正应力
max
Mymax Iz
弯曲正应力公式适用范围
弯曲正应力公式 My
IZ
1 纯弯曲或细长梁的横力弯曲;
2 横截面惯性积 Iyz=0; 3 弹性变形阶段;
例 矩形截面简支梁承受均布载荷作用
q=60KN/m
A
B
1m C
3m
180
120
30
K
z
1 C 截面上K点正应力
y
2 C 截面上最大正应力
Mmax 1.2105 N.m，试校核其强度。
8 4
28 14
16 单位：cm
分析： 1、塑性材料， 非对称截面；
[ ] [ ] 70MPa
2、寻找形心 确定形心主轴位置；
3、确定中性轴位置；
4、计算图形对中性轴的主惯性矩 5、确定危险点，进行强度校核
6、公式
max
My Iz
（1）确定中性轴的位置
上压下拉
M
M
或者
危险截面只有一个。
危险截面处分别校核：
t,max
Myt Iz
t
c,max
Myc Iz
c
强度条件表达式
上拉下压
② 脆性材料梁的危险截面与危险点 M
危险截面有两个： 每一个截面的最上、最下边缘均是危险点；
各危险截面处分别校核：
t,max
Myt Iz
t
c,max
M I z / ymax
Wz
Iz ym a x
——截面的抗弯截面系数；。
反映了截面的几何形状、尺寸对强度的影响
最大弯曲正应力计算公式
max
M WZ
适用条件 截面关于中性轴对称。
现代梁分析理论与伽利略结论对比
科学家与时代同步 伽利略时代钢铁没有出现
但他开辟了理论与实践 计算构件的新途径。
是“实验力学”的奠基 人
[ ]
d 0.8 D