解三角形要点一、正弦定理和余弦定理的概念 ①正弦定理公式：2sin sin sin a b cR A B C===（其中R 表示三角形的外接圆半径）②余弦定理公式： 第一形式：2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C=+-=+-=+-第二形式：222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab+-=+-=+-=要点二、三角形的面积公式 ① 111222ABC a b c S a h b h c h ∆=⋅=⋅=⋅； ②111sin sin sin 222ABCS bc A ab C ac B ∆===； 要点三、利用正、余弦定理解三角形已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形.特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论.在ABC ∆中，已知,a b 和A 时，解的情况主要有以下几类：①若A 为锐角时：a bsin Aa bsin A()bsin A a b ()a b ()<⎧⎪=⎪⎨<<⎪⎪≥⎩无解一解直角二解一锐，一钝一解锐角A b a sin = b a ≥一解 一解b a A b <<sin sin a b A <两解 无解②若A 为直角或钝角时：a b a b ()≤⎧⎨>⎩无解一解锐角要点四、三角形的形状的判定 特殊三角形的判定： （1）直角三角形 勾股定理：222a b c +=，互余关系：090A B +=，cos 0C =，sin 1C =； （2）等腰三角形a b =，A B =；用余弦定理判定三角形的形状（最大角A 的余弦值的符号）（1）在ABC ∆中，222222090cos 02b c a A A b c a bc+-<<⇔=>⇔+>； （2）在ABC ∆中，22222290cos 02b c a A A b c a bc+-=⇔==⇔+=； （3）在ABC ∆中，22222290cos 02b c a A A b c a bc+-<⇔=<⇔+<； 要点五、解三角形时的常用结论 在ABC ∆中，0180A B C ++=，0902A B C++= （1）在ABC ∆中sin sin cos cos ;A B a b A B A B >⇔>⇔>⇔< （2）互补关系：0sin(A+B)=sin(180)sinC C -=，0cos(A+B) cos (180)cosC C =-=-， 0tan(A+B) tan(180)tan C C =-=-；（3）互余关系：0sinsin (90)cos 222A B C C+=-=， 0cos cos(90)sin 222A B C C +=-=，0tan tan (90)cot 222A B C C +=-=.【典型例题】类型一：利用正、余弦定理解三角形 例1. 在ABC ∆中，已知下列条件，解三角形.（1）10a =, b =, 45A =︒；（2）=a c 45B =︒.【总结升华】举一反三：【变式1】 △ABC 中，已知c=1，b=2，∠B=45°，求∠C 和a.【变式2】在ABC ∆中::3:7:5a b c =, 求角B ；【变式3】在ABC ∆中，若2a =，b =，c =，求角A 和sin C ．例2、(1)已知在△ABC 中，a ＝20，A ＝30°，C ＝45°，求B ，b ，c . (2)在△ABC 中， a ＝1，b ＝3，A ＝30°；(3)已知△ABC 的三边长为a ＝23，b ＝22，c ＝6＋2，求△ABC 的各角度数． (4)在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，c ＝4(3＋1)，解此三角形． （5）在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，B ＝30°，求角A 、角C 和边a .【总结升华】举一反三：【变式】△ABC 中，,6c =A=45°，a=2，求b 和B ，C.1.在△ABC 中，已知a ＝2，c ＝6，C ＝π3，求A ，B ，b .2.在△ABC 中，已知a ＝2，c ＝6，A ＝π4，求C ，B ，b .3．在△ABC ，已知a ＝22，b ＝23，C ＝15°，解此三角形类型二、利用正弦、余弦定理解三角形 例3. 在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，1AB BC ⋅=，则BC ＝()B. C ． D.【总结升华】【变式1】如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB=AD ，23AB BD =，BC=2BD ，则sinC的值为（ ）A ．33B ．36C ．63D ．66【变式2】在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 。

若223a b bc -=，sin 23sin C B =，则A=（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【变式3】已知△ABC 的三边长分别为AB=7，BC=5，CA=6，则AB BC ⋅的值为________ 【变式4】△ABC 的周长等于2（sinA+sinB+sinC ），则其外接圆半径等于 ． 【变式5】已知△ABC 周长为4，sinA+sinB=3sinC ，则AB=【变式6】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A=30°，2asinB=3，则b= ． 【变式7】在△ABC 中，设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，a=5，A=，cosB=，则边c= ．类型三、利用正余弦定理判定三角形形状例4．已知△ABC 中，a=6，b=8，c=9，试判断此三角形的形状。

【总结升华】余弦定理用于判定三角形的形状（最大角A 的余弦值的符号）（1）在ABC ∆中，222222090cos 02b c a A A b c a bc+-<<⇔=>⇔+>； （2）在ABC ∆中，22222290cos 02b c a A A b c a bc+-=⇔==⇔+=； （3）在ABC ∆中，22222290cos 02b c a A A b c a bc+-<⇔=<⇔+<；【变式】判断下列三角形的形状： (1)a=6，b=8，c=10；(2) a=6，b=8，c=11例5．已知△ABC 中cos cos a A b B =，试判断△ABC 的形状.【总结升华】举一反三：【变式1】根据下列条件，试判断△ABC 的形状. （1）bcosA=acosB ；（2）a=2bcosC【变式2】在△ABC 中，根据下列条件决定三角形形状. (1)sin sin sin cos cos B C A B C+=+；(2)2222()sin()()sin()a b A B a b A B -+=+-.例6．锐角 ABC ∆中，a,b,c 分别是角A,B,C 的对边。

(1) 若()()(),a c a c b b c +-=-求A ∠的大小 (2)22sin sin(2)6y B B π=++取最大值时，求B ∠的大小【总结升华】举一反三：【变式】在ABC ∆中，三内角满足的方程2(sin sin )(sin sin )(sin sin )0B A x A C x C B -+-+-= 有两个相等的根。

（1） 求证：角B 不大于3π （2） 当角B 取最大值时，判断ABC ∆的形状例7. 在ABC ∆中，试确定满足下列条件的三角形的形状。

（1）cos cos cos a b cA B C ==； （2）cos cos a A b B =；（3）()()3a b c b c a bc +++-=，且sin 2sin cos A B C =.【总结升华】举一反三：【变式1】已知△ABC 中,bsinB=csinC,且C B A 222sin sin sin +=,试判断三角形的形状． 【变式2】在ABC ∆中，已知cos cos cos b B c C a A +=，试判断ABC ∆的形状．【变式3】在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c ，已知→→BC BA ·＝2，cosB ＝31，b ＝3，求：(Ⅰ)a 和c 的值；(Ⅱ)cos(B －C)的值．【变式4】已知ABC △1，且sin sin A B C +=． （1）求边AB 的长； （2）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．类型四、解三角形及其综合应用例8. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=. （1）求sin sin CA的值； （2）若1cos 4B =，b=2，求△ABC 的面积S.【总结升华】举一反三：【变式1】在ABC ∆中，C B A ∠∠∠、、所对的边长分别为c b a 、、，设c b a 、、满足条件222a bc c b =-+和321+=b c ，求A ∠和B tan 的值．【变式2】．在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a, b, c,且(1)求角B 的大小;(2)若b=3,sinC=2sinA,求a, c 的值.【变式3】（2016 四川高考）在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且cos cos sin A B Ca b c+=. （I ）证明：sin sin sin A B C =； （II ）若22265b c a bc +-=，求tan B .【变式4】在ABC ∆中,已知3AB AC BA BC =.(1)求证:tan 3tan B A =;(2)若cos C =求A 的值.【变式5】．△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a, b, c .已知3cos(B-C)-1=6cosBcosC.(1)求cosA;(2)若a=3,△ABC 的面积为求b, c .类型六、 与范围有关的问题例9.设在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ，b ，c 依次成等比数列，试求： （1）角B 的取值范围；（2）设t ＝sinB ＋cosB ，求t 的取值范围； （3）设BB BB y cos sin 1cos sin ++=，求y 的取值范围.举一反三：【变式1】△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a,b,c 成等比数列，且22,a c ac bc -=-求：（1）A 的大小； （2）sin b Bc的值。