虚根。故可在闭环特征方程中令 s = jω ，然后分别令方程的实部和虚部均为零，从中求得 交点的坐标值及其相应的 K ∗ 值。此外，根轨迹与虚轴相交表明系统在相应 K ∗ 值下处于临 界稳定状态，故亦可用劳斯稳定判据去求出交点的坐标值及其相应的 K ∗ 值。此处的根轨迹
增益称为临界根轨迹增益。
例 4-4 某单位反馈系统开环传递函数为
1221)π n−m
⎨ ⎪
n
m
∑ p j − ∑ zi
⎪σ ⎩
a
=
j =1
i =1
n−m
（ k =0，±1，±2，… n − m − 1）
（4-12）
证明 （1）渐近线的倾角ϕa ：假设在无穷远处有闭环极点 s* ，则 s 平面上所有从开 环零点 zi 和极点 p j 指向 s* 的向量相角都相等，即 ∠(s* − zi ) = ∠(s* − p j ) = ϕa ，代入相角
件式（4-9）改写为
∏ ∏ K * =
n
| (s −
j =1
pj)|
=
s n−m
n
|1−
j =1
pj s
|
m
∏| (s − zi ) |
i =1
∏m | 1 − zi |
i =1
s
(4-11)
可见，当 s = p j 时，K * = 0 ；当 s = zi 时，K * → ∞ ；当| s | → ∞ 且 n ≥ m 时，K * → ∞ 。 法则 2 根轨迹的分支数、对称性和连续性：根轨迹的分支数与开环零点数 m 、开环
（4-16） （4-17）
于是有
∑ ∑ n
1
m
=
1
j=1 s − p j i=1 s − zi
从上式解出的 s 中，经检验可得分离点 d 。本法则得证。
另外，将式（4-17）交叉相乘可得 N ′(s)M (s) − N (s)M ′(s) = 0
由式（4-18）也可以求出分离点 d 。
（4-18）
例 4-3 控制系统开环传递函数为
126
⎪⎧Re[D( jω)] = −6ω2 + K * = 0
⎨ ⎪⎩Im[D(
jω
)]
=
−ω
3
+
5ω
=
0
解得
⎧ω = 0 ⎪⎧ω = ± 5
⎨ ⎩K
*
=
0
⎨ ⎪⎩
K
*
=
30
显然第一组解是根轨迹的起点，故舍去。根轨迹与虚轴的交点为 s = ± j 5 ，对应的根轨迹 增益 K * = 30 。
方法 2 用劳斯稳定判据求根轨迹与虚轴的交点。列劳斯表为
i =1
i =1
当 s → ∞ 时，只保留前两项，并比较第二项系数可得
n
m
∑ p j − ∑ zi
σa =
j =1
i =1
n−m
本法则得证。
123
例 4-2 单位反馈系统开环传递函数为
G(s) =
K * (s + 1)
s(s + 4)(s 2 + 2s + 2)
试根据已知的基本法则，绘制根轨迹的渐近线。 解 将开环零、极点标在 s 平面上，如图 4-6
法则 3 实轴上的根轨迹：实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和 为奇数，则该区域必是根轨迹。
设系统开环零、极点分布如图 4-5 所示。图中，s0 是实轴上的点，ϕi (i = 1,2,3) 是各开 环零点到 s0 点向量的相角，θ j ( j = 1,2,3,4) 是各开环极点到 s0 点向量的相角。由图 4-5 可
∑ϕi − ∑θ j = (2k +1)π
i =1
j =1
（ k = 0, ±1, ± 2, L）
由于π 与 − π 表示的方向相同，于是等效有：
m0
n0
∑ϕi + ∑θ j = (2k +1)π
i =1
j =1
（ k = 0, ±1, ± 2, L）
式中， m0 、 n0 分别表示在 s0 右侧实轴上的开环零点和极点个数。 式中， (2k + 1) 为奇数。于是本法则得证。
4.2 绘制根轨迹的基本法则
本节讨论根轨迹增益 K ∗（或开环增益 K ）变化时绘制根轨迹的法则。熟练地掌握这些
法则，可以帮助我们方便、快速地绘制系统的根轨迹，这对于分析和设计系统是非常有益的。
法则 1 根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零
点个数 m 少于开环极点个数 n ，则有 (n − m) 条根轨迹终止于无穷远处。 根轨迹的起点、终点分别是指根轨迹增益 K ∗ = 0 和 K ∗ → ∞ 时的根轨迹点。将幅值条
G(s)H (s) = K * (s + 2) s(s + 1)(s + 4)
试概略绘制系统根轨迹。 解 将系统开环零、极点标于 s 平面，如图 4-7 所示。
根据法则，系统有 3 条根轨迹分支，且有 n − m =2 条根轨迹趋于无穷远处。根轨迹绘
制如下： ⑴ 实轴上的根轨迹：根据法则 3，实轴上的根轨迹区段
∑ 有可能对 s0 的相角条件造成影响，且这些开环零、极点提供的相角均为π 。如果令 ϕi 代
∑ 表 s0 点之右所有开环实数零点到 s0 点的向量相角之和， θ j 代表 s0 点之右所有开环实数
极点到 s0 点的向量相角之和，那么， s0 点位于根轨迹上的充分必要条件是下列相角条件成
立：
m0
n0
为：
[− 4,−2]， [−1,0]
⑵ 渐近线：根据法则 4，根轨迹的渐近线与实轴交点和 夹角分别为
⎪⎪⎧σ a ⎨ ⎪⎪⎩ϕ a
= =
−1− 4+ 2 = − 3
3−1
2
(2k + 1)π = ± π
3−1
2
⑶ 分离点：根据法则 5 有
125
1+ 1 + 1 = 1 d d +1 d + 4 d + 2
所示。根据法则，系统有 4 条根轨迹分支，且有
n − m =3 条根轨迹趋于无穷远处，其渐近线与实轴
的交点及夹角分别为
⎪⎪⎧σ a ⎨ ⎪⎪⎩ϕ a
= =
− 4 −1 + j1 −1 − j1 + 1
4 −1
(2k + 1)π = ± π ,π
4 −1
3
=
−
5 3
三条渐近线如图 4-6 所示。
法则 5 根轨迹的分离点：两条或两条以上根轨迹分支在 s 平面上相遇又分离的点，称 为根轨迹的分离点，分离点的坐标 d 是方程
条件（4-10），得
m
n
∑ ∑ ∠(s* − zi ) = ∠(s* − p j ) = mϕa − nϕa = (2k +1)π
i =1
j =1
所以渐近线的倾角为
ϕa
=
(2k +1)π n− m
(k = 0, ±1, ± 2, L )
（2）渐近线与实轴的交点σ a ：假定在无穷远处有闭环极点 s* ，则 s 平面上所有开环零点 zi
极点数 n 中的大者相等，根轨迹连续并且对称于实轴。 根轨迹是开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环极点在 s 平面上的变化轨迹。因此，
根轨迹的分支数必与闭环特征方程根的数目一致，即根轨迹分支数等于系统的阶数。实际系
统都存在惯性，反映在传递函数上必有 n ≥ m 。所以一般讲，根轨迹分支数就等于开环极点
∏ (s − zi )
i =1
（4-13）
(s − σ a )n−m = sn−m − σ a (n − m)sn−m−1 + L
而式（4-13）左端用长除法处理为
n
∏(s − pj )
n
m
j =1 m
∑ ∑ = sn−m − ( p j − zi )sn−m−1 + L
∏ (s − zi )
j =1
ds
经整理得
3d 2 + 12d + 5 = 0
解出
d1 = −3.5 d2 = −0.47
显然分离点位于实轴上 [−1,0]间，故取 d = −0.47 。
⑷ 与虚轴交点：
方法 1 系统闭环特征方程为
D(s) = s3 + 6s2 + 5s + K * = 0
令 s = jω ，并令方程实部、虚部分别为零，有
法则 7 根轨迹的起始角和终止角：根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角，
称为起始角，以θ pi 表示；根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角，称为终止角， 以ϕ zi 表示。起始角、终止角可直接利用相角条件求出。
例 4-5 设系统开环传递函数为
G(s) = K * (s + 1.5)(s + 2 + j)(s + 2 − j) s(s + 2.5)(s + 0.5 + j1.5)(s + 0.5 − j1.5)
或由式（4-18）
N ′(s)M (s) − N (s)M ′(s) = (s3 + 5s2 + 4s)(s + 2)′ − (s3 + 5s2 + 4s)′(s + 2) = 2s3 +11s2 + 20s + 8 = 0
试根得： d = −0.5495 。
根据上述讨论，可绘制出系统根轨迹，如图 4-7 所示。 法则 6 根轨迹与虚轴的交点：若根轨迹与虚轴相交，则意味着闭环特征方程出现纯
见，复数共轭极点到实轴上任意一点（包括 s0 点）的向量之相角和为 2π 。对复数共轭零点，