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2019年普通高等学校招生全国统一考试
理 科 数 学（一）
注意事项：
1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合1
{|24}4
x A x =≤≤
，{|B y y ==，则A B =（ ）
A ．{2}
B ．{0}
C ．[2,2]-
D ．[0,2]
2．若复数z 满足(1)42z i i -=+，则z =（ ） A ．25
B
C ．5
D ．17
3．从[6,9]-中任取一个m ，则直线340x y m ++=被圆222x y +=截得的弦长大于2的概率 为（ ） A ．
23 B ．
25
C ．
13
D ．
15
4．《张丘建算经》是早于《九章算术》的我国另一部数学著作，在《算经》中有一题：某女子善于织布，一天比一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，30天共织布390尺， 则该女子织布每天增加（ ）
A ．47尺
B ．1629尺
C ．815尺
D ．1631
尺
5．某兴趣小组合作制作了一个手工制品，并将其绘制成如图所示的三视图，其中侧视图中的圆的 半径为3，则制作该手工制品表面积为（ ）
A ．5π
B ．10π
C ．125π+
D ．2412π+
6．从某中学抽取100名学生进行阅读调查，发现每年读短篇文章量都在50篇至350篇之间， 频率分布直方图如图所示，则对这100名学生的阅读量判断正确的为（ ） A ．a 的值为0.004
B ．平均数约为200
C ．中位数大约为183.3
D ．众数约为350
7．已知2
5
2(231)(
1)a x x x
++-的展开式中各项系数之和为0，则该展开式的常数项是（ ） A ．10-
B ．7-
C ．10
D ．9
8．已知双曲线C
的中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，且双曲线的渐近线方程为y =， 则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2
B ．3
C ．3
或
2
D ．2
或
3
9．已知正项数列{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，且有22
3526324002a a a a +=-，2410S S =，
则第2019项的个位数为（ ） A ．1
B ．2
C ．8
D ．9
10．已知函数2()f x x ax =+的图象在1
2
x =
处的切线与直线20x y +=垂直．执行如图所示的程序框图，若输出的k 的值为15，则判断框中t 的值可以为（ ）
此
卷
只
装
订
不
密封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
A ．
13
14
B ．
1415
C ．
1516 D ．
1617
11．已知函数)2
,0)(sin(2)(π
ϕωϕω<
>+=x x f 在]3
2,2[π
π-
上至少存在两个不同的21,x x 满足
4)()(21=x f x f ，且函数)(x f 在]12,
3[π
π-
上具有单调性，)0,6
(π
-
和π12
7
=
x 分别为函数)(x f 图象的一个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是（ ）
A ．函数)(x f 图象的两条相邻对称轴之间的距离为4
π
B ．函数)(x f 图象关于直线3
π
-=x 对称
C ．函数)(x f 图象关于点)0,12
(π
-
对称
D ．函数
)(x f 在)2
,6(π
π上是单调递减函数
12．已知函数()f x 在(0,1)恒有()2()xf x f x '>，其中()f x '为函数()f x 的导数，若,αβ为锐角三角形的两个内角，则（ ） A ．)(sin sin )(sin sin 2
2
βααβf f > B ．)(cos sin )(sin cos 2
2βααβf f > C ．)(cos cos )(cos cos 22βααβf f > D ．)(cos sin )(cos sin 22βααβf f >
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。
第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设,x y 满足约束条件0
23603260
x y k x y x y -+≤⎧⎪
+-≤⎨⎪-+≥⎩
，若目标函数2z x y =-的最大值与最小值之和为4013-，
则k =_______．
14．||2a =，||1b =，a ，b 的夹角为60︒，则b 与2a b -的夹角为 ．
15．在三棱锥P ABC -
中，4,3,5PA PB AB BC AC =====，若平面PAB ⊥平面ABC ，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为_______．
16．已知抛物线2:4C x y =，任意直线:(0)l y kx b b =+≠，已知直线l 交抛物线C 于M ，N 两
点，P 为y 轴上的一点满足OPM OPN ∠=∠（点O 为坐标原点），则P 点的坐标为_______．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，
C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知C a A c a cos cos 2=-． 求b
a
的值及角A 的取值范围．
18．（12分）如图，在平面多边形SABCD 中，
SA AD ⊥，12SA AB AD CD BC ====，3
ABC π
∠=，以AD 为折痕把SAD ∆折起，使点S 到达点P 的位置，且PA AB ⊥，连接AC ．
（1）求证：平面PAC ⊥平面PAB ；
（2）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值．
19．（12分）某研究公司为了调查公众对某事件的关注程度，在某年的连续6个月内，月份i x 和关注人数i y （单位：百）(1,2,3,
,6)i =数据做了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
（1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明，并建立y 关于x 的回归方程；
（2）经统计，调查材料费用ν（单位：百元）与调查人数满足函数关系1863
23y v y
=+，求材料费用的最小值，并预测此时的调查人数；
（3）现从这6个月中，随机抽取3个月份，求关注人数不低于1600人的月份个数ξ分布列与数学期望．
参考公式：
相关系数n
)()i
i
x x y y r --=
∑
（若0
.95r >，则y 与x 的线性相关程度相当高，
可用线性回归模型拟合y 与x 的关系．回归方程ˆˆˆy
bx a =+中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为6
1
6
2
1
())
ˆ()
(i
i
i i
i x x y
y x x b
==-=--∑∑，ˆˆa
y bx =-．
20．（12分）已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为A ，离心
率为
2
2
，1b =． （1）求E 的方程；
（2）直线l 与E 相切于点P ，直线m 过点1F 经点P 被直线l 反射得反射光线n ．问：直线n 是否经过x 轴上一个定点？若经过，求出该点的坐标；若不经过，说明理由．
21．（12分）已知函数()(1) (0)x
f x A x e A =+≠． （1）讨论函数
()f x 的单调性；
（2）当0A >时，令函数()(1)x kx g x e e k x =+-+，当0x ≥时，恒有2
(())(4)g f x g x x ≥+，求
实数A 的取值范围．
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
【选修4-4：坐标系与参数方程】 22．（10
分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t α
α
=+⎧⎨
=+⎩（t 为参数）．以坐标原点为
极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin 0ρθθ+-=．
（1）求曲线C 的普通方程；
（2）已知(1,2)M ，直线l 与曲线C 交于P ，Q
【选修4-5：不等式选讲】
23．（10分）已知函数21)(++-=x x x f ． （1）求不等式
03)(≤--x x f 的解集；
（2）设函数22)()(+-=x x f x g ，若存在x 使2()2g x λλ≥-成立，求实数λ的取值范围．。