(L
1
C
)2
QU
1 Q 2 (1 1 )2
η2
η2
UC (ω)
I
C
C
U
R2
(L
1
C
)2
QU
η 2 Q 2 (η 2 1)2
当 =Cm时，UC()获最大值； 当 =Lm时，UL()获最大值。且UC(Cm)=UL(Lm)。
(条件是 Q 1 / 2)
U()
UC(Cm)
QU U
UL( )
0
Cm 1Lm
磁场能量
WLm=WCm
w总
wL
wC
1 2
LI
2 m
1 2
CU
2 Cm
即:能量交换只在L，C之间进行 ，与电源间无能量交换。
wL
wC
w总
i
uC
四、特性阻抗和品质因数
1. 特性阻抗（characteristic impedance）
0L
1
0C
L C
仅由电路参数决定。
2. 品质因数（quality factor）Q
避免： 电力系统中，由于系统电源电压比较高，一
旦发生谐振，会因过电压而损坏设备绝缘。
五、RLC串联谐振电路的谐振曲线和选择性
1. 阻抗的频率特性（frequency characteristic）
Z
R
j(ωL
1 ωC
)
|
Z
(ω)
|
φ
(ω)
| Z(ω) |
R2
(L
1
C
)2
R2 (X L XC )2
C 0=5.5106 rad/s， f0=820 kHz。
电台1 820 1290 1290
0 I0=0.5
电台2 640 1000 1660
– 660 I1=0.015
电台3 1026 1612 1034
577 I2=0.017
I(f ) I0
I1 3.0% I0
I2
I2 3.4%
I1
I0
0 640 820 1200 f / kHz
一、指数正弦形电流
i(t ) Ie t sin(t )
i(t)
i(t)
i(t)
0
t
<0, 0
i(t)
0
t
<0, 0
i(t)
0
t
<0, =0
0
t
>0, =0
0
t
=0, 0
i(t)
0
t
=0, =0
指数正弦形电流
i(t ) Ie t sin(t )
可引入一复指数函数来表示它。由欧拉公式：
可见
KCL KVL
i 0 I 0 u 0 U& 0
2. RLC元件方程的复数形式
电阻元件： u Ri U& R&I
电感元件：
u
L
di dt
U&
sL&I
电容元件：
u
1 C
idt
U&
1 sC
&I
此时电路元件可用复频率s下的阻抗 R, sL和 1 表示。
sC
I
I
&I
+
+
+
1
UR
R
U&
sL U
当0L=1/(0C)>>R时， UL= UC >>U
I R
+
U
+ U R
_
+ U_L
jL
_
UC+_
1 jω C
串联谐振又称电压谐振。
UL
UR U
I
UC
谐振时电压、 电流的相量图
5. 功率
负载吸收
P=RI02=U2/R
QL
ω0
LI
2 0
QC
1
ω0C
I
2 0
Q QL QC 0
电源发出
P UI cos RI02
R2 X 2
(ω
)
tg
1
L
1
C
tg 1
XL
XC
tg 1
X
幅频特性
R
R
R
|Z()|
|Z()|
XL() X()
()
/2
相频特性
R
0
0
XC()
0
0
–/2
2. 电流谐振曲线
谐振曲线：电压、电流与频率的关系。
幅值关系：
I(ω)
U
R2
(L
1
C
)2
I( )
U/R1
U/R2
0
0
3. 选择性与通用谐振曲线 （a）选择性（selectivity）
C3
L1
+ u1(t)
_
+ C2 R u2(t)
_
取 ω2
1 ，使L1和C2发生并联谐振，此时L1和C2 L1C 2
并联支路阻抗为，相当于开路，负载端没有2电压分量。
取 ω1
1
电路发生串联谐振，虚框内呈短
L1 (C2 C3 )
路，1 电压分量直接加到负载R上。
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12.4 复频率和相量法的推广
并联谐振
当Z( )=0，即分子为零
1 ω2 L1(C2 C3 ) 0
ω2
1 L1 (C 2 C 3 )
串联谐振
(ω1 ω2 )
阻抗的频率特性
Z ()=jX()
X()
图（a）电路
0
1
2
X()
图（b）电路 0
2 1
LC串并联电路的应用
可构成各种无源滤波电路（passive filter）。
Ie tej(t ) Ie t cos(t ) Ie t sin(t )
i Im[Ie tej(t ) ] Im[Iej e( ] jt )
令 s j, &I Iej , 则
i Im[&Iest ]
&I 即 为 代 表 电 流 i 的 复 数 。 对 应 一 定 的 s ， i 与 &I 有一一对应关系。表示为
若RLC串联电路中，有不同频率的电压源同时作用时，
则接近谐振频率0 的电流将可能大于其它偏离谐振频率的
电流而被选择出来，这种性能在无线电技术中称为“选择 性”。
I()
0
0
例
R
+
u1_
+ u2
_
+ u3
_
f （kHz）
L（）
1 （） ωC
X（） I=U/|Z| （mA）
一接收器的电路参数为：
L=250mH ， R=20 ， C=150pF L （已调好），U1=U2= U3 =10mV，
-
-
-
sC
复频率下的RLC元件模型
例 已知uS (t ) Ue t sin(t )。
iR
求电流i 的强制分量。
+
uS
L
解 复频率下的电路模型如图。
-
复频率阻抗Z(s)=R+sL
&I R
I US U
U
Z(s) R sL (R L) jL
+
US
sL
U
ej( ) Iej
(R L)2 (L)2
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12.1 串联电路的谐振
谐振（resonance）是正弦交流电路在特定条件下所产生 的一种特殊物理现象。
谐振的定义:
I
+
U
-
含LC 网络
在正弦交流稳态下，当含LC的一端口网络输入端的 电压、电流同相时，则称该网络处于谐振状态 （resonance state）。
一、 谐振频率
I R +
Z
(2)
若 i &I，
则
di dt
s&I
(3)
若 i &I， 则
idt
1 s
&I
线性非时变电路在指数正弦形的激励下，当激励的
复频率s=+j不等于电路微分方程的特征根时，电路的
强制分量也具有与激励相同的指数正弦形式。
可将相量法拓广，应用于指数正弦形的激励下求强 制响应。
1. 复数形式的基尔霍夫定律
ω2
L1 L3 L1 L3C 2
（串联谐振）
（1<2）
图（b）电路：
Z(ω1 )
1
jC
jL1
1
jC 2
jL1
1
jC 2
1
jC 3
jL1
1 ω2 L1C 2
j
1 ω2 L1 (C2 C3 )
C3 (1 ω2 L1C2 )
当Z()=，即分母为零 C3 (1 ω2 L1C2 ) 0
ω1
1 L1C 2
1
1 (L 1 )2 R RC
1
1 (Q ω Q ω0 )2
ω0
ω
令＝ / 0 ，可得
I(η )
I0
1 1 Q 2 (η 1 )2
η
I(η ) I0
1
Q=0.5
Q=1
0
1
Q=10
串联谐振电路的通用谐振曲线
4. UL()与UC()的频率特性
U L (ω)
LI
L
|
U Z
|
LU
R2
并联谐振
IS
U G C L （Parallel Resonance）