第2讲 概 率[做真题]1．(2018·高考全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.72．(2019·高考全国卷Ⅱ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )A.23B.35C.25D.153.(2017·高考全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A.14B.π8C.12D.π44.(2019·全国Ⅲ卷)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( ) A.16B.14C.13D.125.(2018·全国Ⅰ卷)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC .△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则( )A.p 1＝p 2B.p 1＝p 3C.p 2＝p 3D.p 1＝p 2＋p 36.(2018·天津卷)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动. (1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率.7.(2019·北京卷)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1 000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：(1)(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率；(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2 000元.结合(2)的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由.8．(2017·高考全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．[明考情]1．以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应用，同时渗透互斥事件、对立事件．2．概率常与统计知识结合在一起命题，主要以解答题形式呈现，中档难度．几何概型(基础型)[知识整合]几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.求解几何概型的概率应把握的两点(1)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解．(2)寻找构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．[考法全练]1．(2019·福建五校第二次联考)在区间[0，2]上随机取一个数x ，使sin π2x ≥32的概率为( )A.13 B.12 C.23D.342．(2019·广东六校第一次联考)在区间[－π，π]上随机取两个实数a ，b ，记向量m ＝(a ，4b )，n ＝(4a ，b )，则m·n ≥4π2的概率为( )A ．1－π8B ．1－π4C ．1－π5D ．1－π63．(2019·福建省质量检查)某商场通过转动如图所示的质地均匀的6等分的圆盘进行抽奖活动，当指针指向阴影区域时为中奖．规定每位顾客有3次抽奖机会，但中奖1次就停止抽奖．假设每次抽奖相互独立，则顾客中奖的概率是( )A.427B.13C.59D.1927探究提高 1.几何概型适用条件：当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积时，应考虑使用几何概型求解.2.求解关键：寻找构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域.易错警示 在计算几何概型时，对应的是区间、区域还是几何体，一定要区分开来，否则结论不正确.【对点练习】1.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，0≤x <1，ln x ＋e ，1≤x ≤e 在区间[0，e]上随机取一个实数x ，则f (x )的值不小于常数e的概率是( ) A.1eB.1－1eC.e 1＋eD.11＋e2.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被y ＝3sin π4x的图象分割为两个对称的鱼形图案(如图所示).其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为________.古典概型(综合型)[知识整合]古典概型的概率P (A )＝m n ＝A 中所含的基本事件数基本事件总数.古典概型的两个特点(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个． (2)每个基本事件出现的可能性相等．[典型例题](2019·安徽五校联盟第二次质检)一汽车厂生产A ，B ，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量(单位：辆)如表：A 类轿车B 类轿车C 类轿车舒适型 100 150 z 标准型300450600类轿车10辆．(1)求z 的值；(2)用分层抽样的方法从C 类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数x i (1≤i ≤8，i ∈N )，设样本平均数为x ，求|x i －x |≤0.5的概率．【例2】 (2019·天津卷)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况. (1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F .享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.员工 项目 A B C D E F 子女教育 ○ ○ × ○ × ○ 继续教育 × × ○ × ○ ○ 大病医疗 × × × ○ × × 住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○ 住房租金 × × ○ × × × 赡养老人○○×××○②设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M 发生的概率. 探究提高 1.求古典概型的概率的关键是正确列举出基本事件的总数和待求事件包含的基本事件数.2.两点注意：(1)对于较复杂的题目，列出事件数时要正确分类，分类时应不重不漏. (2)当直接求解有困难时，可考虑求其对立事件的概率.求古典概型概率的一般步骤(1)求出所有基本事件的个数n ，常用的方法有列举法、列表法、画树状图法． (2)求出事件A 所包含的基本事件的个数m . (3)代入公式P (A )＝mn求解．[对点训练]1．(2019·沈阳市质量监测(一))某英语初学者在拼写单词“steak ”时，对后三个字母的记忆有些模糊，他只记得由“a”“e”“k ”三个字母组成并且“k ”只可能在最后两个位置，如果他根据已有信息填入上述三个字母，那么他拼写正确的概率为( )A.16 B.14 C.12D.132．(2019·成都第一次诊断性检测)齐王有上等、中等、下等马各一匹；田忌也有上等、中等、下等马各一匹．田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜的概率为( )A.49B.59C.23D.793 (1)甲邀请乙、丙、丁三人加入了“兄弟”这个微信群聊，为庆祝兄弟相聚，甲发了一个9元的红包，被乙、丙、丁三人抢完，已知三人抢到的钱数均为整数，且每人至少抢到2元，则丙获得“手气最佳”(即丙领到的钱数不少于其他两人)的概率是( ) A.13B.310C.25D.34(2)(2019·雅礼中学联考)博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾.某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案.方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车.记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为p 1，p 2，则( ) A.p 1·p 2＝14B.p 1＝p 2＝13C.p 1＋p 2＝56D.p 1<p 24．某校拟从高二年级2名文科生和4名理科生中选出4名同学代表学校参加知识竞赛，其中每个人被选中的可能性均相等．(1)求被选中的4名同学中恰有2名文科生的概率； (2)求被选中的4名同学中至少有1名文科生的概率．。