§6用配方法化二次成标准形
用正交变换化二次型成标准形,具有保持几何形状不变的优点.如果不限于用正交变换法,那么还有多种方法对应有多个可逆的线型变幻把二次型化成标准形.这里只介绍拉格朗日配方法.下面举例来说明这种方法 例15 化二次型
3
2
3
1
2
1
2
2
2
2
2
1
62252x
x x x x x x x x f +++++=
成标准形,并求所用的变换矩阵
解 由于
f
中含变量
1x 的平方项，故把含1x 的项归并起来，配方可得
3
2
2
3
2
2
3
1
2
1
21
65222x
x x x x x x x x f +++++=
3
2
2
3
2
2
3
2
2
3
2
2
2
3
2
1
6522)(x
x x x x x x x x x x +++---++=
23
3
2
2
2
2
3
2
1
44)(x
x x x x x x +++++=
上式右端除第一项外已不再含.1x 继续配方，可得
2
3
2
2
3
2
1
)
2()(x x x x x f ++++=
令
⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=,,2,
333223211x y x x y x x x y 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=,
,
2,
33
3223211y x y y x y y y x 就把化成标准形(规范形)22
21
y
y f +=，所用变换矩阵为
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=10
210111
C ，).
01(≠=C
例 16 化二次型
3
2
3
1
2
1
622x
x x x x
x f -+=
成规范形，并求所用的变换矩阵. 解 在
f
中不含平方项。

由于含有乘积项，故令
⎪
⎩⎪
⎨⎧=-=+=,
,
,33212211y x y y x y y x
代入可得
.32312
22
18422y y y y y y f +--=
在配方，得 .6)2(2)(22
32
322
31y y y y y f +---=
令⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎨⎧=-=-=,6),2(2),(233322311y z y y z y y z 即⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧
=+=+=,
61,
6
221,61213332311z y z z y z z y
就把
f
化成规范形
,
33
22
2
1
z z
z
f +-=
所用变换矩阵为
,61
0612121632121
610
6221061021100011011⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=C
).
06
1(≠-
=C
一般地，任何二次型都可用上面两例的方法找到可逆变换，把二次型化成标准形（或规范形）。

§7正定二次型
二次型的标准形显然不是唯一的，只是标准形中所含项数是确定的（即是二次型的秩）。

不仅如此，在限定变换为实变换时，标准形中正系数十不变的（从而负系数的个数也不变），也就是有
定理9 设有二次型Ax
x f T
=,它的秩为r ，有两个可逆变换
Cy
x = 即
Pz
x =
使 ()022
2
2
2
1
1
≠+++=i
r
r
k y k y k y k f
即
()02
2
2
2
2
1
1
≠+++=i
r
r
z z z f λλλλ 则 r k k ,,1 中
正数的个数与r λλ,,1 中正数的个数相等..
这个定理 称为惯性定理，这里不予证明.
二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的正惯性指数，负系数的个数称为负惯性指数.若二次型f 的正惯性指数为,p 秩为,
r 则
f
的规范形便可确定为
.221
221
r
p p
y y
y y
f ---++=+
科学技术上用得较多的二次型是正惯性指数为n 或负惯性指数为n 的n 元二次型，我们有下述定义.
定义 10 设有二次型如果对任何
≠x ,都有
()0
>x f
（显然
()00=f ，则称f
为正定二次型，并称对称阵A 是正定的；如果对任何0≠x 都
有
()0<x f
,则称
f 为负定二次型，并称对称阵A 是负定的.
定理 10 二次型
Ax
x f T
=为正定的充分必要条件是：它的标准形的
n 个系数全为正，即它的正惯性指数等于n 证 设可逆变换Cy x =使
()
()
2
1
i n
i i y k Cy f
x f
∑
==
=
先证充分性.设
)
,,1(0n i k i =>任给
,
0≠x 则
01
≠=-x c y ，故
()
.02
1
>=
∑
=i
n
i i y k x f
再证必要性。

用反证法。

假设有
.0≤s k 则当s
e
y =（单位坐标向量）时，
().0≤=s s k Ce f 显然0≠s
Ce
,这与f 为正定相矛盾。

这就证明了
().,,10n i k
i
=>
推论 对称阵A 为正定的充分必要条件是：A 的特征值全为正。

定理 11 对称阵A 为正定的充分必要条件是：A 的各阶主子式都为正，即
,,0,
01
111
22
2112
11
11
>>>+nn
n n
a
a
a
a
a
a
a a a
对称阵A 为负定的充分必要条件是：奇数阶主子为负，而偶数阶主子式为正， 即
()()n r a
a
a
a
rr
r r
r
,,2,1,011
111
=>-
这个定理称为霍尔维茨定理，这里不予证明。

例17 判定二次型
xz
xy z y x f 444652
2
2
++---=的
正定性。

解
f
的矩阵为
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---=40
2
062225A ,
,0266
2
25,
522
2112
11
11
>=--=
-=a
a
a a a
,
080<-=A
根据定理 11 知f
为负定。

设
()y x f ,是二元正定二次型，则()c y x f =,(0>c 为常数)的图形是以原形为
中心的椭圆。

当把c 看作任意常数时则是一族椭圆 。

这族椭圆随着0→c 而收缩到原
点。

当
f
为三元定二次型时，
()()0,,>=c c z y x f 的图形是一族椭球。