2017虹口区数学一模（满分150分，考试时间100分钟） 2017.1考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．]1．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 和∠C 的对边分别是a 、b 和c ，下列锐角三角比中，值为bc的是 A ．sin A ；B ．cos A ；C ．tan A ；D ．cot A ．2．如图，在点B 处测得点A 处的俯角是 A ．∠1；B ．∠2；C ．∠3；D ．∠4．3．计算23()a a b --r r u u r的结果是A ．3a b --r r ；B ．3a b -+r r ；C ．a b -r r ；D ．a b -+r r ． 4．抛物线2(2)4y x =+-顶点的坐标是 A ．（2，4）；B ．（2，－4）；C ．（－2，4）；D .（－2，－4）．5．抛物线221y x =-+上有两点11()x y ，、22()x y ，，下列说法中，正确的是 A ．若21x x <，则12y y >； B ．若12x x >，则12y y >； C ．若120x x <<，则21y y <； D ．若120x x >>，则12y y >. 6．如图，在□ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，若3DEF S ∆=， 则BCF S ∆为A ．3；B ．6；C ．9；D ．12． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）B CD第6题图 FAE第1题图[请将结果直接填入答题纸的相应位置]7．已知线段a=4cm ，c=1cm ，则线段a 和c 的比例中项b = ▲ cm ． 8．如果向量a r 与单位向量e r 方向相反，且长度为2，那么用向量e r 表示a r= ▲ ．9．如果抛物线2(3)y a x =-开口向下，那么a 的取值范围是 ▲ ． 10．如果抛物线21y x m =+-经过点（0，1），那么m = ▲ ．11．若将抛物线22(1)y x =-向左平移3个单位，则所得到的新抛物线表达式为 ▲ ．12．如图，抛物线2y x bx c =-++的对称轴为直线3x =，如果点A （0，4）为此抛物线上一点，那么当6x =时，y = ▲ ．13．已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，BE 、B 1E 1分别是∠B 、∠B 1的对应角平分线，如果AB ：A 1B 1=2：3，那么BE ：B 1E 1＝ ▲ ． 14．如图，在△ABC 中，∠C = 90°，如果AB = 13，AC = 5，那么tan A= ▲ ．15．如图，1l ∥2l ∥3l ，如果AF=4，FB=5，CD=18，那么CE= ▲ ．16．如图，已知点O 为△ABC 内一点，点D 、E 分别在边AB 和AC 上，且12AD BD =， DE ∥BC ，设OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r ，用向量b r 、c r 表示DE =u u u r▲ ．17．如图，在△ABC 中，如果AB=AC ，边BC 、AC 上的中线AD 、BE 相交于点G ，如果DG=1，cot C =43，那么ABC S =△ ▲ ． 18．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =1，BC =3，点P 是边AB 上一点，如果把△BCP 沿折痕CP 向上翻折，点B 恰好与点D 重合，那么sin ∠ADP 为 ▲ ．三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：22cot 304sin 452cos 30cos 60︒-︒︒-︒．20．（本题满分10分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分4分）第12题图DF 第15题图EBA C1l 2l 3l B CD O第16题图 EA B A D 第17题图 E A GA A 第18题图A 第14题图第22题图第21题图 已知二次函数2y ax bx c =++的图像经过A (1，0)、B (-1，16)、C (0，10)三点． （1）求该函数解析式；（2）用配方法将该函数解析式化为2()y a x m k =++的形式．21．（本题满分10分）如图，在□ABCD 中，点G 在边BC 的延长线上，AG 与边CD 交于点E ，与对角线BD 交于点F ． 求证: FG EF AF ⋅=2．22．（本题满分10分）如图，在大楼AB 的正前方有一斜坡CD 长为13米，坡度为121:5，高为DE ．在斜坡底的点C 处测得楼顶B 的仰角为64°，在斜坡顶的点D 处测得楼顶B 的仰角为45°，其中点A 、C 、E 在同一直线上，求斜坡的高DE （参考数据：sin64°≈0.9， tan64°≈2）23．（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD AEAC AB=，∠BAC 的平分 线AG 分别交线段DE 、BC 于点F 、G ． （1）求证：△ADF ∽△ACG ；（2）联结DG ，若∠AGD =∠B ，AB=12，AD=4，AE=6，求AG 与AF 的长．．24．（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分4分）D 第23题图 AE F C B如图，抛物线25y x bx =++与x 轴交于点A 和点B (5，0)，与y 轴交于点C ,抛物线的顶点为点P ．（1）求抛物线的表达式并写出顶点P 的坐标；（2）在x 轴上方的抛物线上有一点D ，若∠ABD =∠ABP ，试求出点D 的坐标；（3）设在直线BC 下方的抛物线上有一点Q ，若15BCQ S =△，试求出点Q 的坐标．25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分4分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC =4，BC =3，点D 为边BC 上一动点（不与点B 、C 重合），联结AD ，过点C 作CF ⊥AD ，分别交AB 、AD 于点E 、F ，设DC=x ，AEBEy =．（1）当1x =时，求tan BCE ∠的值；（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）当1x =时，在边AC 上取点G ，联结BG ，分别交CE 、AD 于点M 、N . 当△MNF ∽△ABC 时，请直接写出AG 的长． 第24题图第25题图虹口区2016学年第一学期初三数学学科期终教学质量监控测试题评分参考建议2017.1说明：1．解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准相应评分；2．第一、二大题若无特别说明，每题评分只有满分或零分；3．第三大题中各题右端所注分数，表示考生正确做对这一步应得分数；4．评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅．如果考生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度，视影响的程度决定后继部分的给分，但原则上不超过后继部分应得分数的一半； 5．评分时，给分或扣分均以1分为基本单位．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．B 2．A 3．B 4．D 5．C 6．D二、填空题本大题共12题，每题4分，满分48分）7．2 8．2e -r9．3a < 10．2 11．22(2)y x =+12． 4 13．2：3 14．12515．8 16．1133b c -+r r17．12 18．23三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．解：原式24-8分） 3=- …………………………………………………………………（2分）20．解：（1）把A (1，0)、B (-1，16)、C (0，10)分别代入2y ax bx c =++中，得：01610a b c a b c c=++⎧⎪=-+⎨⎪=⎩……………………………………………………………（3分）解得：2810a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩………………………………………………………………………（2分）∴该二次函数解析式为22810y x x =--+………………………………………（1分）（2）22(4)10y x x =-++22[(2)4]10x =-+-+ ………………………………………………………（2分） 22(2)18x =-++……………………………………………………………（2分）21．证明：在□ABCD 中，AD ∥BC ，AB ∥CD ………………………………………（2分） ∴BF DF FG AF = ………………………………………………………………（3分）EF DFAF BF=………………………………………………………………（3分） ∴AFEF FG AF = ， 即2AF EF FG =⋅……………………………………（2分）22．解：过点D 作DF ⊥AB ，垂足为点F∵DE i EC =又∵121:5i = ∴512DE EC =∴设DE=5k ，EC=12k …………………………………………………………（1分）在Rt △DEC 中，13DC k =…………………………………（1分） ∵DC=13 ∴k=1 ∴DE=5…………………………………………………（1分） 可得EC=12 ………………………………………………………………………（1分）设CA=x ，则AE=x +12 …………………………………………………………（1分）可得四边形AEDF 为矩形， ∴DF=AE=x +12，AF=DE=5 在Rt △ABC 中，∠BCA =64°，∴tan 2AB AC ACB x =⋅∠≈…………………………………………………（1分）在Rt △BDF 中，∠BDF =45°，∴12BF DF x ==+……………………………………………………………（1分） ∵BF=AB -AF ∴x+12=2x -5………………………………………………（1分） 解得x=17∴AB ≈2x ≈34 ……………………………………………………………………（1分）答：斜坡的高度DE 为5米，大楼AB 的高度约为34米．………………………（1分）23．（1）证明：∵AD AEAC AB= 又∵∠DAE=∠CAB∴△ADE ∽△ACB ……………………………………………………………（2分） ∴∠ADE=∠C …………………………………………………………………（2分）∵AG 平分∠BAC ∴∠DAF=∠CAG∴△ADF ∽△ACG ……………………………………………………………（2分）（2）解：∵∠AGD =∠B 又∵∠DAG=∠GAB∴△ADG ∽△AGB ……………………………………………………………（1分） ∴AD AG AG AB=…………………………………………………………………（1分） 又∵AB=12，AD=4∴412AG AG = ∴AG =……………………………………………（1分） ∵AD AB AC AE ⋅=⋅ 又∵AB=12，AD=4，AE=6∴AC ＝8 ………………………………………………………………………（1分）∵△ADF ∽△ACG ∴AF ADAG AC=………………………………………（1分）∴12AF AG == …………………………………………………………（1分）24．解：（1）把点B (5，0)代入25y x bx =++得02555b =++ 解得 b=-6………………………………………………（1分）∴抛物线表达式为265y x x =-+ …………………………………………（1分） ∴2(3)4y x =--∴顶点P 的坐标为（3，-4）………………………………………………（2分）（2）由题意，设D 点坐标为（x ，265x x -+）过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，过点D 作DF ⊥x 轴于点F易得PE=4，BE=2， DF=265x x -+，BF=5-x ∵∠ABD =∠ABP ∴tan ∠ABD = tan ∠ABP ∴265452x x x -+=-…………………………………………………………（2分） 解得15x =（舍） 21x =-…………………………………………………（1分）∴D 点坐标为（-1，12）. …………………………………………………（1分）（3）由题意，设Q 点坐标为（x ，265x x -+）过点Q 作QG ⊥x 轴，交x 轴于点G ，交BC 于点H∴OG=x ，BG=5- x∵ C (0，5) B (5，0)∴直线CB 表达式为5y x =-+∴ H 点坐标为（x ，5x -+）……………………………………………（1分）∴225(65)5HQ x x x x x =-+--+=-+ ………………………………（1分）∴15BCQ CQH BQH S S S =+=V V V即111522HQ OG HQ BG ⋅+⋅= ∴2211(5)(5)(5)1522x x x x x x -+⋅+-+⋅-= 解得12x = ， 23x =∴点Q 的坐标为（2，-3）或（3，-4）…………………………………（2分）25．解：（1）∵∠ACB=90° ∴∠DAC +∠ADC =90°∵ CE ⊥AD ∴∠BCE +∠ADC =90°∴∠BCE =∠DAC ………………………………………………………（2分）∴tan tan BCE DAC ∠=∠ ∵AC =4，DC =1∴1tan tan 4CD BCE DAC AC ∠=∠== … …………………………………（2分）（2）过点B 作BM ⊥BC 交CE 延长线于点M ………………………………（1分）由上题可知：tan tan BCE DAC ∠=∠∴BM CD BCCA=∵AC =4，DC =x ，BC =3 得34BM x = ………………………………（2分）∵ BM ⊥BC 得 ∠MBC=90° 又∠ACB=90°∴ BM ∥AC ∴AE AC BEBM=………………………………………………（1分）∴163y x=（0＜x ＜3）………………………………………………（1分，1分）（3）AG 的长是2516或5219.………………………………………………（2分，2分）。