对如下结构图的系统：
R(s)
C(s)
G(s)
-
(s) G(s) G(s) 1 G(s)H (s) 1 Gk (s)
令闭环传递函数的分母为零，
得闭环系统的特征方程
H (s)
1 Gk (s) 0
若用开环传递函数来讨论，则满足 Gk (s) 1 的点就是闭环系 统特征方程的根。也就是说满足 Gk (s) 1的s值必定是根轨迹 上的点，故称 Gk (s) 1为根轨迹方程。若令
渐近线与实轴的交点： pi zi 1 5 2
nm
30
渐近线与实轴的倾角： q (2k 1) 60,180
nm
零极点分布和渐近线（红线）
如图所示。
5
规定：相角逆时针为正，顺时针为负。
18
180
60
2
1
0
60
4.2 根轨迹绘制的基本准则
实轴上的根轨迹
6、实轴上的根轨迹：
实轴上具有根轨迹的区间是：其右方开 环系统的零点数和极点数的总和为奇数。
z1
p3
q3
q1
[证明]：例如在实轴上有两个开环极点-p1、-p2， 复平面上有一对共轭极点-p3、 -p4和一对共轭零
点-z1 、 -z2 。
先看试验点s1点： ①成对出现的共轭极点-p3、 -p4对实轴上任意试 探点构成的两个向量的相角之和为0°；
p2
s2
s1
p 1
q4
z2
q
2
p4
迹8 上各点的Kg值时，才使用幅值条件。
4.1 根轨迹的基本概念
例：如图所示二阶系统，
R(s) -
K
C(s)
s(0.5s 1)
闭环传递函数：
(s)
s2
2K 2s
2K
特征方程为： s2 2s 2K 0
特征根为： s1,2 1 1 2K
采用试探法可以确定根轨迹上的点。 在实际绘制根轨迹时不采用试探法。 而是应用以根轨迹方程为基础建立起 来的绘制根轨迹的基本法则。
(1 x 1)
2!
I!
当 x 1时，(1 x)K 1 Kx ，令 x an1 bm1 ， K 1
s
nm
15
s(1
n
1 m
an1
bm1 ) s
(K g
1
) nm
4.2 根轨迹绘制的基本准则
s
an1 bm1 nm
1
(K g ) nm
根轨迹的渐近线
设s=x+jy, 利用－1=cos(2k+1)π+j sin(2k+1)π，并根据德莫弗(De Moive)代数定理(cosq +j sinq )n= cos(nq )+j sin(nq )，上式可写为
90
90 0 nm2
180 60
0
n m 3 60
180
45
45 0
nm4
4.2 根轨迹绘制的基本准则
[例4-2]系统开环传递函数为：Gk (s)
s(s
Kg 1)( s
5)
，试确定根
轨迹支数，起点和终点。若终点在无穷远处，求渐近线与实轴
的交点和倾角。
[解]：根轨迹有3支。起点为开环极点 p1 0, p2 1, p3 5, 无有限值零点，所以三支根轨迹都趋向无穷远。
其中相角条件是零点到根轨迹上的某点的向量的相角之和减去极点
到根轨迹上的某点的向量的相角之和等于180度的奇数倍，因此也称
满足上述条件的根轨迹为180度等相角根轨迹。
根据上述两个条件，可以完全确定s平面上的根轨迹和根轨迹上对应
的Kg值。应当指出，相角条件是确定s平面上的根轨迹的充分必要条件。 这就是说，绘制根轨迹时，只需要使用相角条件；而当需要确定根轨
根轨迹的渐近线
snm (an1 bm1)snm1 Kg
当Kg→∞，由于m<n，故s→∞满足根轨迹方程，上式近似为
snm (an1 bm1)snm1 Kg
snm
(1
an1
s
bm1
)
Kg
两边开n-m次方
s(1
an1
bm1
)
1 nm
s
1
(K g ) nm
利用二项式定理
(1 x)K 1 Kx K (K 1) x2 K (K 1) (K I 1) xI
4.1 根轨迹的基本概念
根轨迹的幅值和相角条件
由于Gk (s)是复数，上式可写成 ： | Gk (s) | Gk (s) 1
m
| (s zi ) |
或
K i1 gn
1
|(s pj) |
m j1
n
(s zi ) (s p j ) (2k 1)，k 0,1,2...
i 1
j 1
上述两式分别称为满足根轨迹方程的幅值条件和相角条件。
20
4.2 根轨迹绘制的基本准则
实轴上的会合点和分离点
7、根轨迹的会合点和分离点：
若干根轨迹在复平面上某一点相遇后又分开，称该点为分 离点或会合点。
如图所示某系统的根轨迹，由开环极
点 p1, p2 出发的两支根轨迹，随着
Kg
B
Kg Kg 0 Kg 0
z p2 A p1
K g 的增大在实轴上A点相遇再分离进 入复平面。随着K g 的继续增大，又在
j 1
Kg K g
我们称系统有n-m个无限远零点。有限值零点加无穷远零点 的个数等于极点数。
那么，n-m支根轨迹是如何趋于无限远呢？
13
4.2 根轨迹绘制的基本准则
根轨迹的渐近线
5.根轨迹的渐近线： 若开环零点数m小于开环极点数n，则当系统的开环增益
Kg→∞时趋向无穷远处的根轨迹共有n-m条。这n-m条根轨迹 趋向无穷远的方位可由渐近线决定。
上的箭头表示随着K 值的增加，根轨迹
的变化趋势，而标注的数值则代表与闭
环极点位置相应的参数K 的数值。
4
根轨迹定义
j
K 5
3
2
K 1
1
K 0
K 0
2 1
0
K 1 K 0.5 1
2
K 5
3
4.1 根轨迹的基本概念
根轨迹图直观全面地描述了参数K 对闭环特征根分布
的影响。可据此分析系统性能。
9
根轨迹的幅值和相角条件
j
3
2 1
2 1
0
1
2
3
第二节 根轨迹绘制的基本准则
10
4.2 根轨迹绘制的基本准则
根轨迹的连续性和对称性
用解析法或试探法绘制根轨迹很烦琐。下面讨论的内容通 过研究根轨迹和开环零极点的关系，根轨迹的特殊点，渐近线 和其他性质将有助于减少绘图工作量，能够较迅速地画出根轨 迹的大致形状和变化趋势。以下的讨论是针对参数 Kg 的180度 根轨迹的性质。
由根轨迹方程可得：
n
(s p j )
j 1 m
Kg
(s zi )
n
i 1
(s p j )
j 1
m
(s zi )
sn an1sn1 a1s a0 sm bm1sm1 b1s b0
Kg
i 1
n
m
式中 an1 p j ，bm1 zi
j 1
i 1
14
4.2 根轨迹绘制的基本准则
x
jy
an1 bm1 nm
K
1 nm g
c
os
(2k n
1)
m
j sin
(2k 1)
nm
x
an1 bm1 nm
1
K
n g
m
cos
(2k 1)
nm
y
1
K
nm g
sin
(2k 1)
nm
y x an1 bm1
பைடு நூலகம்g (2k 1)
nm
nm
16
4.2 根轨迹绘制的基本准则
根轨迹的渐近线
y tg (2k 1) x an1 bm1 tg (2k 1) x
m
(s zi )
Gk (s) Kg
i 1 n
(s pj)
j 1
6
m
(s zi )
则
Kg
i1 n
1 为根轨迹方程。
(s pj)
j1
4.1 根轨迹的基本概念
根轨迹方程
m
(s zi )
Kg
i 1 n
1
(s pj)
j1
式中，－zi、－pj为已知的开环零极点；Kg从零变到无穷。
7
1、根轨迹的连续性：
闭环系统特征方程的某些系数是增益 K g的函数。当K g从0到 无穷变化时，这些系数是连续变化的。故特征方程的根是连续 变化的，即根轨迹曲线是连续曲线。
2、根轨迹的对称性：
一般物理系统特征方程的系数是实数，其根必为实根或共轭 复根。即位于复平面的实轴上或对称于实轴。
11
4.2 根轨迹绘制的基本准则
19
4.2 根轨迹绘制的基本准则
实轴上的根轨迹例题
[例4-3]设系统的开环传递函数为：Gk (s)
试求实轴上的根轨迹。
s2 (s
Kg (s 2) 1)(s 5)(s
10)
[解]：零极点分布如下：
10
5
2 1 0
红线所示为实轴上根轨迹，为：[-10，-5]和[-2，-1] 。注意
在原点有两个极点，双重极点用“ ”表示。
根轨迹的支数和起始点
3、根轨迹的支数： n阶特征方程有n个根。当 K g从0到无穷大变化时，n个根在复
平面内连续变化组成n支根轨迹。即根轨迹的支数等于系统阶数。